Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Vorwort zur 3-, korrigierten und erweiterten Auflage

Seit der ersten Auflage der Großen Sätze und schönen Beweise der Mathematik sind mehr als zwanzig Jahre vergangen, eine Zeitspanne, in der sich auch in der Mathematik vielerlei neue Entwicklungen ergeben haben. Insbesondere die Nutzung elektronischer Hilfsmittel hat auch die Mathematik zu einem noch bedeutsameren Wirtschaftsfaktor werden lassen. Diese Entwicklung hat neben anderen Auswirkungen auch dafür erforderliche Spezialisierungen in der Mathematik noch verstärkt. Damit ist das im Vorwort der ersten Auflage erwähnte Anliegen auch heute noch unverändert aktuell: Um die Wirksamkeit einer Grundlagenwissenschaft wie der Mathematik zu erhöhen, soll versucht werden, prinzipielle mathematische Denkweisen einem größeren Leserkreis aus allen Wissensbereichen zugänglich zu machen.

Das Buch wendet sich daher insbesondere auch an Leser (wie Naturwissenschaftler und Ingenieure), die spezielle mathematische Methoden in ihrem Beruf anwenden, und die darüber hinaus erfahren wollen, was die Mathematik sonst noch so zu bieten hat. Wer ein volles Mathematik-Studium absolviert, lernt natürlich ein relativ breites Spektrum mathematischer Denkweisen kennen, wenngleich die jetzige Aufspaltung des Diplom-Studiums in ein Bachelor- und ein Master-Studium die Tendenz einer frühzeitigen Spezialisierung ebenfalls verstärkt. Und so ist es nicht unwahrscheinlich, dass auch ein ausgebildeter Mathematiker den einen oder anderen für ihn neuen Gesichtspunkt findet.

Daher bin ich dem Verlag Harri Deutsch dankbar, eine Neuauflage geplant zu haben, nachdem die bisherigen Auflagen und Nachdrucke im Akademie-Verlag Berlin und Verlag Harri Deutsch vergriffen waren. Während das ursprüngliche Manuskript in der früher üblichen Weise hergestellt worden war (handschriftliches Manuskript, dann Abschrift mit Schreibmaschine und Eintragen der Formeln, händischer Drucksatz mit Fahnen- und Bogenkorrektur) , hatte sich der Verlag Harri Deutsch freundlicherweise zu einer Digitalisierung des Manuskriptes entschlossen. Diese digitalisierte Fassung wurde dann bei der Vorbereitung der hiermit vorliegenden dritten Auflage zur Korrektur und Erweiterung verwendet.

Mit Ausnahme von Kapitel 13 wurden alle bisherigen Beweisanordnungen beibehalten. Allerdings wird der Beweis des Satzes von Cauchy-Kowalewskaja jetzt anstelle durch sukzessive Approximationen durch das elegantere Kontraktions-Prinzip durchgeführt. In die vorliegende Neuauflage wurde daher (am Ende von Kapitel 9) auch ein Beweis des Kontraktions-Prinzips aufgenommen. In Kapitel 14 wird das WEYLsche Lemma nicht nur auf die bisherige Weise (über die Mittelwerteigenschaft) bewiesen, sondern es wird ein weiterer Beweis hinzugefügt, der auf der Approximation von stetigen Funktionen durch zweimal stetig differenzierbare beruht. Weitere Ergänzungen betreffen beispielsweise einen Ausblick auf den Fixpunktsatz von Leray-Schauder sowie einen Überblick über des Lösen (nichtlinearer) impliziter Gleichungen. Teilweise sollen diese Ergänzungen auch an Methoden heranführen, die von der gegenwärtigen Forschung benutzt werden. Natürlich betrifft das in erster Linie Themen, die zu meinen Forschungs-Interessen gehören.

Beim Aufbau des Buches wurde versucht, die einzelnen Kapitel mehr oder weniger unabhängig voneinander zu gestalten. Rück- und Querverweise, wie sie in einem systematischen Lehrbuch unumgänglich sind, wurden weitestgehend vermieden. Im Gegenteil, um eine größtmögliche Selbständigkeit der Kapitel zu erreichen, wurden grundlegende Konstruktionen (wie das CANTORsche Diagonal ver fahr en in den Kapiteln 3, 5 und 11) sogar mehrfach erläutert. Andererseits gibt es aber auch Fälle, wo die Aussage eines Kapitels in einem anderen Kapitel gebraucht wird. Das ist beispielsweise beim Beweis des SCHAUDERschen Fixpunktsatzes der Fall (Kapitel 11), da dieser auf den BROUWERschen Fixpunktsatz (Kapitel 10) zurückgeführt werden kann.

