Vorwort

Vorwort zur 4. Auflage

Dieses Buch wendet sich an alle, die sich ernsthaft mit Mathematik beschäftigen wollen, ganz besonders aber an Studienanfänger. Es soll Freude am logischen Aufbau der Mathematik und der Technik des Beweisens wecken, an Dingen also, die im Schulalltag meistens zu kurz kommen. Das geht nicht ohne schulische Vorkenntnisse. Allerdings genügt ein Grundkurs in Mathematik, und ein paar Erinnerungslücken seien dem Leser auch gestattet. Das Buch fordert vor allem zum Mitdenken auf und öffnet damit die Tür zu neuen Welten. Jeder, der sich darauf einlassen will, ist herzlich willkommen. Er wird erleben, dass Mathematik auch Spaß machen kann.

Anlass für mich, die erste Auflage dieses Buches zu schreiben, war ein Brückenkurs mit dem Titel "Mathematik für Mathematiker", den ich 1992 und 1993 an der Universität Wuppertal gehalten habe. Schülerinnen und Schülern mit Fachoberschulreife sollten genügend Kenntnisse vermittelt werden, um ihnen die fachgebundene Hochschulreife für ein Studium der Mathematik bestätigen zu können. Inzwischen gibt es keine Brückenkurse mehr, es wurde ein Vorkurs für Studienanfänger daraus, so wie es sie an vielen Hochschulen gab und weiterhin gibt. Das Buch umfasst allerdings weit mehr als das, was in einem solchen Vorkurs behandelt werden kann. Es hat sich deshalb in den letzten Jahren auch als hilfreicher Begleiter in den Stürmen des ersten Semesters erwiesen.

Früher begann die erste Mathematikvorlesung gerne mit den Worten "Vergessen Sie alles, was Sie bisher gelernt haben! Wir fangen noch einmal ganz von vorne an." Das war natürlich glatt gelogen. Auch wenn für die Anfänger das Gebäude der Mathematik von Grund auf neu errichtet wird, so bliebe doch alles ohne die Erfahrungen aus der Schule unverständlich. In diesem Sinne setze ich auch ein paar Kenntnisse voraus. Beherrschen sollte man den Umgang mit algebraischen Termen, das Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen, das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln. Die euklidische Geometrie (Pythagoras, Kongruenzsätze), die Winkelfunktionen und die elementare analytische Geometrie (Koordinaten und Gleichungen für Geraden und Kreise) sollten keine Fremdwörter sein. Aus der Oberstufe wären einige Erinnerungen an reelle Zahlen und Funktionen hilfreich, noch wichtiger ist aber die in dieser Phase erworbene Fähigkeit zum abstrakten Denken. Ist alles Genannte vorhanden, so kann ich darauf aufbauend Teile des Oberstufenstoffs und einiges mehr vermitteln. Dies geschieht hier mit den Methoden der Hochschulmathematik. Damit biete ich wahrscheinlich den meisten etwas Neues und darüber hinaus eine Hilfe, den Erstsemester-Schock besser zu verkraften.

Die vierte Auflage unterscheidet sich inhaltlich nicht allzu sehr von der vorigen, neu hinzugekommen sind Lösungen zu den meisten Übungsaufgaben. Vor allem aber wurde das Layout verändert und damit ein didaktisches Konzept eingesetzt, das sich schon an anderer Stelle bewährt hat.

Jedes Kapitel ist in Unterabschnitte mit eigenen Titeln gegliedert. Einzelne Aufgaben begleiten den Text und helfen bei der Vertiefung. Am Ende des Kapitels ist häufig ein Ergänzungsteil untergebracht, mit zusätzlichen, eventuell anspruchsvolleren Inhalten. Dann folgt ein Tutorium, mit vielen zusätzlichen Aufgaben, Kommentaren und hilfreichen Tipps. Den Schluss bildet jeweils ein Abschnitt mit den Lösungen der nummerierten Aufgaben.

Nun zum Inhalt im Einzelnen:

Am Anfang stehen Logik und Mengenlehre, also eine Einführung in die Sprache der modernen Mathematik. Ich versuche, Vertrauen in die Fundamente der mathematischen Wissenschaft zu erzeugen, lasse aber auch Raum für ein bisschen Skepsis. Im nächsten Schritt führe ich die reellen Zahlen und ihre Teilbereiche ein. Besonderes Gewicht liegt auf der Behandlung der natürlichen und ganzen Zahlen, der Induktion, elementarer Kombinatorik und Teilbarkeitslehre. Nach einer kurzen Betrachtung der rationalen Zahlen wird das Vollständigkeitsprinzip erarbeitet, vor allem an Hand von Folgen und ihrer Konvergenz. Danach erst führe ich den Abbildungsbegriff ein, und als wichtigstes Beispiel kann ich sofort die reellen Funktionen vorstellen. Polynome, rationale Funktionen, allgemeine Potenzen und Logarithmen sind dabei besonders zu nennen.

