Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Vorwort

Drei Facetten machen den Inbegriff der Linearen Algebra oder entsprechend überhaupt jedes größere mathematische Gebietes aus. Zuerst geht es um den Kerninhalt der Linearen Algebra für sich. Dann steht die Lineare Algebra in zahlreichen Querverbindungen zu den anderen mathematischen Disziplinen, auf der hier relevanten Ebene insbesondere zur Analysis, die ja, wie die Lineare Algebra, am Eingang jedes mathematischen oder mathematisch orientierten Studiums steht. Drittens nennen wir die erstaunliche Eigenschaft mathematischer Begriffe, in vielem die adäquate Ausdrucksform für unterschiedlichste andere Wissenschaften zu sein. Dieses Buch will eine Einführung in die Lineare Algebra für ein Studium der Mathematik und überhaupt der mathematisierbaren Disziplinen bieten. Die Einführung soll insofern vollständig sein, als allen drei aufgeführten Aspekten reichlich Raum gegeben wird. Da es unseres Wissens eine derartige und ähnlich weit eindringende Darstellung in deutscher Sprache sonst nicht gibt, wird das Buch, wie wir hoffen, seinen Wert besitzen. - Was dürfen Leserin und Leser demnach erwarten?

• Zunächst geht es also um die Kerninhalte der Linearen Algebra. Ursprünglich vor allem in Zusammenhang mit geometrischen Anwendungen entwickelt, lässt die Lineare Algebra die Motivierung vieler dann durchaus abstrakter Begriffe aus sehr anschaulichen Überlegungen heraus zu, was der Verständlichkeit sehr zugute kommt. Diese Gelegenheit, den Zugang möglichst schonend zu gestalten, lassen wir uns nicht entgehen. Die Kerninhalte sind für die folgenden Punkte unentbehrlich .

• Wir stellen also auch Querverbindungen zur Analysis her, die ja gewöhnlich parallel zu unserem Gebiet gehört wird, bevölkern dadurch jenes merkwürdige Niemandsland, das sich nicht selten zwischen Linearer Algebra und Analysis erstreckt, und demonstrieren zugleich die Kraft der Methoden der Linearen Algebra, nicht zuletzt auch dadurch, dass man ohne besondere Schwierigkeiten in Regionen vorstößt, die der Analysis erst wesentlich später zugänglich sind, wie gewisse etwa partielle Differentialgeichungen; sie stellen sich uns als wenn auch großes, so doch relativ einfach zu lösendes lineares Gleichungssystem dar.

• Vielleicht noch erstaunlicher ist die Breite, in der die Mathematik, hier eben die Lineare Algebra, auf andere Wissenschaften inklusive Technik, anwendbar ist; unterschiedlichste Problemstellungen (aus Sicht der Einzelwissenschaften) lassen sich dabei oft mit denselben mathematischen Begriffen fassen bzw. lösen. Dementsprechend ist es natürlich, dies an ganz unterschiedlichen Beispielen zur Datenanalyse, Bildverarbeitung, den physikalischen Wissenschaften (Wärmeleitungsgleichung, Advektionsgleichung) u.a. deutlich zu machen. Dass auch die Lineare Optimierung nicht fehlt, versteht sich; hier zeigen die Beispiele wieder, dass dieses Gebiet nicht nur für Wirtschaftswissenschaften relevant ist, sondern darüber hinaus auch für Mathematik (Approximation), Steuerung technischer System usw.

In der realen Anwendung der Linearen Algebra vollzieht sich innerhalb wie außerhalb der Mathematik i.e.S. ein entscheidender Wandel. Numerische Verfahren, die früher mühsamer Programmentwicklungen bedurft haben, lassen sich heute durch leistungsstarke PCs sowie mächtige Softwarepakete bzw. Programmbibliotheken leicht anwenden; der Kreis derjenigen, die Lineare Algebra in diesem Sinn wirklich nutzen, erweitert sich aus diesem Grund ständig. Die Besprechung numerischer Methoden darf also nicht fehlen; zahlreiche unserer Beispiele wären ohne sie undurchführbar. Dazu kommen Programmbeispiele in einem wohl weitgehend selbsterklärenden Pseudocode, die hoffentlich zu recht vielen eigenständigen Experimenten anregen; mehr dazu später im Vorwort.