Im Gegensatz zu den früheren Ausgaben werden alle Literaturzitate jetzt am Ende des Buches gesammelt. Natürlich ist es bei der großen Breite der behandelten Themen auch nicht annähernd möglich, einen vollständigen Überblick über relevante Literatur zu geben. In erster Linie werden benutzte Quellen dokumentiert (soweit es sich nicht um Kenntnisse handelt, die zum Standard-Wissen eines ausgebildeten Mathematikers gehören). Davon abgesehen, sollen Anregungen zu weiterführenden Literaturstudien gegeben werden.

Mein Dank an den Verlag Harri Deutsch geht insbesondere auch an dessen für elektronische Medien zuständigen Abteilungsleiter, Herrn KLAUS HORN. Bei der Vorbereitung dieser Neuauflage konnte ich mich stets auf seine angenehme und konstruktive Zusammenarbeit verlassen, die weit über das rein Verlegerische hinausging: Seine Sachkenntnisse als Physiker haben zu mancher Verbesserung des Textes geführt. Auch das Satzbüro Tanovski & Partners möchte ich dankend erwähnen. Die digitale Fassung wurde sorgfältig erstellt, und sogar der eine oder andere Schreibfehler der Vorlage erkannt und korrigiert.

So bleibt mir nur zu wünschen, dass die vorliegende Neuauflage einen Beitrag zur Pflege mathematischer Denkweisen leistet.

Graz, im Januar 2009 Wolfgang Tutschke

Vorwort

In allen Wissenschaften ist die Tendenz einer zunehmenden Spezialisierung zu beobachten; so auch in der Mathematik. Diese zunehmende Spezialisierung, die mit immer breiter gefächerten Anwendungen verbunden ist, führt zu der Gefahr, dass die Mathematik in der Praxis nicht mehr als einheitliche Wissenschaft in Erscheinung tritt. Solche Tendenzen hat es auch in früheren Entwicklungsphasen der Mathematik gegeben; sie wurden stets von Versuchen begleitet, einer Zersplitterung entgegenzuwirken und die Einheit der Mathematik zur Geltung zu bringen. Beispiele dafür sind die »Elemente« von Euklid oder die Algebraisierung der Geometrie durch DESCARTES. Der Nutzen, den eine solche auf die Herstellung der Einheit der Mathematik gerichtete Tätigkeit hat, ist ganz offensichtlich, vor allem schon auf Grund unserer historischen Erfahrungen.

In der heutigen Mathematik zeigt sich die erfreuliche Tatsache, dass sie außerordentlich reichhaltig geworden ist, dass zu vielen alten Anwendungsgebieten immer noch neue hinzugetreten sind. Daher ist es heute sogar wichtiger denn je, die Einheit der Mathematik zu fördern. Dazu ist es erforderlich, das Wesen der Mathematik, das besondere in ihren Beweismethoden zutage tritt, sichtbar zu machen. Der Grund für eine solch große Bedeutung mathematischer Beweismethoden liegt darin, dass sie nicht nur auf speziellen Teilgebieten genutzt werden, sondern allgemeinere Verwendung finden. In diesem Sinne ist ein wichtiger Schritt zum Verständnis des Wesens der Mathematik das Kennenlernen der Beweise für ihre fundamentalen Sätze. In dem vorliegenden Buch sind 15 solcher Sätze aus tragenden Teilgebieten der heutigen Mathematik ausgewählt worden. Dazu gehören Sätze über die Lösbarkeit von Gleichungen, wie die FREDHOLMsche Alternative oder der BROUWERsche und der SCHAUDERsche Fixpunktsatz, die sich vielseitig auswirken und deren Beweise gleichzeitig prinzipielle Bedeutung haben.

