Mathematik für Informatiker

€ 39,95 in den Warenkorb

Alle Preise inkl. MWSt. versandkostenfrei zzgl. 3 € Versand

Neu. Sofort lieferbar.

€ 39,95 in den Warenkorb

Versandkostenfrei in Deutschland
Versand nach Österreich und in die Schweiz 3 €
Alle Preise inkl. Mehrwertsteuer.

Weitere Titel des Verlages

Nagios - Das Praxisbuch

Implementation Patterns

CSS HTML Design Patterns

Mac OS X Server Essentials

Dynamische iPhone-Anwendungen entwickeln

PHP 5-Migration

AppleScript 1-2-3

TYPO3-Extensions entwickeln

Mathematik für Informatiker

Autoren:
Dirk Hachenberger

Verlag:
Pearson Studium Weitere Titel dieses Verlages anzeigen

Auflage: 2., aktualisierte Auflage.
Erschienen: Mai 2008
Seiten: 848
Sprache: Deutsch

Maße: 248x177x50
Einband: Leinen (Buchleinen)
Reihe: Pearson Studium
Zum Buch: Lesebändchen
ISBN: 3827373204
EAN: 9783827373205

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Vorwort			xxvii

Teil I Mathematisches Grundwissen			1

Kapitel 1 Mengen und Aussagen			3
	Einführung		4
1.1	Grundbegriffe der Mengenlehre		6
	A.	Was ist eine Menge?	6
	B.	Beschreibungen von Mengen	7
	C.	Teilmengenbeziehung und Gleichheit bei Mengen	7
	D.	Die Mächtigkeit einer Menge	8
	E.	Eine Menge, die nicht fehlen darf	9
1.2	Grundlegende Zahlbereiche		9
	A.	Mengenbezeichnungen für Zahlbereiche	9
	B.	Zum Unterschied zwischen rationalen und reellen Zahlen .	10
	C.	Ein weiterer Grund für Zahlbereichserweiterungen	12
	D.	Eine grundlegende Eigenschaft reeller Zahlen	12
	E.	Die Lösung reeller quadratischer Gleichungen	13
1.3	Verknüpfungen von Mengen		15
	A.	Vier grundlegende Verknüpfungen von Mengen	15
	B.	Die disjunkte Mengenvereinigung	16
	C.	Grundgesetze bei Mengenverknüpfungen	17
	D.	Regeln bei Mächtigkeiten von endlichen Mengen	20
1.4	Aussagen und deren logische Verknüpfungen		21
	A.	Wahrheitswerte logischer Aussagen	21
	B.	Verknüpfungen von Aussagen und Wahrheitstafeln	22
	C.	Zur Äquivalenz von Aussagen	23
	D.	Die logische Grundlage dreier Beweismethoden	24
	E.	Gesetzmäßigkeiten bei Verknüpfungen von Aussagen	26
	F.	Normalformen bei aussagenlogischen Formeln	27
1.5	Potenzmenge und kartesische Produkte		27
	A.	Die Potenzmenge einer Menge	27
	B.	Mengensysteme	28
	C.	Kartesische Produkte	29
1.6	Zur Bildung von mehrfachen Verknüpfungen		30
	A.	Das Summen- und das Produktzeichen	30
	B.	Grundregeln für das Rechnen mit Summen und Produkten	32
	C.	n-fache kartesische Produkte	33
1.7	Verknüpfungen bei beliebigen Indexmengen		35
	A.	Reihen - Summation unendlich vieler Zahlen	35
	B.	Schnitte und Vereinigungen über Mengensystemen	35
	C.	Existenz- und Allquantor	36
1.8	Exkurs: Das Auswahlaxiom		38
	Zusammenfassung		39
	Übungsaufgaben		40

Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen			43
	Einführung		44
2.1	Vollständige Induktion		46
	A.	Die Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Ordnung	46
	B.	Das Prinzip der vollständigen Induktion	47
	C.	Zwei Beispiele zur vollständigen Induktion	49
	D.	Die Fakultätsfunktion und deren Wachstumsverhalten	52
	E.	Die geometrische Summe	54
	F.	Die Summenregel aus der Kombinatorik	55
2.2	Primfaktorzerlegung		56
	A.	Die Teilbarkeitsrelation	56
	B.	Primzahlen	57
	C.	Eine zweite Form des Prinzips der vollständigen Induktion	58
	D.	Die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen	60
	E.	Ein naives Faktorisierungsverfahren	62
2.3	Darstellungen ganzer Zahlen		63
	A.	Division mit Rest	63
	B.	Die ß-adische Darstellung einer ganzen Zahl	65
	C.	Korrektheit und Terminierung bei Algorithmen	67
	D.	Zur Komplexität eines Algorithmus	68
2.4	Der Euklidische Algorithmus		69
	A.	Größte gemeinsame Teiler	69
	B.	Die Berechnung des ggT zweier Zahlen	70
	C.	Die Berechnung der Vielfachsummendarstellung eines gg7	72
	D.	Eine Anwendung des erweiterten Euklidischen Algorithmus	74
	E.	Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen	74
	Zusammenfassung		75
	Übungsaufgaben		77

Kapitel 3 Abbildungen, Äquivalenzrelationen und partielle Ordnungen			81
	Einführung		82
3.1	Grundlagen über Relationen		84
	A.	Was ist eine Relation?	84
	B.	Umkehrung und Verkettung von Relationen	84
	C.	Gerichtete Graphen	85
3.2	Der Abbildungsbegriff		86
	A.	Was versteht man unter einer Abbildung?	86
	B.	Schreib- und Sprechweisen bei Abbildungen	87
	C.	Spezielle Eigenschaften bei Abbildungen	88
	D.	Die Urbildpartition zu einer Abbildung	90
	E.	Zur Umkehrung von Abbildungen	91
	F.	Die Verkettung von Abbildungen	92
3.3	Besonderheiten bei endlichen Mengen		93
3.4	Gleichmächtigkeit		96
	A.	Was bedeutet die Gleichmächtigkeit zweier Mengen?	96
	B.	Die Gleichmächtigkeit von N, von Z und von Q	96
	C.	Die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen	98
3.5	Ordnungsrelationen		100
	A.	Partielle Ordnungen	100
	B.	Einige Beispiele partieller Ordnungen	101
	G.	Totale Ordnungen	102
3.6	Äquivalenzrelationen		103
	A.	Was ist eine Äquivalenzrelation?	103
	B.	Beispiele von Äquivalenzrelationen	103
	C.	Äquivalenzklassen	105
	D.	Restklassen modulo n	105
	E.	Repräsentantensysteme	107
3.7	Exkurs: Kontinuumshypothese und Hasse-Diagramme		108
	A.	Abbildungen und kartesische Produkte	108
	B.	Zur Kontinuumshypothese	108
	C.	Kleinste und größte Elemente in partiell geordneten Mengen	109
	D.	Wohlordnungcn als spezielle Ordnungen	109
	E.	Darstellung partieller Ordnungen durch Hasse-Diagramme	110
	F.	Reduktion und Normalformen	110
	Zusammenfassung		112
	Übungsaufgaben		114

Teil II Grundlagen der Diskreten Mathematik			117

Kapitel 4 Kombinatorik			119
	Einführung		120
4.1	Grundregeln des Zählens		122
	A.	Die Summenregel	122
	B.	Die Gleichmächtigkeitsregel	122
	C.	Die Produktregel	123
	D.	Die Potenzregel	124
4.2	Binomialkoeffizienten		125
	A.	Potenzmengen und charakteristische Funktionen	125
	B.	Was ist ein Binomialkoeffizient?	126
	C.	Gesetzmäßigkeiten bei Binomialkoeffizienten	126
	D.	Der Binomialsatz	129
4.3	Abbildungen auf endlichen Mengen		132
	A.	Die Rückführung auf Standardmengen	132
	B.	Die Anzahl der injektivon und bijektiven Abbildungen	132
	C.	Formale Beweise	133
4.4	Das Inklusions-Exklusions-Prinzip		135
	A.	Der Spezialfall bei Vereinigungen von drei Mengen	135
	B.	Die allgemeine Inklusions-Exklusions-Formel	135
	C.	Ein weiterer Beweis der Inklusions-Exklusions-Formel	137
	D.	Die Siebformel	137
4.5	Anwendungen der Siebformel		138
	A.	Die Euler-Funktion	138
	B.	Die Multiplikativität der Euler-Funktion	140
	C.	Die Anzahl der surjektiven Abbildungen zwischen zwei endlichen Mengen	141
4.6	Exkurs: Darstellung von Permutationen		142
	A.	Eine erste Darstellungsmöglichkeit von Permutationen	142
	B.	Die Zykelsehreibweise	143
	C.	Multiplikation von Zyklen	144
	D.	Transpositionen - die einfachsten Permutationen	144
	E.	Zur Eindeutigkeit der Darstellung von Permutationen	145
	Zusammenfassung		147
	Übungsaufgaben		149