Aufbau des Buches. Natürlich kann das Buch von A-Z gelesen werden. Es wäre freilich eine schädliche Pedanterie, ein solches Werk unter allen Umständen Seite für Seite durchzugehen. - Am ehesten wird man geneigt sein, das erste Kapitel zu überspringen, ist doch der Inhalt vielen Lesern sicher weitgehend bekannt. (Vielen Leserinnen natürlich gleichermaßen. Wir wollen aber allzu gewundene oder holprige Sprachkonstrukte vermeiden und vertrauen darauf, dass unsere Leserinnen sich auch bei Verwendung des grammatikalischen Geschlechts voll angesprochen fühlen. Schrieben wir Latein, so stünden wir nicht an, das Femininum persona oft zu gebrauchen.) Gerade das erste Kapitel sollte aber nicht leichtfertig übersprungen werden, erleichtert doch die Betrachtung vieler an sich bekannter Sachverhalte vom elementaren wie auch vom höheren Standpunkt aus den notwendigen Übergang zu einer Denk- und Sprechweise, die für die Mathematik letztlich entscheidend ist.

Die Kapitel 2-8, möglicherweise 2-9, machen den traditionellen Kern der Linearen Algebra aus. Bei uns sind schon hier Anwendungen wesentlich ausgiebiger ausgefallen als sonst häufig. Wir hoffen, dass auch ein eiliger Leser, der vielleicht zunächst nur das Gerüst im Sinne hat und die größeren Anwendungen zuerst überschlägt, später zu ihnen zurückkehrt, weil dort wirklich interessante und wichtige Dinge stehen (Abschnitte 3.6,3.7,7.7, 7.8,8.8-8.10). Von den sehr anwendungsorientierten Kapiteln 10-12 kann jedes weitgehend für sich studiert werden, trotz natürlich bestehender Querverbindungen. Man wird es sicherlich z.B. im Kapitel 10 (partielle Differentialgleichungen) als äußerst bemerkenswert empfinden, zu welch großer und zu Beginn sicher ungeahnter Tragfähigkeit sich Motive entfalten, die schon recht früh und harmlos auf getreten sind (u.a. orthogonale Projektionen im ersten Kapitel); Ähnliches gilt in Hinblick auf Kapitel 11 (numerische Verfahren), aber auch schon früher, z.B. bei der Fouriertransformation. Am Ende der Kapitel 11 und 12 findet man Literatur für tieferes Studium.

Programmbeispiele. Die Programmbeispiele illustrieren die Implementation von Verfahren und beschreiben die Methoden manchmal besser als eine Abfolge von Formeln. Wir geben die Beispiele als Pseudocode, der ziemlich unmittelbar verständlich ist. Die Versuchung, den Code in einer bestimmten Programmiersprache zu schreiben, ist für uns keine gewesen; denn es gibt mittlerweile eine Fülle von Entwicklungsumgebungen bzw. Sprachen, und nichts hätte dem Verfasser ferner liegen können, als durch Wahl welcher Plattform auch immer die Mehrheit der Leser gegen sich aufzubringen, die auf einer anderen Plattform arbeiten, z.B., weil diese an ihrer Universität eingeführt ist. Außerdem kann man in einem Pseudocode die Darstellung auf das Wesentliche konzentrieren und vermeidet die Erdenschwere, die jeder konkreten Implementation doch anhaftet. Natürlich hoffen wir, dass die Programmbeispiele und diverse Anregungen möglichst oft in wirkliche Programme umgesetzt und Erfahrungen mit den Methoden gesammelt werden. Dass entsprechende, gegenüber dem Herkömmlichen erweiterte Übungen zunehmend an den Universitäten angeboten werden, wird zu Versuchen zusätzlich anregen. Es ist eindrucksvoll, wie viele Aufgaben heute der numerischen Behandlung oft sogar relativ leicht zugänglich sind, an deren analytische Lösung nicht gedacht werden kann.