Kapitel 6 bietet eine wenig bekannte axiomatische Einführung in die ebene Geometrie, die auf den vorher bereitgestellten Begriffen (Mengen, reelle Zahlen, Abbildungen) aufbaut, sich aber an dem Vorgehen in der Schule orientiert. Die ganze Theorie ruht auf fünf Axiomen, von denen die ersten drei (Inzidenz-, Parallelen- und Dimensionsaxiom) zum Standard gehören. Dazu kommt die Forderung nach der Existenz von "Linealen", deren Skalen sich mit Hilfe von affin-linearen Ausdrücken der Gestalt ax+b ineinander umrechnen lassen. Das kennt jeder aus dem Alltag (Rechnen mit Maßstäben, Vergleich von physikalischen Einheiten). Die Skalen lassen sich mittels Parallel-Projektion von einer Geraden auf andere übertragen. Das entspricht den Erfahrungen, die jeder beim Konstruieren mit Lineal und Geo-Dreieck gemacht hat. Der Umgang mit Streckenverhältnissen wird nun zum Kinderspiel, und die Strahlensätze beweisen sich fast von selbst. Das Konzept der Parallel-Projektion ermöglicht frühzeitig die Einführung von kartesischen Koordinaten, die zunächst noch nicht einmal rechtwinklig zu sein brauchen. Dann aber ergibt sich ein interessanter Zugang zum Begriff der Orthogonalität, und auf ganz natürliche Weise taucht derjenige Ausdruck auf, dem man später in der Vektorrechnung in der Gestalt des Skalarproduktes wieder begegnen wird.

Die Winkel-Messung wird erst in Kapitel 7 eingeführt, ihr folgt die ebene Trigonometrie, ein kurzer Abschnitt über die Ellipse und eine Einführung in die euklidischen Bewegungen. So ergibt sich ein natürlicher Übergang zu Kapitel 8. Dort führe ich den Vektorbegriff axiomatisch ein, motiviert durch den Begriff der Translation in der Ebene. Nach einigen abstrakten Untersuchungen liegt der Schwerpunkt auf Geraden und Ebenen im 2- und 3-dimensionalen Raum. Außerdem wird das GaußVerfahren als Lösungsmethode für lineare Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten vorgestellt und die Lösungsmenge untersucht.

In dem Kapitel über Differentialrechnung wird zunächst Stetigkeit und Differenzierbarkeit vorgestellt und dann über die Bestimmung und Untersuchung von Extremwerten und Wendepunkten gesprochen. Im neunten Kapitel führe ich zunächst das Riemannsche Integral als Flächenfunktion ein (der Beweis der Integrierbarkeit stetiger Funktionen ist nur der Vollständigkeit halber eingefügt und sollte in einem Kurs sicher übergangen werden), dann leite ich den Fundamentalsatz der Analysis her und erkläre das Integrieren mit Hilfe von Stammfunktionen. Wegen des Verzichts auf Reihen kann ich erst an dieser Stelle die Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus exakt einführen.

Der letzte Abschnitt hat komplexe Zahlen und Quaternionen zum Thema. Das ist als ein zusätzliches "Schmankerl" zu verstehen, um den Interessierten einen ersten Ausblick auf weitere Themenkreise zu bieten. Dementsprechend werden hier die Beweise etwas sparsamer und die Schilderungen historischer Zusammenhänge ausführlicher. Als Höhepunkt findet sich in diesem Kapitel ein vollständiger Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.

Ich hoffe, dass dieser Überblick auch einigen interessierten Laien oder Kollegen aus anderen Fachbereichen Appetit gemacht hat, und ganz besonders würde es mich freuen, wenn viele Lehrer, die ja an der Entscheidung ihrer Schüler für das Mathematikstudium mitwirken, unter meinen Lesern wären.

Das Buch bietet nicht nur einen systematischen Einstieg in die Mathematik, sondern auch viel historischen Hintergrund, Anekdoten und Übungsaufgaben, die meisten davon mit vollständigen Lösungen.

Ein paar persönliche Bemerkungen seien noch gestattet: Mein Stil mag manchem zu locker erscheinen, aber ich wende mich ja vor allem an Schüler und junge Studenten. Meine Freunde Wolfgang und Helmut, die gelegentlich zu Wort kommen, sind überspitzt dargestellte Charaktere von lieben Freunden aus meiner Studienzeit. Vielleicht erkennt sich der eine oder andere ja wieder.