Kapitel 5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung			153
	Einführung		154
5.1	Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung		156
	A.	Der Ergebnisraum	156
	B.	Ereignisse	157
	C.	Was versteht man unter einer Wahrscheinlichkeit?	158
	D.	Grundregeln für das Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsräumen	160
5.2	Laplace-Modelle und vier Kugel-Modelle		162
	A.	Was ist ein Laplace-Modell?	162
	B.	Die vier grundlegenden Experimente als Kugel-Modelle	163
	C.	Die vier Kugel-Modelle nochmals im Überblick	165
5.3	Zufallsvariablen und induzierte Wahrscheinlichkeitsfunktionen		166
	A.	Laplace-Modelle im Hintergrund	166
	B.	Zufallsvariable und Transformation	168
	C.	Schreibweisen beim Umgang mit Zufallsvariablen	170
	D.	Indikatorvariablen und relative Häufigkeiten	170
5.4	Mehrstufige Experimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten		171
	A.	Was versteht man unter einer bedingten Wahrscheinlichkeit?	171
	B.	Zwei Beispiele für den Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten	172
	C.	Die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit	173
	D.	Die Formel von Bayes	174
	E.	Ein Beispiel aus der Medizin	174
5.5	Stochastische Unabhängigkeit		176
	A.	Die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse	176
	B.	Stochastische Unabhängigkeit bei mehreren Ereignissen	177
	C.	Die Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen	177
5.6	Erwartungswert und Varianz		177
	A.	Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen	177
	B.	Eine alternative Formel zur Berechnung des Erwartungswertes	179
	C.	Die Varianz einer Zufallsvariablen	179
	D.	Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten beim Bilden von Erwartungswerten	181
	E.	Die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten bei der Berechnung von Varianzen	183
5.7	Binomialverteilungen		185
	A.	Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten	185
	B.	Binomial-verteilte Zufallsvariablen	186
	C.	Der Erwartungswert einer binomial-verteilten Zufallsvariablen	186
	D.	Die Varianz einer binomial-verteilten Zufallsvariablen	188
	Zusammenfassung		189
	Übungsaufgaben		190

Kapitel 6 Algebraische Strukturen			193
	Einführung		194
6.1	Monoide		196
	A.	Was versteht man allgemein unter einer Verknüpfung?	196
	B.	Assoziative und kommutative Verknüpfungen	197
	C.	Das neutrale Element: von der Halbgruppe zum Monoid	198
	D.	Beispiele von Monoiden	199
6.2	Gruppen		203
	A.	Invertierbarkeit	203
	B.	Die Definition einer Gruppe und die Einheitengruppe eines Monoids	204
	C.	Beispiele von Einheitengruppen und Gruppen	206
6.3	Untergruppen und der Satz von Lagrange		208
	A.	Teilmonoide und Untergruppen	208
	B.	Die Untergruppen von (Z. +, 0)	210
	C.	Zur Erzeugung von Teilmonoiden und zyklische Gruppen	211
	D.	Linksnebenklassen von Untergruppen und der Satz von Lagrange	213
	E.	Die Ordnung eines Gruppenelementes	215
6.4	Ringe und Körper		217
	A.	Was versteht man unter der algebraischen Struktur eines Ringes?	217
	B.	Allgemeine Rechengesetze bei Ringen	219
	C.	Integritätsbereiche	220
	D.	Die Einheitengruppe eines Ringes, Schiefkörper und Körper	221
	E.	Grundlegende Beispiele von Ringen	222
	F.	Eine Übersicht verschiedener Kategorien von Ringen	224
6.5	Der Körper der komplexen Zahlen		225
	A.	Grundmenge, Verknüpfungen und Nachweis der Körpereigenschaft	225
	B.	Die reellen Zahlen als Teilkörper der komplexen Zahlen	228
	C.	Imaginäre Einheit, Real- und Imaginärteil	228
	D.	Die konjugiert Komplexe und der Betrag einer komplexen Zahl	230
	E.	Die Darstellung komplexer Zahlen durch Polarkoordinaten .	231
	F.	Die Additionstheoreme für Sinus und Cosinus	232
6.6	Der Schiefkörper der Quaternionen		234
	A.	Die Grundmenge und die Verknüpfungen bei Quaternionen	234
	B.	Der Nachweis der Schiefkörpereigenschaft	234
6.7	Exkurs: Verbände und Boolesche Algebren		237
	A.	Die Definition eines Verbandes	237
	B.	Gesetzmäßigkeiten bei allgemeinen Verbänden	237
	C.	Einige Beispiele von Verbänden	239
	D.	Die Vollständigkeit eines Verbandes sowie kleinstes und größtes Element	239
	E.	Komplementarität und Distributivität	240
	F.	Boolesche Verbände	241
	Zusammenfassung		243
	Übungsaufgaben		245