Für derartige Experimente kann man sich kommerzieller Umgebungen wie Matlab, Mathematica o.dgl. bedienen, die auch viele der Verfahren der Linearen Algebra schon bereitstellen. Erfreulicherweise existiert mit SCILAB hier auch eine frei erhältliche, sehr brauchbare Entwicklungsumgebung (http://www.scilab.org). - Programmiersprachen wie Fortran, C++ oder Java sind eine Alternative. In diesem Fall wird man auf fertige Programmbibliotheken, oft public dotnain, wie etwa LAPACK für grundlegende Verfahren zurückgreifen; siehe insbesondere das Netlib Repository (http://www.netlib.org).

Aufgaben. Für eine Anzahl der Aufgaben, die man nach zahlreichen Abschnitten findet und deren selbstständige Durchführung für eine Beherrschung des Stoffes unverzichtbar ist, sind unter (http://www.univie.ac.at/acore/linalg.htm) Lösungen gegeben.

Danksagung. Zunächst möchte ich mich bei meiner Frau Claudia herzlich dafür bedanken, dass sie durch ihren persönlichen Einsatz mir ein effizienten Arbeiten in der arbeitsintensiven Zeit der Erstellung des Buches ermöglicht hat. Bei Herrn B. Löw-Baselli bedanke ich mich für ein Durchsehen des Buches und eine Anzahl von Korrekturen, bei Herrn Chr. Obertscheider für die Erstellung der Abbildungen. Dem Elsevier-Verlag (Dr. A. Rüdinger, B. Alton) danke ich für gute Zusammenarbeit, Herrn Dr. Rüdinger insbesondere auch für Anregungen hinsichtlich Didaktik und Inhalt. Dank schulde ich schließlich auch Dr. J. Chen (UC Davis) und B. Lutzmann in Hinblick auf Abbildung 9.3 sowie Herrn J. Arnberger für wertvolle Hinweise.

Eisarn im Strassertal, September 2005

Herbert J. Muthsam

Klappentext

Dieses Lehrbuch bietet Studierenden der Mathematik, der Natur- und Ingenieurwissenschaften eine gründliche Einführung in die Lineare Algebra. Dabei wird starkes Gewicht auf die Wechselbeziehungen zwischen guter Theorie und mächtigen Anwendungen gelegt.

Für den sanften Einstieg in die oft als schwierig empfundene mathematische Denkweise wählt das erste Kapitel "anschaulich evidente" geometrische Prinzipien als Ausgangspunkt, um schrittweise zu einer strukturellen Betrachtungsweise zu gelangen. Begriffe, die hier entstehen, sind dann für die gesamte Darstellung fundamental; in ihr wird der kanonische Inhalt der Linearen Algebra in enger Verflechtung mit geometrischer Deutung und Anwendungen entwickelt.

Detailliert ausgearbeitete Anwendungen, die sich auf dieser Basis ganz natürlich ergeben, umfassen insbesondere die Fouriertransformation, gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare Optimierung sowie Methoden der Modellierung (finite Elemente) und numerische Verfahren mit Blick auf Fragen aus Naturwissenschaften, Technik und Wirtschaftswissenschaften.

Programmbeispiele regen zu eigenen Experimenten am Computer an. Eine Vielzahl von Übungsaufgaben festigt das Verständnis des Gebotenen und vertieft es. Zu ausgewählten Aufgaben werden Lösungen im Internet angeboten.