Derartige übergreifende mathematische Gesichtspunkt kommen auch beim Beweis von Aussagen zum Tragen, die ganz spezielle Anwendungen betreffen; ein Beispiel hierfür ist das ElNSTElNsche Additionstheorem für Geschwindigkeiten, dessen tieferer Sinn erst durch den mathematischen Gruppenbegriff erkannt werden kann. Die mathematische Praxis führt zwangsläufig aber auch zu beweistheoretischen Fragen, wie sie in den Unterschieden zwischen Wahrheit und Beweisbarkeit in der Mathematik zum Ausdruck kommen. Desgleichen treten - auch bei konkreten analytischen Untersuchungen - mengentheoretische Problemstellungen auf, wie sie sich beispielsweise in der Äquivalenz von Auswahlaxiom und ZORNschem Lemma äußern. Die moderne Entwicklung der Mathematik erforderte auch, den klassischen Differenzierbarkeitsbegriff und im Zusammenhang damit auch den Lösungsbegriff für Differentialgleichungen zu erweitern. Damit entsteht natürlich auch die Frage, wann eine verallgemeinerte Lösung doch klassische Lösung ist. Eine Antwort hierauf gibt beispielsweise das WEYLsche Lemma, dem Kapitel 14 dieses Buches gewidmet ist.

In den 15 Kapiteln des Buches, die weitestgehend selbständigen Charakter tragen, werden zentrale mathematische Problemstellungen aus verschiedenen Zweigen der Mathematik und ihrer Anwendungen behandelt. Jeder Abschnitt ist einem fundamentalen mathematischen Sachverhalt gewidmet, wobei die Allgemeingültigkeit der gewonnenen Ergebnisse eingeschätzt wird. Außerdem enthält das Buch einen Dialog über Mathematik, der Bemerkungen über das Wesen der heutigen Mathematik und daraus resultierende Konsequenzen zum Gegenstand hat. Darin sind insbesondere auch Hinweise auf die Identität des Schönen, Allgemeinen und Anwendbaren in der Mathematik eingeschlossen.

Zu den im Buchtitel auftretenden Begriffen »groß« und »schön« sei eine kurze Bemerkung gemacht. Ihrem Ursprung und ihrer hauptsächlichen Verwendung in der Umgangssprache entsprechend haben beide zunächst einen stark subjektiven Charakter. Andererseits werden im wissenschaftlichen Sprachgebrauch beide Begriffe aber durch die Wissenschaftsentwicklung selbst objektiviert, wobei als wirklich große Sätze der Mathematik diejenigen hervortreten, die allgemein sind und sich demzufolge auch vielfach anwenden lassen. Wirklich zentrale Sätze werden durch die Wissenschaftsentwicklung auch stets so tiefgreifend durchgearbeitet, dass ihre Beweise klar und durchsichtig und damit auch im Sinne des menschlichen Strebens nach Wahrheitsfindung natürlich und schön werden. Die inner- und außermathematische Ausstrahlungskraft der hier zu behandelnden Sätze ist sehr verschiedenartig. In diesem Sinne sind die ausgewählten Sätze keinesfalls gleichermaßen groß. Hier aber noch quantitative Abstufungen innerhalb des qualitativen Begriffes »groß« vornehmen zu wollen, hieße aber doch - zumindest im Rahmen unserer Zielstellungen - zu weit zu gehen. Das gleiche trifft auf die »Schönheit« der Beweise zu.

Die vorrangige Zielstellung des Buches ist es, Wesen und Bedeutung der Mathematik für einen breiten Leserkreis erkennbar zu machen und so das weitere Eindringen der Mathematik in die Praxis zu fördern.

Dieses Buch wendet sich an alle, die an der heutigen Mathematik interessiert sind. Die heute unvermeidbare Spezialisierung führt dazu, vornehmlich mit Teilgebieten unserer Wissenschaft bekannt zu sein. Das bewirkt oft, dass ein Überblick über die Möglichkeiten, die in der Mathematik insgesamt enthalten sind, fehlt.

Hierfür nun sollte die Lektüre des Buches nützlich sein und das Verständnis für Wesen und Anwendbarkeit der Mathematik vertiefen.

An vielen Schulen existieren derzeit Schülerarbeitsgemeinschaften, die unter der Anleitung erfahrener Mathematiklehrer die Begeisterung junger Talente für unser Fachgebiet wecken; dafür werden Materialien benötigt, die sich an prinzipiellen Entwicklungstendenzen der Mathematik orientieren; das vorliegende Buch enthält geeignete Beiträge dieser Art.

