Inhaltsverzeichnis

Klappentext

Banach und Tarski haben einen der verblüffendsten mathematischen Sätze bewiesen: Eine Kugel kann in fünf Teile zerlegt werden; drei dieser Teile können zu einer neuen Kugel der gleichen Größe zusammengesetzt werden, ebenso die anderen zwei. Aus 1 mach 2 - und kein einziger Punkt fehlt!

Stimmen zu Originalausgabe

»In diesem Buch behandelt Wapner in einer exzellenten allgemeinverständlichen Form eines der bizarrsten und kontroversesten Theoreme in der Mathematik. Die Geschichte, die er uns erzählt, ist lebendig, lesbar und auch dem Nichtmathematiker zugänglich.« Matthew Foreman, Professor für Mathematik und Philosophie an der University of California in Irvine.

»Unbeschwert und dennoch solide, ernsthaft aber nicht trübsinnig - so präsentiert Wapner das jetzt bereits klassische Banach-Tarski-Paradoxon vordem Hintergrund von Logik, Mengenlehre, Rätseln und ungelösten Problemen.« Philip J. Davis, Brown Universität, Mitautor von Erfahrung Mathematik.

Nehmen Sie einen Apfel und schneiden Sie ihn in fünf Teile. Würden Sie es für möglich halten, dass Sie diese fünf Teile so zusammensetzen können, dass Sie zwei Äpfel der gleichen Form und Größe wie der ursprüngliche erhalten? Würden Sie glauben, dass Sie so etwas Großes wie die Sonne herstellen können, indem Sie eine Erbse in endlich viele Stücke zerteilen und diese neu zusammensetzen? Auch Leonard Wapner, der Autor dieses Buches, hielt dies für unmöglich, als er zum ersten Mal auf das Banach-Tarski-Paradoxon stieß, welches eine derartige Behauptung aufstellte.

In einem ansprechenden Stil geschrieben, macht uns Aus 1 mach 2 [Originaltitel "The Pea and The Sun"] mit all den Menschen, Ereignissen und den mathematischen Grundlagen bekannt, die zur Entdeckung des "magischen" Paradoxons von Banach und Tarski führten. Wapner macht damit eines der interessantesten Probleme der modernen Mathematik auch Nichtmathematikern zugänglich.

»Eine ansprechende, gründliche und faszinierende Erklärung eines der verblüffendsten Paradoxa in der Mathematik. Wapners Buch ist eine meisterhafte Mischung aus Geschichte, Mathematik und Philosophie, die den Mathematikern und den bloß mathematisch Neugierigen gefallen wird.«

Keith Devlin, Stanford Universität, Autor von Der Mathe-Instinkt, The Millennium Problems und Das Mathe-Gen.

ISBN 978-3-8274-1851-7

Register

Index

3
3-D-Druck 207

A

Abbild 97
Abgeschlossenheit 104
absorbiert 121
abzählbar 17
Achilles 13
Adams, A. 8
aleph 20
Anagramm 208
antike Griechen 228
Antinomie 64, 71
Appel, K. 239
Aquin, T. 13
äquivalente Klassen 158, 160
Aristoteles 13
Assoziativität 104
Attraktor 215
Augenstein, B. 209, 219, 225
Auswahlaxiom 21, 31, 33, 39, 43, 45, 48-49, 54, 58, 61, 97, 115, 133, 158, 160, 180, 196, 201, 208, 229, 233
Auswahlmenge 24, 180

B

Baby-Banach-Tarski-Paradoxa 129
Babylonier 228
Bach, J. S. 57
Bair, R. 25
Baire-Eigenschaft 233
Banach, S. 26
Banach-Schröder-Bernstein-Theorem 187-188
Banach-Tarski-Paradoxon 165
Banach-Tarski-Theorem 172, 200, 244
Beweis 172-188
Barbier-Paradoxon 71
Beltrami, E. 53
Bernstein, F. 25
Bers, L. 9
Beschneiden 77
Bijektion 131, 143-145, 148
Birch-und-Swinnerton-Dyer-Vermutung 232
Bolyai, J. 52
Bolzano, B. 132, 141
Borel, E. 25
Braess-Paradoxon 65
Burali-Forti-Paradoxon 96, 209

C

Cantor, G. 9, 11, 49, 130-131, 133, 147
Cantor-Menge 152, 216
Cantors Kontinuumshypothese20, 48
Cantors Paradoxon 96
Cantors Satz 94
Cantor-Staub 151-158
Carnap, R. 36, 40
Casimir, H. 210
Casimir-Effekt 210
Chaos 213
Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI) 229
Cohen, J. 65
Cohen, P. 26, 45, 95
Curry, P. 79
Curry-Dreieck 79