Das Manuskript zur ersten Auflage wurde auf einem Atari erstellt, später habe ich es auf einem PC und auf einer Sun-Workstation weiter bearbeitet. Möglich war das mit dem genialen Buchsatz-Programm TEX von Donald E. Knuth und dem darauf aufbauenden LATEX-System. Keine andere Software (und schon gar keins der handelsüblichen Office-Programme) funktioniert so zuverlässig und kann zugleich auf allen gängigen Rechnern eingesetzt werden. Über die Jahre ist ein umfangreiches Macro-Paket entstanden, das bei der Erzeugung der Grafiken und vor allem der zweifarbigen Version sehr nützlich war. Wer sich dafür interessiert, findet Einzelheiten dazu auf meiner Homepage (zu erreichen über die Website der Fachgruppe Mathematik der Universität Wuppertal).

Zum Schluss möchte ich mich bei Barbara Lühker und Andreas Rüdinger vom Verlag Spektrum-Elsevier bedanken, die mir wie immer mit viel Geduld und konstruktiver Kritik geholfen haben.

Wuppertal, im Januar 2007
Klaus Fritzsche

Klappentext

In der Mathematik werden viele Studienanfänger mit Methoden und Denkweisen konfrontiert, auf die sie in der Schule nicht vorbereitet wurden. Dieses Buch bietet Schulabgängern unterschiedlicher Qualifikation einen leichteren Einstieg ins Studium.

Zunächst stellt das vorliegende Werk die nötigen Hilfsmittel bereit: Axiomatik, Logik und Mengenlehre. Die dabei erlernten Beweistechniken werden anschließend eingesetzt, um die aus der Schule bekannten Themen neu zu präsentieren. Schwerpunkte sind Zahlensysteme, algebraische Rechentechniken, Folgen und Grenzwerte, Funktionen bis hin zu Logarithmen und Winkelfunktionen, Geometrie und Vektorrechnung, Lineare Gleichungssysteme, Differentiationen und Integration.

Der Autor legt - bei aller mathematischen Strenge - Wert auf Verständlichkeit. Zur Vertiefung werden in jedem Kapitel Aufgaben mit Lösungen angeboten. Die lockere, mit Beispielen, historischen Einschüben und Anekdoten bereicherte Darstellung macht aus trockener Mathematik eine unterhaltsame Lektüre. Durch die exakte und manchmal auch bewusst abstrakte Präsentation vertrauter und neuer Inhalte wird ein ehrliches Bild von der mathematischen Wissenschaft vermittelt, kleine Abstecher in weiterführende Themen erzeugen Spannung. So gelingt es dem Autor zu zeigen, dass Mathematik Spaß machen kann!

Für die vierte Auflage wurde der Text vollständig durchgesehen und zweifarbig gestaltet und jedes Kapitel mit einem kleinen Tutorium, Aufgaben und Lösungen versehen.

Stimmen zur 1.Auflage:

"Es ist das beste Buch zu diesem Thema: Themenvielfalt, humorvolle Sprache."
Prof. Dr. Kronfellner, Technische Universität Wien

"Eine empfehlenswerte Einführung für Studienanfänger der Mathematik (und andere Interessierte)!"
Prof. Dr. Klaus Gloede, Universität Heidelberg

ISBN 978-3-8274-1784-8

Register

Stichwortverzeichnis

A

a priori, 16
Abacus, 3
Abbildung, 151
- identische, 168
ableitbar, 29
Ableitung, 308
- höhere, 314
- logarithmische, 348
Abstand, 207, 266, 272
Abszisse, 198
Abtrennungsregel, 25
abzahlbar, 165
Achilles und die Schildkröte, 128
Addition, 59
- von Polynomen, 158
Additionsmethode, 202
Additionstheoreme, 239
affin-linear, 153
affiner Raum, 254, 258
ähnlich, 210
Ähnlichkeitsabbildung, 209
Alexandria, 6
Algebra, 382
Allquantor, 47
American Mathematical Society, 87
Analogieschluss, 15
Ankathete, 232
Annuitätentilgung, 108
Anordnung, 65
Antinomie, 41
Anzahl, 76
Apollonius von Perge, 307
Appel, Kenneth, 71
Äquivalenz logische, 23
Äquivalenzprinzip, 25
Äquivalenzrelation, 150
Archimedes Satz des, 113
Archimedes, 4
Arcus, 225
Arcussinus, 354
Arcustangens, 316
Argand, Jean Robert, 369
Argument, 371
arithmetisches Mittel, 111
assoziativ, 45, 59, 61
Assoziativgesetz, 24
Asymptote, 238
Aufzinsungsfaktor, 107
Aussage, 17
Aussageform, 22
Aussagenlogik, 18
Außenwinkelsatz, 15, 228
Automorphismus, 175
Axiom, 9, 29
Axiomensystem, 9