In den verschiedensten Berufsgruppen sind Kenntnisse klassischer mathematischer Methoden vorhanden, die beispielsweise in Studienrichtungen an Hoch- und Fachschulen mit Mathematik als Nebenfach unterrichtet werden. Da diese Methoden in der neueren Mathematik vielfach verbessert worden sind, ist es zweckmäßig, für die Verbreitung solcher Neuentwicklungen tätig zu sein. Deshalb behandelt das Buch auch klassische Fragestellungen mit modernen mathematischen Methoden, verdeutlicht deren Vorzüge, gibt dem Leser mancherlei Anregung für die mathematische Weiterbildung, um so geeignete Wege für eine breitere Nutzung mathematischer Methoden in der Praxis zu erschließen.

Einer der Autoren hat in Gestalt des Mathematischen Wörterbuches vor mehr als zwei Jahrzehnten ein umfangreiches Werk veröffentlicht, das eine Antwort auf die Frage gab, was Mathematik sei. Das jetzt vorliegende Buch strebt eine Antwort darauf an, wie Mathematik wird, wie sie neue Gestalt annimmt. Die vielen Auflagen des Mathematischen Wörterbuches sind ein deutlicher Hinweis auf seinen Nutzen. Die Autoren des vorliegenden Buches sind überzeugt davon, dass auch von ihm eine entsprechende Wirkung erwartet werden kann, weil das Interesse für die ständige Neugestaltung der Mathematik aktuell ist und bleibt.

Schließlich noch eine Bemerkung zum Lesen des Buches. Die einzelnen Kapitel sind in einer Weise voneinander unabhängig, dass sie in beliebiger Reihenfolge gelesen werden können. In manchen Kapiteln finden sich zwar gelegentliche Hinweise auf andere Kapitel. Diese sollen den interessierten Leser aber im allgemeinen nur auf Querverbindungen aufmerksam machen; sie sind für das Verständnis des jeweiligen Kapitels nicht erforderlich. Manche Definitionen und Schlussweisen werden sogar in mehreren Kapiteln wiederholt, falls sie für das Verständnis des jeweiligen Kapitels wesentlich sind. Der Aufbau der einzelnen Kapitel erfolgt im allgemeinen so, dass sie ohne Benutzung weitergehender Literatur verständlich sind.

Für Hinweise auf die Gestaltung einzelner Kapitel sprechen wir folgenden Fachkollegen, deren Ratschläge besonders hilfreich waren, unseren Dank aus: Herrn Dr. sc. G. DAUTCOURT vom Zentralinstitut für Astrophysik der Akademie der Wissenschaften der DDR für Hinweise zu Kapitel 4, Herrn Prof. G. F. Mandzavidze vom vom I. N. VEKUA-Institut für angewandte Mathematik der Universität Tbilissi zu Kapitel 9 und 10, Herrn Dr. sc. H. Herre vom KARL-WEIERSTRASS-Institut für Mathematik der Akademie der Wissenschaften der DDR zu Kapitel 15.¹ Vorschläge hinsichtlich der Gestaltung des Gesamtmanuskriptes verdanken die Autoren Herrn Prof. P. H. MÜLLER von der Sektion Mathematik der Technischen Universität Dresden sowie Herrn Prof. S. PRÖSSDORF vom bereits oben erwähnten Karl-Weier-STRASS-Institut für Mathematik. Den Mitarbeitern des Akademie-Verlages wird für eine vielseitige, konstruktive Zusammenarbeit gedankt, insbesondere Fräulein Dipl.Math. G. Reiher und Herrn Dr. R. Höppner.

Berlin und Halle, im Juni 1985
Josef Naas und Wolfgang Tutschke

Klappentext

Es ist eine Binsenweisheit, dass in allen Wissenschaften - also auch in der Mathematik - eine zunehmende Spezialisierung stattfindet. Insbesondere die Beweismethoden und fundamentalen Sätze sind jedoch von einer Allgemeingültigkeit, die angesichts der modernen Entwicklung in Vergessenheit zu geraten droht. Das Anliegen der Autoren ist es, dieser Tendenz entgegenzuwirken. In 15 Kapiteln präsentieren sie zentrale mathematische Problemstellungen und ihre Anwendung aus verschiedenen Zweigen der Mathematik. Das Spektrum reicht von der Methode der kleinsten Quadrate über das Einsteinsche Additionstheorem bis zur Lösung von Anfangswertproblemen.