Kapitel 7 Restklassenringe und Anwendungen			249
	Einführung		250
7.1	Modulares Rechnen		252
	A.	Die Kongruenz modulo n und Restklassenarithmetik	252
	B.	Der Restklassenring Z	254
	C.	Einheiten modulo n	255
	D.	Welche Restklassenringe sind Körper?	258
	E.	Effizientes Potenzieren in Restklassenringen	258
	F.	Die Sätze von Euler und Fermat	260
	G.	Die Ordnung modulo n und primitive Elemente in Restklassenkörpern	261
7.2	Das RSA-Public-Key-Cryptosystem		262
	A.	Grundbegriffe der Kryptographie	262
	B.	Beschreibung der Schlüssel beim RSA-System	263
	C.	Die korrekte Arbeitsweise des RSA-Systems	264
	D.	Schlüsselgenerierung und Sicherheit beim RSA-System	265
	E.	Ein Beispiel zum RSA-System	267
7.3	Das Grundmodell bei fehlerkorrigierenden Codes		270
	A.	Grundbegriffe der Codierungstheorie	270
	B.	Die Eigenschaft der "Linearität" bei Codes	272
	C.	Weitere Aspekte des Grundmodells der Codierungstheorie .	273
	D.	Anforderungen an gute Codes	276
7.4	Kugelpackungsschranke und (7,4)-Hamming-Code		277
	A.	Minimalabstand und Korrekturleistung eines Codes	277
	B.	Die Kugelpackungsschranke und perfekte Codes	279
	C.	Beispiele perfekter Codes	281
7.5	Prüfzeichencodierung		283
	A.	Der ISBN-Code	283
	B.	Eigenschaften des ISBN-Codes	284
	C.	Der EAN-Code	286
7.6	Exkurs: Der Chinesische Restsatz		287
	A.	Einführendes Beispiel und allgemeine Problemstellung	287
	B.	Die Beschreibung der Lösungsmenge	288
	C.	Die Lösbarkeit bei relativ primen Restsystemen	289
	D.	Die iterative Berechnung der Lösung	292
	Zusammenfassung		294
	Übungsaufgaben		296

Kapitel 8 Homomorphismen und Faktorstrukturen			299
	Einführung		300
8.1	Homomorphismen bei Gruppen		302
	A.	Strukturerhaltende Abbildungen auf Monoiden und Gruppen	302
	B.	Spezielle Eigenschaften bei Gruppen-Homomorphismen	303
	C.	Kern und Bild bei Gruppen-Homomorphismen	304
	D.	Urbilder bei Gruppen-Homomorphismen	305
	E.	Nochmals zur Ordnung eines Gruppenelementes	307
	F.	Beispiele von Gruppen-Homomorphismen	307
8.2	Normalteiler und Faktorgruppen		308
	A.	Äquivalenzen modulo einer Untergruppe und Normalteiler	308
	B.	Kongruenzrelationen auf Gruppen neutrale Klassen und Normalteiler	310
	C.	Kerne von Homomorphismen als neutrale Klassen	312
	D.	Verknüpfung von Klassen und Faktorgruppen	312
	E.	Neutrale Klassen als Kerne von Homomorphismen	314
8.3	Homomorphismen bei Ringen und Ideale		314
	A.	Was ist ein Teilring von R?	314
	B.	Was ist ein Ring-Homomorphismus?	315
	C.	Was ist der Kern eines Ring-Homomorphismus?	315
	D.	Ideale	315
	E.	Hauptidealbereiche	316
	F.	Die Charakteristik eines Körpers	317
8.4	Kongruenzen bei Ringen, Ideale und Faktorringe		318
	A.	Kongruenzrelationen auf Ringen	318
	B.	Faktorringe und die Klassenmultiplikation	319
	C.	Maximale Ideale und Körper als Faktorringe	320
8.5	Exkurs: Homomorphiesätze		322
	A.	Der Homomorphiesatz für Gruppen	322
	B.	Ein weiteres Beispiel: Alternierende Gruppen	323
	C.	Der Homomorphiesatz für Ringe	324
	D.	Nochmals der Chinesische Restsatz	324
	Zusammenfassung		326
	Übungsaufgaben		328