B

Barbier, 41
Barrow, Isaac, 341
Basis, 274
- orientierte, 286
Basiswinkel, 12
beschränkt, 301
Betrag, 115
- einer komplexen Zahl, 371
Betragsfunktion, 156
Bewegung, 210, 244
Beweis, 12, 29
- direkter, 26
bijektiv, 164
Bild, 167
Bildraum, 279
Billiarde, 86
Billion, 86
Binomialkoeffizienten, 102
binomische Formel, 64, 104
Birkhoff, George D., 189
Bogenmaß, 226
Bolzano Satz von, 299
Bolzano/Weierstraß Satz von, 373
Bombelli, Rafael, 368
Briggs, Henry, 173
Bruch, 63
Bürgi, Jobst, 173

C

C, 370
Cantor, Georg, 37, 167
Cardanische Formel, 366
Cardano, Girolamo, 367
Cardano'sche Formel, 368
Carroll, Lewis, 51
casus irreducibilis, 368
Cauchy, Augustin, 319
Cayley, Arthur, 71, 382
Cole, Frank Nelson, 87
Conclusio, 20
Cosinus, 232, 303
Cotangens, 233
Cramer'sche Regel, 276

D

de Morgan'sche Regeln, 24
Dedekind, Richard, 37, 111
deduktive Methode, 13
Definition, 6, 29
Definitionsbereich, 151
Descartes, Rene, 15, 198
Determinante, 201, 276
Dezimalbruch periodischer, 129
Diagonalverfahren, 166
Dienes, Z.P., 44
Differentialgleichung, 376
Differentialquotient, 309
Differenz, 60
- von Mengen, 42
Differenzenquotient, 307
differenzierbar, 308
- auf einem Intervall, 314
- zweimal, 314
Dimension, 273
disjunkt, 44
Disjunktion, 19
Diskriminante, 119
distributiv, 45, 62
Distributivgesetz, 24
Division mit Rest, 84
- für Polynome, 161
Drehstreckung, 372
Drehung, 245
Dreieck, 203
- gleichschenkliges, 8
- Pascal'sches, 103
- rechtwinkliges, 207
Dreiecksgebiet, 211
Dreiecksungleichung, 116, 209
Duck, Dagobert, 86
Durchschnitt, 42
Dürre, Karl, 71

E

Ebene, 7, 189, 265
Eichsystem, 193
Eindeutigkeitsbeweis, 13
Einheitskreis, 235
Einheitsvektoren, 261
Einheitswurzeln, 377
Eins, 61
Einschränkung, 163
Einsetzungsmethode, 201
Element, 37
- größtes, 74
- kleinstes, 74
elementare Transformationen, 281
Eliminationsverfahren von Gauß, 281
Ellipse, 243
endlich, 76
E-Umgebung, 296
Eratosthenes
- Sieb des, 81
Eratosthenes von Cyrene, 81
Ergänzung quadratische, 119
Ergänzungswinkel, 229
Ersetzungsprinzip, 29
erweitern, 96
Eselsbrücke, 12
Euklid Satz von, 82
Euklid, 6
Euklidischer Algorithmus, 85
Euler, Leonhard, 369, 374
Euler'sche Formel, 375
Euler'sche Zahl, 132, 347
Existenzquantor, 47
Exponentialfunktion, 345
- komplexe, 377
Extremwerte Kriterium für hinreichendes, 317, 318
- notwendiges, 310
- lokale, 301

F

Fakultät, 101
fallen, 315
Fallunterscheidung, 15
fast alle, 130
Fermat, Pierre de, 198, 307
Ferrari, Ludovico, 367
Ferro, Scipione dal, 365
Fiore, Antonio Maria, 367
Fixpunkt, 205
Flächenfunktion, 212
Flächeninhalt, 212
Folge, 123
- geometrische, 107, 127
- monoton fallende, 130
- monoton wachsende, 130
- nach oben beschränkte, 131
- nach unten beschränkte, 131
Folgerung, logische, 20
Fuchs, Dr. Erika, 86
Fundamentalsatz der Algebra, 381, 384
- der Differential- und Integralrechnung, 343
- der Zahlentheorie, 81
Funktion, 151
- komplexwertige, 372
- lineare, 153
- periodische, 236
- quadratische, 154
- rationale, 159
- reelle, 153
- streng monoton fallende, 170
- streng monoton wachsende, 170