D

Dedekind, R. 133, 147
Definition Dedekinds 133
Dehn, M. 118
Dehn-Invariante 118
Dehnung 140-151
denumerabel 17
Dewdney, A. K. 206
dicht 17, 234
Differenz von Mengen 91
digitale Fabrikatoren 206
DNA 237
DNA-Computer 237
Dougherty, R. 233
Drehung 99-103
Dudeney, H. E. 106, 113-114
Dyer, W. 223

E

Eigen, M. 201
Eindeutigkeitssatz 175 f einfach zusammenhängend 232
Einstein, A. 43, 197, 203, 223
Eins-zu-eins-Zuordnung 130
El Naschie, M. S. 212, 217, 225
Elektron-Myon-Puzzle 219
Erbse-und-Sonne-Paradoxon 172, 187
Escher, M. C. 56, 62
Euklids fünftes Postulat 52 experimentelle Mathematik 242

F

Fabber 206
Feferman, A. B. 37
Fehlschlüsse bei Puzzles 72
Fermats letzter Satz 232, 239
Feynman, R. 200
Finitist 9
Fitzgerald-Lorentz-Gleichungen 197
Fixpunkte 215
Flyspeck Project 241
Forcing 50
Foreman, M. 233 formaler Beweis 241
Formalismus 9
Fraenkel, A. 23
French, R. 176
Fundamenta Mathematicae 29, 31, 165

G

Galilei, G. 131, 197
Gamow, G. 212
Gardner, M. 70, 79, 116, 225
Gauß, C. F. 14, 52, 229
Gibbin 225
Givant, S. R. 37
Gödel, K. 9, 36, 38, 48, 50-51, 95
Gödels Unvollständigkeitstheorem 48
Gödelzahl 41
Go-Go-Philosophie 225
Go-Go-Prinzip 211, 223
Graham, R. 9, 243
Grenzzyklen 215
Gribbin, J. 224
Gruppe 104

H

Hadamard, J. 25
Hadronen 219-220
Hahn, H. 40
Haken, W. 239
Haies, T. 239
Halmos, P. 235
Hardy, G. H. 202
Hausdorff, F. 21, 30, 95
Hausdorff-Paradoxon 30, 58, 61, 172, 179, 182, 185, 201
Hawking, S. 212
Hein, P. 116
heliozentrische Theorie 197
hexagonale Stapeln 240
Hilbert Hotel 122
Hilbert'sches Problem Problem Nummer 1 20
Hilbert, D. 20, 23, 56, 117, 149, 228
Hilbert-Kurve 150
Hilbert'sches Problem drittes Problem 118, 127
Hodge-Vermutung 233
Hofstadter, D. R. 58
Horgan, J. 239
Hoyle, F. 212
hyperbolische Ebene 58, 242
hyperbolische Geometrie 54
Hyperwebster 162-165, 167

I

Initialsingularität 212
Injektion 130, 144
Injektionsdefinition 133
inneres Produkt 102
Internationaler Kongress der Mathematik 56
Intuitionist 9 invers 105
Isometrie 97-106

J

Jones, R. 219, 224 f

K

Kardinalzahl 95
Kepler, J. 197, 240
Kepler-Vermutung 239
Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen 239
Komplement einer Menge 90
komplexe Ebene 169
komplexe Zahlen 169
kongruent 97, 106
Konstruktivist 9
Kontinuum 142
Kontinuumshypothese 22, 43, 48-49, 95, 229
Kopernikus, N. 197
Kosmologie 212
Kreisbahn 214
Kronecker, L 15, 22, 49
kubische (flächenzentrierte) Stapeln240

L

Laczkovich, M. 115
Länge einer Rotation 174
Laplace, P.-S. 54
Lebesgue, H. 25
Lebesgue-Maß 151, 199
leere Menge 87
Lemberg 28, 33-34
Leptonen 219
Limerick 208
Lindemann, F. 115
lineares Chaos 218
Lobachevsky, N. 52
Lobachevsky-Geometrie 53
logischer Positivismus 40
Lorenz, E. N. 216
Lösung 195
Loyd verschwindet 72
Loyd, S. 72, 106, 108, 113-114

M

Mächtigkeit 15, 87, 137
Maß 151, 199
Massenlückenhypothese 230
Mathematica 243
mathematischer Realismus 8
Matrix 101
Mazurkiewicz, S. 165
McKenzie, R. 38
Menge
Mengenlehre 11, 86-95
- Schnittmenge 89
- Vereinigungsmenge 89
Menger, K. 40
Mesonen 219
messbare Mengen 199
Metamathematik 229
Metasprachen 71
Millenium Prize Problems 229
Mills, R. 230
Moore, E. H. 150
Moore'sches Gesetz 236
Morganstern, O. 43-44
Mycielski, J. 58, 221 -222, 242