ELSEVIER

SPEKTRUM

AKADEMISCHER

VERLAG

ISBN-13:978-3-8274-1632-2
ISBN-10:3-8274-1632-9

www.elsevier.com
www.elsevier.de

9783827416322

Register

Index
C, 50
N, 2
Q, 2
E, 2
Rⁿ , 7
Z, 2
C(I), 63
Sn, 51
G£(K, n), 174
£(V, W), 84
Abbildung, siehe auch Matrix, 35

A

adjungierte, 239
- inverse, 41
- lineare, 80
- orthogonale, 249
- unitäre, 249
Abhängigkeit, lineare, 26, 68
Advektionsgleichung, 337
Allquantor, 5 alternierend, 169
Anfangswertproblem, 304
Approximation
- trigonometrische, 277 Äquivalenzrelation, 145
Argument, 54
assoziativ, siehe Gruppe Ausgleichsrechnung, 230, 315
Automorphismus
- eines linearen Raums, 155

B

Basis, 72
Basisindexvektor, 417
Basispunkt, 417
Beschränktheit lin.
Abbildungen, 364
Betrag, 29
- komplexer Zahlen, 53
Bewegungsgruppe, 268
Beweis
- indirekter, 9
- durch Induktion, 33
bijektiv, 38
Bild, 39
- einer linearen Abbildung, 137
Bilinearform, 256
BLAS, 93

C

C++, VII
Codimension, 156
Courant-Friedrichs-Lewy-Bedingung, 343
Courant-Zahl, 339

D

Definitheit
- einer Matrix, 260
- einer quadratischen Form, 259
Determinante, 13, 160, 171
- Leibniz'sche Formel, 169
- Vandermonde'sche, 178
Determinanten
- Entwicklungssätze, 177
Determinantenformel
- Leibniz'sche, 171
diagonal dominant, 376
Diagonalisierung, 193
Differentialgleichung
- gewöhnliche, 299
Diffusionsgleichung, siehe Wärmeleitungsgleichung Dimension, 70
Distributivgesetz, siehe Körper, Vektorraum Distributivgesetz
- bei Mengen, 4
Divergenz, 324
Dreiecksmatrix, 107
Durchschnitt, 3

E

Ebene, 27
Ecke, 413
entartete, 420
Ecken
- benachbarte, 421
Eckenaustausch, 423
Eigenraum, 193
- verallgemeinerter, 293
Eigenvektor, 192
- verallgemeinerter, 293
Eigenwert, 192
Einheitsmatrix, 85
Einheitssphäre, 310
Einheitswurzeln, 55, 277
Element, 2
- inverses, 47
- neutrales, 47
Elemente, finite, 322
Eliminationsverfahren, Gauß'sches, 96
Endomorphismus, 63
Energienorm, 328
Entwicklungssätze für Determinanten, 177
Erhaltungsgesetz, 322
Erzeugnis, 66
Erzeugung (einer Gruppe), 165
Exponentialfunktion
- komplexe, 272
Extremalpunkt, 413

F

Faktorielle, 164
Fakultät, 164
Fehler
- relativer, 366
FFT, 280
finite Elemente, 322
Fixpunktsatz, 374
Flächen zweiter Ordnung, 267
Flussfunktion, 129, 323
Form, quadratische, 258
Fortran, VII
Fourierreihen, 272
Fouriertransformation
- diskrete, 277
- schnelle, 280

G

Gauß-Seidersches Verfahren, 368
Gerade, 9
Glättungsfaktor, 381
Gleichungssystem
- homogenes, 100
- lineares, 96
Gradienten, konjugierte, 383
Gradientenverfahren, 383
Graph, 35
Gruppe, 46
- allgemeine lineare, 174, 264
- orthogonale, 266
- spezielle lineare, 264
- symmetrische, 51
- unitäre, 266

H

Hülle, lineare, 66
Hauptachsentransformation, 270
Hauptminor, 260
Hauptvektor, 293
Hessenbergmatrix, 396
Hilbertraum, 239
Homomorphismus
- zwischen Körpern, 56
zwischen Vektorräumen, 63
Horner-Schema, 75
Householdermatrix, 349
Hyperebene, 267
Hyperfläche, 267