G

g-adische Entwicklung, 106
Gartenzaunproblem, 100
Gauss Formel von, 100
Gauß, Carl Friedrich, 4, 16, 81, 96, 369
Gauß'sche Zahlenebene, 370
Gaußklammer, 156
Gegenkathete, 232
Gegenteil, 20
gekrümmt
- nach links, 324
- nach rechts, 324
Generalisierung, 51
Geometrie
- analytische, 16, 198
- synthetische, 15
geometrische Summationsformel, 109
Gerade, 7, 189, 265
- schräge, 199
- vertikale, 199
Gibbs, Josiah Willard, 384
Gleichheit von Mengen, 39
gleichmächtig, 165
Gleichung
- kubische, 365
- quadratische, 118
Gleichungssystem, 279
- homogenes, 280
Gödel, Kurt, 59
Googol, 86
Googolplex, 86
Grad, 158
Gradmaß, 226
Graph, 152
Graßmann, Hermann G., 382
Graves, J.T., 382
Grenzwert, 123, 297
- linksseitiger, 305
- rechtsseitiger, 305
Grundbegriff, 7
Grundmenge, 42
Gruppe, 176
- abelsche, 176
Guthrie, Francis, 71

H

H, 382
Haken, Wolfgang, 71
Halbebene, 203
Hamilton, William R., 370, 381
Hamilton'sche Multiplikation, 382
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, 343
Heawood, Percy John, 71
Heesch, Heinrich, 71
Hermite, Charles, 228
Hesse'sche Normalform, 271
Hexadezimalzahlen, 107
Hinrichtung, 28
hyperkomplexes System, 382
Hypotenuse, 208
Hypothek, 108

I

i, 369, 370
identisch, 157
Identität, 168
imaginär, 382
Imaginärteil, 370
Implikation, 20
Induktionsanfang, 68
Induktionsprinzip, 68
- erweitertes, 72
- zweites, 75
Induktionsschluss, 69
induktiv, 67
Infimum, 112
injektiv, 163
Inneres
- einer Menge, 296
- eines Dreiecks, 203
- eines Winkels, 203
Integral, 337
- unbestimmtes, 343
Integrallogarithmus, 88
Integrationsregeln, 340
integrierbar, 337
Intervall, 296
- abgeschlossenes, 133
- offenes, 133
Intervallschachtelung, 134
- rationale, 134
Inverses, 61
Inzidenz, 10, 189
irrational, 118
Isomorphismus, 264

K

Känguru, 51
Kant, Immanuel, 16
Kardinalzahl, 165
kartesisches Produkt, 148
Kasner, Edward, 86
Kathete, 208
Kempe, Sir Alfred B., 71
Kennedy, John F., 1
Kepler, Johannes, 327
Kettenregel, 312
kollinear, 189
kommensurabel, 5

kommutativ, 45, 59, 61
Kommutativgesetz, 24
Komplement, 43
kongruent, 210
Kongruenz, 11, 211
konjugierte komplexe Zahl, 371
Konjunktion, 18
konkav, 322
- in einem Punkt, 323
- strikt, 322
konstant, 157
Kontraposition, 25, 26
konvergent, 373
konvergieren, 124
konvex, 192, 322
- in einem Punkt, 323
- strikt, 322
Koordinate, 15, 148, 191
Körper, 370
Kreis, 209
Kreisfläche, 227
Kreisgebiet, 226
Kreisscheibe abgeschlossene, 374
Kreisteilungsgleichung, 378
Kurve, 243
Kurvendiskussion, 325
kürzen, 96

L

Lagrange, Joseph Louis, 319
Landkarte, 70
Länge, 266
Laßwitz, Kurd, 87
Laufindex, 99
Leibniz, Gottfried Wilhelm, 309
Limes, 124, 297
Lindemann, Ferdinand von, 228
Lineal, 190
linear abhängig, 261
linear unabhängig, 261
lineare Abbildung, 279
lineare Exzentrizität, 244
lineare Gleichung, 277
Lineares Gleichungssystem, 201
Linearkombination, 257
Linkskurve, 321
Liouville, Joseph, 228
Littlewood, J.E., 88
Logarithmentafel, 173, 174
Logarithmus, 172
natürlicher, 344
Logelei, 11
lokale Eigenschaft, 299
Lot, 205
Lotto, 103
Lucas, Edouard Anatole, 87

M

Mächtigkeit, 165
Maß, 212
Matrix, 276, 278
Maximum, 301
- isoliertes, 310
- lokales, 301
Mega, 88
Menge, 37
- abgeschlossene, 297
- leere, 41
- offene, 297
Mengenlehre, 37
Mersenne, Marin, 87
Milliarde, 86
Million, 86
Minimum, 301
- isoliertes, 310
- lokales, 301
Mittelwertsatz
- der Differentialrechnung, 320
- der Integralrechnung, 341
modus ponens, 29
Moivre, Abraham de, 369
Moivre'sche Formel, 369
monoton
- fallend, 130
- schwach, 320
- streng, 170, 316
- wachsend, 130
- schwach, 320
- streng, 170, 306, 316
monotone Konvergenz, 131
Monotonie-Kriterium, 316
Multiplikation, 61
- von Polynomen, 159