Abschließend erhält das Buch einen Dialog über das Wesen der heutigen Mathematik und den daraus resultierenden Konsequenzen.

ISBN 978-3-8171-1822-9

Register

Index

A

Ableitung einer Distribution, 169
Abstand, 44, 113
Additionstheorem für Geschwindigkeiten, 34
adjungierte Gleichung, 88 ALEKSANDROW, P. S., 47
algebraische Gleichung, 111
- Gleichungssystem, 67, 110
Algorithmus, 184
Alphabet, 183
analytische Funktion, 148

ANAXAGORAS von Klazomenai, 196
Anfangswertproblem, 112, 125, 158
Approximationssatz
- von WEIERSTRASS, 41, 44
- von WEIERSTRASS und STONE, 47

ARISTOTELES von Stagira, 196

ARZELÀ-ASCOLI, Satz von, 37, 77, 127

ASSER, G., 187, 189
assoziierte Gleichung, 88
assoziierter Raum, 157 ATIYAH, M. F., 90
Auswahlaxiom, 53
Axiomensystem, 181
- PEANOsches, 188, 189

B

BANACH-STEINHAUS, Satz von, 138
BANACHraum, 75, 113, 137
BANACHscher Fixpunktsatz, 95, 96

BERNSTEIN, S. N., 41
Bernsteinpolynome, 42
beschränkte Menge im Rⁿ , 119
beschränkter Operator, 77
beweisbare Aussage, 183
Be weis ver fahren, 185
bikompakter Raum, 45
Bildraum, 72, 88
BOLZANO- WEIERSTRASS, Satz von, 75
BoRELsche Menge, 17

BRACKX, F., 160
BROUWERscher Fixpunktsatz, 99, 107, 138, 140

BROWDER und MINTY, Satz von, 138

C

CANTORsches Diagonal ver fahr en, 23, 38, 75
CAUCHY-Folge, 96
CAUCHYKOWALEWSKAJA Satz von, 145, 155
CAUCHYsche Integralformel, 148
CLIFFORD-Analysis, 159
Coker, 89

D

DELANGHE, R., 160

- δ -Distribution, 172
demi-stetiger Operator, 138

DESCARTES, R., iii, 195, 196
Diagonalfolge, 23, 38, 76, 118
dicht liegende Menge, 50
Dichte, 7
Differentialgleichung
- gewöhnliche, 12, 125
- nichtlineare partielle, 128
- partielle, 136
Differentialoperator, elliptischer, 90
Dimension eines Raumes, 75
DlRAC, P. A. M., 193
DiRACsche δ -Distribution, 172, 192, 193
Distanz, 74
Distribution, 168
Distributionen-Ableitung, 169, 174
Distributionenlösung, 169
Distributivgesetz, 113
Dreiecksungleichung, 44, 74, 95
duale Gleichung, 88
dualer Raum, 136

E

eineindeutige Abbildung, 72

EINSTEIN, A., 193
ElNSTElNsches Additionstheorem, 34
Eliminationsverfahren, 68
EMPEDOKLES, 196
entscheidbare Menge, 184
e-Netz, 117
Ereignis, 15
Erlanger Programm, 193
Erwartungswert, 8
EUKLID von Alexandria, iii, 181, 182, 196
euklidische Geometrie, 182
Evolutionsprozess, 11

F

Fixpunkt, 94, 99
Fixpunktproblem, 112
Fixpunktsatz
- von BANACH, 95, 96
- von BROUWER, 99, 107, 138, 140
- von LERAY-SCHAUDER, 129
- von SCHAUDER, 120, 125, 127
Fortsetzungssatz von HAHN und BANACH, 64

FREDHOLM, I. , 71
FREDHOLMsche Alternative, 68
Fundamentalfolge, 74, 96, 113
Fundamentallösung, 172
Funktion
- analytische, 148
- gleichgradig stetige, 37
- gleichmäßig beschränkte, 37
- harmonische, 163
- hölderstetige, 89
- holomorphe, 148
- monotone, 133
- reguläre, 148
Funktional, 61, 135