I

Identität, 85
Impulsdichteflussmatrix, 95
Indexvektor, 416
Induktionsbeweis, 33
injektiv, 38
Interpolationsformel
- Lagrange'sche, 78
- Newton'sche, 73
Invarianzeigenschaft, 264
invers, siehe Abbildung, Matrix Inverse
- Moore-Penrose- 317
Isomorphismus
- zwischen Körpern, 56
- zwischen Vektorräumen, 63, 154
Iteration
inverse, 394
Iterationsfunktion, 372
Iterationsverfahren, 368

J

Jacobi'sches Verfahren, 368
Java, VII

K

Körper, 52
- der komplexen Zahlen, 53
- der reellen Zahlen, 53
- endliche, 57
Kern, 136
kommutativ, siehe Gruppe Komplement, 156
- orthogonales, 216
Komplexifizierung, 198
Komplexität, 116
Konditionszahl, 366
Konjugation, komplexe, 56
Konsistenzbedingung, 372
Kontinuitätsgleichung, 324
Kontraktion, 374
Kontrolltheorie, 409
konvex, 208, 411
Konvexkombination, 412
Kriterium, 146
Kronecker-Symbol, 78
Kroneckersymbol, 207
Kurven zweiter Ordnung, 267

L

Lösung
- optimale (Ausgleichsproblem), 315
Landau-Symbol, 116
LAPACK, 93
Laplace-Operator, 325
Lehrsatz, pythagoreischer, 19
Leibniz, 171
Linearfaktor, 189
LR-Zerlegung, 107

M

Mathematica, VII Matlab,
VII
Matrix, 82
- adjungierte, 222, 239
- antiselbstadjungierte, 247
- diagonale, 140
- Gram'sche, 220
- Hermite'sch konjugierte, 223
- Hermite'sch selbstadjungierte, 223
- Hessenberg'sche, 396
- Householder'sche, 349
- inverse, 113
- nilpotente, 298
- normale, 240
- orthogonale, 246, 249
- rechte obere, 107
- schiefsymmetrische, 247
- selbstadjungierte, 223
- symmetrische, 223
- transponierte, 121
- tridiagonale, 123
- unitäre, 246, 249
Matrixnormen, 362
Matrizen
- ähnliche, 146
Multiplikation, 89
Mehrgitterverfahren, 379
Menge, 2
zulässige, 410
Mengenlehre, 2
Mengenoperationen, 3
- Methode, siehe Verfahren Moore-Penrose-Inverse, 317
Multigrid-Methode, 379
Multilinearform, 169
Multiplikation, von Matrizen, 87
Multiplikativität, 53, 174

N

nilpotent, 298
Norm, 15, 211
- Äquivalenz, 358 1
- 213
- euklidische, 210
- Hilbert'sche, 365
- induzierte, 362
- Maximums- 213
- Schur'sehe, 366
Normalform
- Jordan'sche, 292
- Schur'sehe, 200
Normalgleichungen, 231
Normierung eines Vektors, 20
Nullraum, 136
Nullstelle eines Polynoms, 189

O

Obermenge, 3
Optimierung lineare, 403
Orientierung, 264
Orthogonalbasis, 218
Orthogonalisierung
- mit QR-Zerlegung, 355
nach QR-Zerlegung, 213
Orthogonalität, 17, 206
Orthogonalprojektion, 20, 227
Orthogonalraum, 216
Orthonormalbasis, 218

P

Parallelrechner, 116
Permutation, 42, 51, 164
- Signatur, 165
Pivotelement, 100
Polardarstellung, 54
Polyeder, 411
Polynom, 62, 186
- charakteristisches, 194
Polynome
- Laguerrre'sche, 218
- Legendre'sche, 215
Potenzmethode, 393
Primzahl, 59
Problem, unsachgemäßes, 115
Produkt
- äußeres, 28
- cartesisches, 7
- dyadisches, 95
- euklidisches, 204
- inneres oder skalares, 15, 204
Produktionsplanung, 404
Projektion, orthogonale,
- siehe Orthogonalprojektion Proximum, 229
Pseudoinverse, 317
Punkt
- zulässiger, 410