N

Navier-Stokes-Gleichungen 231
Neumann, J. von 34
neutral 105
Neutronen 219
Newton, I. Sir 197
nicht lineare Dynamik 214
Nichtcantorianische Mengenlehren 229
nicht-euklidische Geometrie 52
nichtmessbare Menge 158-159
Nullmenge 87, 209
Nullpunktenergie 210

O

offen 233
optische Computer 237
Ordinalzahl 95

P

P/NP-Problem 231
Paradoxa
- Typ 1 129
- Typ 2 129
Paradoxien des Unendlichen 132
Paradoxon 64
- Barbier 96
- Typ 1 64
- Typ 2 64, 68, 195
- Typ 3 64, 71
Paradoxon des verschwindenden Kaninchens 80
Partikelphysik 218
Peano, G. 149
Phasenraum 214
Pickering, A. 224 f Platoniker 18
Piatonismus 8
Poincare, H. 21, 229, 232
Poincare-Scheibe-Modell 58, 61
Poincare-Vermutung 232
Pole 179
Porkert, A. 42
Potenzmenge 92 probabilistischer Beweis 241
Produktmatrix 102
Protonen 219
Ptolemäus 197
Punktmenge 86

Q

Quadratur des Kreises 115
Quadratur-des-Kreises-Aufgabe 114
Quantencomputer 238
Quantenmechanik 54
Quarks 218, 220
Qubit 238

R

rationale Zahlen 17
raumfüllende Kurve 149
Relativität
- siehe spezielle Relativitätstheorie 197
Replikatoren 206
Riemann, B. 53, 230
Riemann-Geometrie 53
Riemann'sche Vermutung 230, 232, 243
Riemann'sche Zetafunktion 230
Robinson, R. M. 220, 222
Rotation 173
Rucker, R. 41
Russell, B. 23, 25, 40, 71, 225
Russells Antinomie 71
Russells Paradoxon 71, 96

S

Satz von Pythagoras 111
Satz von Wallace-Bolyai-Gerwien 109
Scherenkongruenz 106-118, 127
Schmetterlingseffekt 217
Schottisches Cafe siehe Szkocha Cafe 33
Schröder-Bernstein-Technik 148
Schröder-Bernstein-Theorem 93, 144, 192
Schubspiegelung 103
Selbstbezüglichkeit 54
seltsamer Attraktor 216
Shor, P. 238
Sierpinski, W. 165, 167
Sierpinski-Mazurkiewicz-Paradoxon165-169
Sierpinski-Menger-Schwamm 156
Sierpinski-Teppich 156-157
Siliziumchips 237
Simpsons Paradoxon 66, 81
Somawürfel 116
spezielle Relativitätstheorie 197
sphärische (Riemann-) Geometrie 53
Spiegelungen 103
Standardmodell der Partikelphysik218
starke Version 186
starke Wechselwirkungen 219
Steinhaus, H. 28
Stewart, I. 162, 235
stückweise kongruent 120, 172
Surjektion 130
Svozil, K. 211, 217, 223, 225
Szkocka Cafe 33

T

Tangram 108
Tarski, A. 26, 71, 114
Taxi-Geometrie 53
Teilmenge 88
Teilungsparadoxon 13
Theorie der Typen 71
Toms 70, 83
torusartige Attraktoren 215
Torus-Paradoxon 83
transfinite Arithmetik 11, 17, 137
Translation 98
Typ E (exponentielle Zeit) 231
Typ NP (nicht deterministische Polynom-Zeit) 231
Typ P (Polynom-Zeit) 231

U

Umlaufbahn 180
unendliche Menge 129-135
Unendlichkeit 11
unentscheidbar 10, 39-40
Universalmenge 87
Universelle Wahrheitsmaschine 41
Unschärferelation 54
Urbild 97
Urknall Theorie 211-212

V

Vakuum 209
Verdoppelungsversion 31, 172, 186
Vergrößerungsversion 32, 186
Verschiebung aus dem Unendlichen 121, 139 f, 184, 186
Verschiebung ins Unendliche 121-122, 135-140
verschwindender Astronaut 73
verschwindender Kobold 73
Verschwinde-von-der-Erde-Puzzle 72, 75
Vertauschungsverhalten hadronischer Reaktionen 222
Vierfarbenproblem 239
Vitali, G. 158
Vitali-Menge 158, 160
Vitalis Konstruktionsparadoxon 158-162
vorausschauende Macht der Mathematik 224

W

Wagon, S. 58, 242
Wahrheitsbegriff 35
Wallis, J. 14
Weyl, H. 22, 40, 94
Wiener Kreis 36, 40
Wiles, A. 232, 239
wissenschaftlicher Determinismus 54
wohlgeordnete Menge 21

Y

Yang, C.-N. 230
Yang-Mills-Theorie 230
Yukawa-Reaktion 220

Z

Zenon 12
zerlegungsgleich 119-127, 172, 184
Zermelo, E. 23, 49
Zermelo-Fraenkel-Axiome 40
Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre 24
Zweiter Internationaler Kongress der Mathematiker 20

Autor

Leonard M. Wapner ist Professor für Mathematik am El Camino College in Torrance, California.