G

GÄHLER, W., 59
GAJEWSKI, H., 138
GENTZEN, G., 189
Gerade im BANACHraum, 81
gewöhnliche Differentialgleichung, 12, 125
gleichgradig stetige Funktion, 37
gleichmäßig beschränkte Funktion, 37
Gleichung
- adjungierte, 88
- algebraische, 111
- assoziierte, 88
- duale, 88
- erster, zweiter und dritter Art, 91
- nicht-lineare, 92
- transponierte, 88
Gleichungssystem
- homogenes lineares, 67
- lineares algebraisches, 67
- nicht-lineares, 93
- nichtlineares algebraisches, 110
globale Analysis, 90 GÖDEL, K., 183, 186, 189
GÖDELscher Unvollständigkeitssatz, 183, 188, 189
GÖDELzahl, 185 GRÖGER, K., 100, 138
GREENsche Integralformel, 162

H

Halbordnung, 53, 64
harmonische Funktion, 163
HARNACKscher Konvergenzsatz, 179
Hauptfall der FREDHOLMschen
- Alternative, 68, 87
HAUSDORFF-Raum, 129

HERMES, H., 53

HEUSER, H., 10

HILBERT, D., 183
hölderstetige Funktion, 89

HÖRMANDER, L., 90

HOLMGREN Satz von, 156
holomorphe Funktion, 148
homogene Integralgleichung, 87
homogene Operatorgleichung, 78
homogenes lineares Gleichungssystem, 67

I

Identitätseigenschaft einer Relation, 53
indefiniter Ausdruck, 34
Index eines Operators, 89, 90
Inklusion, 54
Integralgleichung, 68, 86, 88, 111
- singuläre, 89
Integraloperator, 77

K

KAMKE, E., 12
Kern einer Abbildung, 89
Kette, 55
klassische Lösung, 163
KLAUA, D., 59
KLEIN, F., 193
Koeffizientenvergleich, 146
koerzitiver Operator, 137
KOLMOGOROW, A. N., 6, 15, 16, 21
kompakte Menge, 116
kompakte Menge im Rⁿ , 119
kompakter Operator, 77
Kontraktions-Prinzip, 95, 96
konvergente Folge, 113
Konvergenz von Distributionen, 170
Konvergenzsatz
- von HARNACK, 179
- von WEIERSTRASS, 149
konvexe Hülle, 114
konvexe Menge, 108, 114

KRICKEBERG, K., 9, 21

L

LAPLACE, P. S., 3
LAPLACEsche Differentialgleichung, 161
LEIBNIZ, G. W., 192, 196
Lemma
- von MAZUR, 123
- von WEYL, 163
- von ZORN, 55
LERAY-SCHAUDERscher Fixpunktsatz, 129

LEUKIPPOS, 196
linear unabhängige Elemente, 75
linearer Operator, 77
lineares algebraisches Gleichungssystem, 67

LJUSTERNIK, L. A., 142
LORENTZ-Transformation, 33

M

Majorantenverfahren, 147
maximales Element, 54
Maximum-Minimum-Prinzip, 163
Maximumnorm, 44, 75, 125
MAZUR, Lemma von, 123
Menge
- beschränkte im Rⁿ , 119
- BORELsche, 17
- dicht liegende, 50
- entscheidbare, 184
- kompakte im Rⁿ , 119
- konvexe, 108, 114
- rekursiv aufzählbare, 187
- relativ kompakte im Rⁿ , 119
- total beschränkte im Rⁿ , 119
Mengenring, 16
Methode der kleinsten Quadrate, 2
Metrik, 74, 113
metrischer Raum, 44
MICHELSON- Versuch, 25
MICHLIN, S. G., 91
minimales Element, 54
MINKOWSKI, H., 193
Mittel, arithmetisches, 1
Mittelwert einer Funktion, 163
monotone Funktion, 133
monotoner Operator, 136
MOSTOWSKi, A., 190
MUSCHELISCHWILI, N.L, 90

N

NAGY, B. SZ., 86-88

NATANSON, I. P., 41
neutrales Element, 73

NEWTON, L, 192
NEWTONsche Mechanik, 25, 182
NEWTONsches Potential, 170
nichteuklidische Geometrien, 182
nichtlineares algebraisches Gleichungssystem, 110

NOLLAU, V., 10
Norm, 74, 113
Normal vert eilung, 9
Nullelement, 73
Nullraum, 72, 88