Q

q.e.d., 32
QR-Zerlegung, 349
Quotientenraum, 152

R

Räume, charakteristische einer lin.
Abbildung, 225, 309
Rang, 143
- numerischer, 312
Raum
- euklidischer, 204
- linearer, siehe Vektorraum Regel, Cramer'sche, 180
Residuum, 384
Resolvente, 183
Restklasse, 57
Rotation, 84

S

Schlupfvariable, 405
Scilab, VII
Segmentmatrix, Hilbert'sche, 113
Sesquilinearform, 262
Signatur, 165
Simplexverfahren, 421
Singulärwerte, 307
Singulärwertzerlegung, 306
Spaltenraum, 84
Spaltensummennorm, 365
Spaltenvektor, 82
Spannungsmatrix, 247
Spektralnorm, 365
Spektralradius, 365
Spektralverschiebung, 395
Spur, 195
SSL, 93
Stabilitätsanalyse
- von Neumann'sche, 337
Standardproblem der Optimierung, 410
submultiplikativ, 363
Summe
- direkte, 149
- linearer Räume, 147
- orthogonale, 216
Summe von Räumen, 147
Summe, direkte, 148
Summenschreibweise, 33
surjektiv, 38
SVD, 306
- minimale, 308

T

Teilmenge, 3
- Teilraum, 64
- affiner, 111
Tensorprodukt, 95
Transposition, 84, 121, 164
Triangulierung, 329

U

- Übergangsmatrix, 372
Unabhängigkeit, lineare, 68
Unbhängigkeit, lineare, 26
Ungleichung, Cauchy-Schwarz'sche, 205, 210
Untergruppe, 168
Unterraum, siehe Teilraum upstream differencing, 339

V

Variation der Konstanten, 137
Vektor, Vektoroperationen, 8
- Vektorraum, 61
Vektorraumisomorphismus, 154
Vektorschreibweise, 77
Vereinigung, 3
- Verfahren
- Gauß-Seidel'sches, 368
- gedämpftes Jacobi'sches, 383
- Horner'sches, 75
- Jacobi'sches, 368
Verträglichkeit von Normen, 363
Verträglichkeitsbedingung, 372
Vielfachheit
- algebraische, 196, 199
- einer Nullstelle, 190
- eines Eigenwertes, 199
- geometrische, 199
Viskositätsmatrix, 247

W

Wärmeleitungsgleichung, 123, 128, 324
Winkel, 17, 206
Euler'sehe, 253

Z

Zahlen
- ganze, 2
- komplexe, 49, 53
- natürliche, 2
- rationale, 2
- reelle, 2, 52
Zeilensummennorm, 364
Zeilenvektor, 82

Autor

Zuschriften und Kritik an:

Elsevier GmbH, Spektrum Akademischer Verlag, Dr. Andreas Rüdinger, Sievogtstraße 3-5, 69126 Heidelberg

Autor

Herbert J. Muthsam ist Professor an der Fakultät für Mathematik der Universität Wien. Er hält Vorlesungen für Studierende der Mathematik und der physikalischen Wissenschaften. Der Schwerpunkt seiner Forschungen liegt in der numerischen Modellierung von Strömungen, insbesondere im astrophysikalischen Zusammenhang.

Reviews

"It can be stated that Chapters 1-9 cover the usual standard material of basic linear algebra, whereas Chapters 10-12 offer a wealth of additional applied topics. The latter are presented in a very elaborated and detailed form, which makes the present book particularly valuable for a wide audience of students in applied sciences. In view of its outstanding lucidity, its numerous instructive examples and carefully selected sets of exercises, its computer-oriented hints, and its steady focus on the interplay between theory and practice, the present book is by far much more than just another standard text in linear algebra. Rather, it is fairly unique in both its user-friendly disposition and its pronounced versatility, which certainly will be appreciated by a wide audience of students and instructors in various sciences."

Werner Kleinert (Berlin) in Zentralblatt Mathematik