N

N, 38, 67
n-Eck
- regelmäßiges, 226
N₀ , 38
Nachfolger, 67
Napier, John, 173
Nebenwinkel, 7, 203
Negation, 19
Negatives, 59
Nenner, 63
New Math, 44
Newman, James, 86
Newton, Isaac, 308
Non-Standard-Analysis, 309
Norm, 266
Normalenvektor, 270
n-Tupel, 149
Null, 59
Nullraum, 279
Nullstelle, 157
- k-fache, 381
Nullstellenmenge, 159
Nullvektor, 256
Numerus, 173

O

O, 382
o.B.d.A., 84
Obersumme, 336
Objektbereich, 22
Oktaven, 382
Oktonionen, 382
Ordinate, 198
orthogonal, 205, 206, 269
Orthogonalisierung, 276
Orthogonalitäts-Beziehung, 204
Orthonormalbasis, 276
Ortsvektor, 263

P

Paar, 148
Pappos von Alexandria, 307
Parabel, 155
parallel, 8, 189, 265
Parallel-Projektion, 196
Parallelenaxiom, 10, 190
Parametrisierung, 190
partielle Integration, 351
Peirce, Charles S., 71
Periode, 236
Permutation, 175
π , 225
Piaget, J., 44
Platon, 6
Polarkoordinaten, 371
Polstelle, 160
Polygongebiet, 211
Polynom, 158
- komplexes, 372
positiv orientiert, 286
positiver Drehsinn, 235
Postulat, 9
Potenz, 73
Potenzmenge, 42
Prädikat, 22
Prädikatenlogik, 22
Prämisse, 20
Primfaktorzerlegung, 81
primitiver Term, 7
Primzahl, 79
Probe, 13
Produkt, 61
- kartesisches, 148
Produktregel, 312
Projektion
- orthogonale, 205
Punkt, 6
- innerer, 296
Pythagoras Satz des, 208, 213, 271
Pythagoras von Samos, 5

Q

Q, 96
Quadrat, 8
Quadratur des Kreises, 227
Quadratwurzel, 113, 115
Quadrupel, 149
Quantifizierung, 22
Quaternionen, 382
- vektorielle, 383
Quintupel, 149
Quotientenregel, 312

R

Radius, 209
Randpunkt, 297
Realteil, 370
Rechte-Hand-Regel, 287
Rechteck, 8, 212
rechter Winkel, 205
Rechtskurve, 321
Rechtssystem, 286
reflexiv, 40
Reihe
- geometrische, 128
- harmonische, 130
Relation, 149
Richtung, 204
Richtungsvektor, 265
Riemann, Bernhard, 379
Riemann'sche Summe, 336
Riemannsche Fläche, 379
Ries, Adam, 2
- Rolle
- Satz von, 319
Rolle, Michel, 319
R+, 164
Rückwärts-Einsetzen, 281
Russell, Bertrand, 41

S

Sayers, Dorothy L., 101
Scheitelpunkt, 155
Scheitelwinkel, 7, 203
Schnitt Dedekind'scher, 111
Schnittverhalten, 200
Schwarz'sehe Ungleichung, 268
Sekante, 307
Sektor, 226
senkrecht stehen, 205
Senkrechte, 205
Sinus, 232, 303
Skalar, 254
Skalarprodukt, 267
Skalenfaktor, 196
Skewes' Zahl, 88
Slowinski, David, 87
Sokrates, 48
Spaltenvektor, 264
Spannvektoren, 265
Spezialisierung, 51
Spiegelung, 210, 245
Sprungstelle, 305
Stammfunktion, 342
steigen, 315
Steigung, 199, 242
Steigungsdreieck, 242
Steigungswinkel, 242
Steinhaus, Hugo, 88
stetig, 298, 304
- linksseitig, 305
rechtsseitig, 305
Stifel, Michael, 173
Strahl, 192
Strahlensatz, 197
Strecke, 192
Stufenwinkel, 229
Stützvektor, 265
Substitutionsregel, 353
Summe, 59
Summenzeichen, 98
Superposition, 157
Supremum, 112
surjektiv, 162
SWS-Kongruenz, 11
Syllogismus, 25
symmetrisch, 40

T

Tangens, 233
Tangente, 307, 308
Tartaglia, 367
Tautologie, 23
- echter, 79
- größter gemeinsamer, 83
trivialer, 79
teilerfremd, 83
Teilmenge, 40
Tertium non datur, 27
Thaies von Milet, 4
Theorem, 12
Tilgung, 108
transitiv, 40
Translation, 210, 245
transponieren, 264
Trigonometrie, 231
Trillion, 86
Tripel, 148
trivial, 40