O

obere Grenze, 55
obere Schranke, 54
Operator, 73, 77
- beschränkter, 77
- demistetiger, 138
- koerzitiver, 137
- kompakter, 77
- linearer, 77
- monotoner, 136
- radial-stetiger, 137
- stetiger, 78
Operatorgleichung, 135
Optimierung, 13
- von Fixpunktmethoden, 130
Ordnung, 55

P

PALAIS, R. S., 91
Parallelenaxiom, 181
PEANO, Satz von, 128
PEANOsches Axiomensystem, 188, 189
periodische Funktion, 50
Peripetierechnung, 195
PLATON, 196
POGORZELSKI, W., 120
POISSONsche Integralformel, 164
Potential, 170 PRÖSSDORF, S., 91

PYRRHON, 196
Pythagoreer, 196

R

radial-stetiger Operator, 137
Randverteilung, 20
Randwertaufgabe, 164
Raum
- bikompakter, 45
- dualer, 136
- linearer, 61, 73, 113
- metrischer, 44
reflexiver, 137
- separabler, 51
- vollständiger, 75, 96, 113
reflexiver Raum, 137
Reflexivität einer Relation, 53
reguläre Distribution, 168
reguläre Funktion, 148
Regularisator, 178
rekursiv aufzählbare Menge, 187
relativ kompakte Menge, 116
relativ kompakte Menge im Rⁿ , 119
Relativitätstheorie, 182
Retrakt, 100 RIESZ, F., 86-88
Ring, 44 ROGERS, C. A., 100

S

Satz von
- ARZELà-ASCOLI, 37, 77, 127
- BANACH-STEINHAUS, 138
- BOLZANO- WEIERSTRASS, 75
- BROWDER-MINTY, 138
- CAUCHY-KOWALEWSKAJA, 145, 155
- HOLMGREN, 156
- PEANO, 128
SCHAUDERscher Fixpunktsatz, 120, 125, 127

SCHMIDT, E., 71
schwache Konvergenz, 137, 142

SCHWARTZ, L., 168
SCHWARZsche Ungleichung, 135
separabler Raum, 51
sigmaadditive Wahrscheinlichkeit, 16
Sigma-Mengenring, 16
SlKORSKI, R., 120
SINGER, I. M., 90
singuläre Integralgleichung, 89
Skalarprodukt, 134-136, 139

SOBOLEW, W. L, 142
SOBOLEW-Lösung, 163, 170
SOMMEN, F., 160
stetiger Operator, 78
Steuerfunktion, 11
stochastischer Prozess, 18

STONE, M. H., 47
sublineares Funktional, 61
sukzessive Approximationen, 98
Supremum, 55

T

Teilraum, 61, 79
Testfunktion, 162, 168

THALES von Milet, 195
topologischer Raum, 45
topologisches Bild, 107
total beschränkte Menge, 117
- im Rⁿ , 119
Träger einer Test funkt ion, 168
Transitivität einer Relation, 53
transponierte Gleichung, 88
triviale Lösung, 67, 87

U

unvollständiges Beweis ver fahren, 186

USPENSKIJ, V. A., 187, 188

V

verallgemeinerte Lösung, 163
Vergleichbarkeit, 55
Verteilungsfunktion, 4
Verträglichkeitsbedingungen, 21
vollständiger Raum, 75, 96, 113
vollständiges Axiomensystem, 181
vollständiges System linear unabhängiger Elemente, 138

W

wahre Aussage, 183
Wahrscheinlichkeit, 2, 16
Wahrscheinlichkeitsdichte, 7
Wahrscheinlichkeitsmaß, 16
WElERSTRASSscher Approximationssatz , 41, 44
WElERSTRASSscher Konvergenzsatz, 149
Wellengleichung, 158
WEYLsches Lemma, 163
widersprüchliches Beweisverfahren, 186
Wort, 183

Z

ZACHARIAS, K., 138
ZoRNsches Lemma, 55
zufällige Variable, 17
Zylinder in Funktionenräumen, 18

Autoren

Dr. Josef Naas hatte eine Professur für Mathematik in der Akademie der Wissenschaften in Berlin inne. Dr. Wolfgang Tutschke bekleidet eine Professur für Mathematik an der Technischen Universität Graz.