Vorwort

Nehmen Sie einen Apfel und schneiden Sie ihn in fünf Teile. Würden Sie es für möglich halten, dass Sie diese fünf Teile so zusammensetzen können, dass Sie zwei Äpfel der gleichen Form und Größe wie der ursprüngliche erhalten? Würden Sie glauben, dass Sie so etwas Großes wie die Sonne herstellen können, indem Sie eine Erbse in endlich viele Stücke zerteilen und diese neu zusammensetzen? Auch Leonard Wapner, der Autor dieses Buches, hielt dies für unmöglich, als er zum ersten Mal auf das Banach-Tarski-Paradoxon stieß, welches ein derartige Behauptung aufstellte. In einem ansprechenden Stil geschrieben, macht uns Aus 1 mach 2 (Originaltitel "The Pea and The Sun") mit all den Menschen, Ereignissen und den mathematischen Grundlagen bekannt, die zur Entdeckung des "magischen" Paradoxons von Banach und Tarski führten. Wapner macht damit eines der interessantesten Probleme der höheren Mathematik auch Nichtmathematikern zugänglich. "Eine ansprechende, gründliche und faszinierende Erklärung eines der verblüffendsten Paradoxa in der Mathematik. Wapners Buch ist eine meisterhafte Mischung aus Geschichte, Mathematik und Philosophie, die den Mathematikern und den bloß mathematisch Neugierigen gefallen wird." Keith Devlin, Stanford Universität, Autor von Der Mathe-Instinkt, The Millennium Problems und Das Mathe-Gen.

Reviews

" "Aus 1 mach 2" ist ein sehr anspruchsvoll geschriebenes Buch, das eines der verblüffendsten Paradoxa der Mathematik gut erklärt. Ich werde es vielen mathematisch interessierten Freunden empfehlen." www.spektrum-direkt.de, November 2008 b>Stimmen zu Originalausgabe: "Eine ansprechende, gründliche und faszinierende Erklärung eines der verblüffendsten Paradoxa in der Mathematik. Wapners Buch ist eine meisterhafte Mischung aus Geschichte, Mathematik und Philosophie, die den Mathematikern und den bloß mathematisch Neugierigen gefallen wird." Keith Devlin, Stanford Universität, Autor von Der Mathe-Instinkt, The Millennium Problems und Das Mathe-Gen. "In diesem Buch behandelt Wapner in einer exzellenten gemeinverständlichen Form eines der bizarrsten und kontroversesten Theoreme in der Mathematik. Die Geschichte, die er uns erzählt, ist lebendig lesbar und auch dem Nichtmathematiker zugänglich." Matthew Foreman, Professor für Mathematik und Philosophie an der University of California in Irvine. "Unbeschwert und dennoch solide, ernsthaft aber nicht trübsinnig - so präsentiert Wapner das jetzt bereits klassische Banach-Tarski-Paradoxon vor dem Hintergrund von Logik, Mengenlehre, Rätseln und ungelösten Problemen." Philip J. Davis, Brown Universität, Mitautor von Erfahrung Mathematik. "Leonard M. WapnerThe Pea and the Sun relates the story of the people, events, and mathematics that led to the fomulation of the Banach-Tarski Paradox in 1924. This theorem states that a sphere can be broken into pieces which can be reassembled into two spheres equal in volume to the first! Wapner entertainingly renders advanced mathematics accessible to the layman." Librarian's Choice 2005 Non-Fiction "The author gives a fascinating account, in a journalistic style, of the history of the Banach-Tarski Theorem, devoting a chapter to the cast of characters, including Georg Cantor, Kurt Gödel, Paul Cohen, and of course Stefan Banach and Alfred Tarski... .What is presented in this book is maths for its own sake: beautiful, elegant, artistic, astonishing... . it would surely make a great present for a budding pure mathematician - and what a present it would be, to give someone their first inkling of the wonders that lie at the heart of pure mathematics." Plus Magazine "Written in a fresh, captivating, friendly style, The Pea And The Sun is remarkably engaging and will appeal to any reader with a discerning, inquisitive mind into the nature of the so-called impossible, regardless of their particular mathematical background." Book Watch