U

überabzählbar, 165
Umkehrabbildung, 164, 169
Unbestimmtheitsstelle, 160
- hebbare, 160
unendlich, 76
unendlich-dimensional, 273
Unendlichkeit, 67
Unmenge, 42
Untersumme, 336
Untervektorraum, 266
Urbild, 167
Ursprung, 198

V

Variable, 22
- freie, 22
Vektor, 254, 258, 382
Vektorkette, 257
- geschlossene, 260
Vektorprodukt, 285, 383
Vektorraum, 258
Venn, John, 44
Vereinigung, 42
Verhältnis, 193
Verknüpfung in einer Gruppe, 176
von Abbildungen, 168
Verknüpfungen logische, 18
Verneinung, logische, 20
Vielfaches, 83
- kleinstes gemeinsames, 83
Vielfachheit, 381
Vierfarbenproblem, 71
vierte Dimension, 380, 383
Vieta Gleichungen von, 366
vollständige Induktion, 68
Vollständigkeitsaxiom, 111
Vorgänger, 69
Vorzeichenregeln, 61

W

Wahrheitstafel, 18
Wahrheitswert, 17
Wechselsumme, 110
Wechselwinkel, 229
Weltkonstanten, 377
Wendepunkt, 324
- Kriterium für hinreichendes, 325
- notwendiges, 324
Wertebereich, 151
Wessel, Caspar, 369
Widerspruchsbeweis, 15, 26
windschief, 265
Winkel, 7, 203, 269
- an Parallelen, 14
- negativer, 234
- rechter, 8, 205
- spitzer, 8, 207
- stumpfer, 8
Winkelsumme, 14, 231
Wohlordnungssatz, 74
Wurzel, 120, 378

Z

Z, 38, 72
Zahlen
- algebraische, 228
- ganze, 72
- gerade, 80
- hyperkomplexe, 382
- imaginäre, 369
- irrationale, 118
- komplexe, 369, 370
- Mersenne'sche, 87
- natürliche, 67
- positive, 65
- rationale, 96
- reelle, 59
- transzendente, 228
- ungerade, 80
Zähler, 63
Zeilenvektor, 264
Zenon von Elea, 128
zentrische Streckung, 210
Zerlegung, 335
Zermelo, Ernst, 42
Zielmenge, 151
Ziffern römische, 2
Ziffernsystem, 105
Zinsen, 108
Zinseszinsformel, 107
Zirkel und Lineal, 227
Zuordnung eineindeutige, 76
Zweipunkteform, 200
zwischen, 191
Zwischenwertsatz, 299

Autor

Prof. Dr. Klaus Fritzsche lehrt Mathematik an der Universität Wuppertal. Er hat vielfach den Brückenkurs "Mathematik für Mathematiker" gehalten. Im selben Verlag ist von ihm ein zweibändiger " Grundkurs Analysis" erschienen.

Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur 4. Auflage Inhaltsverzeichnis 1 Wie wahr ist die Mathematik? Mathematik im Alltag Von Thales bis Euklid Axomiensysteme Sätze und Beweise in der Geometrie Aussagenlogik Prädikatenlogik und Tautolgien Aufbau einer mathematischen Theorie Beweismethoden Ergänzungen: Aufbau einer mathematischen Theorie Tutorium Lösungen 2 Von Mengen und Unmengen Der Mengenbegriff Probleme der Mengenbildung Mengen-Algebra Die Arbeit mit Quantoren Verneinungsregeln Ergänzungen: Beweise und Quantoren Tutorium Lösungen 3 Unendlich viele Zahlen Die Axiome der Addition Die Axiome der Multiplikation Die Axiome der Anordnung Natürliche Zahlen Das Induktionsprinzip Ganze Zahlen Endliche Mengen Teilbarkeit und Primzahlen Euklidischer Algorithmus Große Zahlen Ergänzungen: Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung Tutorium Lösungen 4 Auf dem Weg ins Irrationale Das Summenzeichen Elementare Kombinatorik Geometrische Folgen Das Vollständigkeitsaxiom Der Betrag einer reellen Zahl Quadratische Gleichungen und Ungleichungen Wurzeln Folgen Geometrische Reihen Monotone Konvergenz Intervallschachtelungen Ergänzungen: Grenzwertsätze Tutorium Lösungen 5 Eins hängt vom andern ab Produktmegen und Relationen Der Funktionsbegriff Mengen von Funktionen Polynome Injektive und surjektive Abbildungen Mächtigkeit Verknüpfung von Abbildungen Umkehrabbildungen und Monotonie Logarithmen Ergänzungen: Automorphismen und Gruppen Tutorium Lösungen 6 Die Prallelität der Ereignisse Der Begriff des Lineals Projektionen Koordinaten Lineare Gleichungssysteme Halbebenen und Dreiecke Orthogonalität Der Satz des Pythagoras Flächenfunktionen Ergänzungen: Hauptsatz über orthogonale Projektionen Tutorium Lösungen 7 Allerlei Winkelzüge Kreis und Bogenmaß Winkel in Dreiecken Winkelfunktionen Die Additionstheoreme Bewegungen Tutorium Lösungen 8 Das Parallelogramm der Kräfte Vektoren Vektorräume Lineare Unabhängigkeit Ortsvektoren, Geraden und Ebenen Norm und Skalarprodukt Die Hesse'sche Normalform Basis und Dimension Matrizen und Determinanten Das Gaußverfahren Das Vektorprodukt Tutorium Lösungen 9 Extremfälle Stetigkeit Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen Stetigkeitsbeweise Die Ableitung Ableitungsregeln Extremwerte Der Mittelwertsatz Wendepunkte und Krümmung Tutorium Lösungen 10 Die Kunst des Integrierens Das Riemann'sche Integral Berechnung von Integralen Der Fundamentalsatz Natürlicher Logarithmus und Exponentialfunktion Partielle Integration uns Substitution Ergänzungen: Integrierbarkeit stetiger Funktionen Tutorium Lösungen 11 Imaginäre Welten Kubische Gleichungen Komplexe Zahlen Komplexe Folgen und Funktionen Die Euler'sche Formel Einheitswurzeln Der Fundmentalsatz der Algebra Quaternionen Ergänzungen: Beweis des Fundamentalsatzes Tutorium Lösungen Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis

Reviews

Zur Vorbereitung auf ein Mathematikstudium und als Begleitlektüre während des ersten Semesters empfohlen (...). ekz-Informationsdienst, September 2007 In seinem Buch Mathematik für Einsteiger werden altbekannte Schulthemen (...) mit einer neuen Vorgehensweise und Herangehensweise präsentiert.(...) Darüber hinaus werden Themen behandelt (...), die in der Schule gar nicht oder nur spärlich behandelt werden. (...) Dieser lockere und aufheiternde Stil zeigt, dass Mathematik auch im Studium keinesfalls dröge, abstrakt und unverständlich sein muss, sondern Spaß machen kann. spektrumdirekt.de,11.05.2007 Der Autor legt (...) Wert auf Verständlichkeit.(...)Die lockere, mit Beispielen, historischen Einschüben und Anekdoten bereicherte Darstellung macht aus trockener Mathematik eine unterhaltsame Lektüre. (...) So gelingt es dem Autor zu zeigen, dass Mathematik Spaß machen kann! Literatur-Report, 1.04.2007 (...) Ein durchweg flotter Stil hält die Leser munter, viele, meist leichte Aufgaben mit Lösungen am Ende Reizen zur Verständniskontrolle. Der gehaltvolle und recht preiswerte Band, gegenüber der Erstauflage von 1995 überarbeitet und ergänzt, ist jedem zu empfehlen, der ein Mathematikstudium plant. EKZ-Informationsdienst Der Autor legt - bei aller mathematischen Strenge - Wert auf Verständlichkeit. Zur Vertiefung werden Übungsaufgaben mit Lösungen angeboten. Die lockere, mit Beispielen, historischen Einschüben und Anekdoten bereicherte Darstellung macht aus trockener Mathematik eine unterhaltsame Lektüre. Durch die exakte und manchmal auch bewusste abstrakte Präsentation vertrauter und neuer Inhalte wird ein ehrliches Bild von der mathematischen Wissenschaft vermittelt, kleine Abstecher in weiterführende Themen erzeugen Spannung. So gelingt es dem Autor zu zeigen, dass Mathematik Spaß machen kann! Zentralblatt für Didaktik der Mathematik Die Mathematik - oft unverstanden und große Hürde zum Studienbeginn. Aber selbst in der späteren betrieblichen Praxis sieht sich so mancher Ingenieur mit neuen mathematischen Fragestellungen konfrontiert, die zu "seiner" Zeit nicht aktuell waren. Ein Einsteigerbuch ist also nötig - und liegt mit dieser Neuerscheinung in sehr gelungener Form vor. Metall (..) Alles in allem: ein sauber und doch nicht trocken geschriebenes Buch zu einem BaFöG-verträglichen Preis, welches die Lust an der Mathematik weckt und steigert, und welches man Studienanfängern der Mathematik und sogar Schülern der gymnasialen Oberstufen wärmstens empfehlen kann (..) Zentralblatt für Mathematik und ihre Grenzgebiete