Teil III Grundlagen der Linearen Algebra			331

Kapitel 9 Vektoren und Matrizen			333
	Einführung		334
9.1	Vektorräume		336
	A.	n-Tupelräume als Vektorräume	336
	B.	Die Axiomatik abstrakter Vektorräume	337
	C.	Matrixräume	339
	D.	Spezielle Klassen quadratischer Matrizen	340
	E.	Zeilen- und Spaltenvektoren als Matrizen	341
	F.	Eine Übersicht über Vektoren und Matrizen	342
9.2	Teilräume und deren Erzeugung		343
	A.	Was versteht man unter einem Teilraum?	343
	B.	Linearkombinationen, lineare Hülle und Erzeugung von Vektorräumen	345
	C.	Endlich erzeugte Vektorräume und kanonische Basen	347
9.3	Matrixalgebren		348
	A.	Die Matrixmultiplikation	348
	B.	Spezialfälle bei der Matrixmultiplikation	349
	C.	Gesetzmäßigkeiten bei der Matrixmultiplikation	350
	D.	Die quadratischen Matrizen als K-Algebra	351
	E.	Invertierbare Matrizen	354
9.4	Lineare Abbildungen		357
	A.	Was ist eine K-lineare Abbildung?	357
	B.	Matrizen als K-lineare Abbildungen	358
	C.	Darstellung linearer Abbildungen als Matrizen	358
	D.	Die Matrixmultiplikation als Hintereinanderausführung linearer Abbildungen	360
9.5	Komplexe Zahlen und Quaternionen als Matrixalgebren		361
	A.	Veranschaulichung linearer Abbildungen auf-R²	361
	B.	Die komplexen Zahlen als Matrixalgebra	362
	C.	Die Quaternionen als Matrixring über C	364
	D.	Die Quaternionen als Matrixalgebra über R	365
9.6	Exkurs: Kerne von linearen Abbildungen und Faktorräume		367
	A.	Der Kern einer linearen Abbildung	367
	B.	Faktorräume und Kongruenzrelationen bei Vektorräumen	367
	Zusammenfassung		369
	Übungsaufgaben		371

Kapitel 10 Lineare Gleichungssysteme			375
	Einführung		376
10.1	Die Struktur der Lösungsmenge		378
	A.	Was ist ein lineares Gleichungssystem?	378
	B.	Grundproblemstellungen	379
	C.	Eine erste Analyse der Lösungsmenge	379
10.2	Die Lösungsmenge bei einer Gleichung		381
	A.	Der einfachste Fall	381
	B.	Eine Gleichung mit zwei Variablen	382
	C.	Ein konkretes Zahlenbeispiel	382
	D.	Die Lösungsmenge bei (1, r?)-Systemen	384
	E.	Einige einlache Beispiele	385
10.3	Elementare Zeilenumformungen		389
	A.	Zielsetzung	389
	B.	Die drei Arten elementarer Zeilenumformungen	390
	C.	Die zu Zeilenumformungen gehörende Äquivalenzrelation	392
10.4	Treppenmatrizen und der Gauß-Algorithmus		393
	A.	Normierte Treppenmatrizen	393
	B.	Pivotierung und Transformation in Treppengestalt	394
	C.	Der Gauß-Algorithmus	396
	D.	Ein Beispiel zum Gauß-Algorithmus	398
10.5	Die Lösungsmenge bei allgemeinen Problemen		400
	A.	Ein vorbereitendes Resultat	400
	B.	Die Entscheidung der Lösbarkeit	400
	C.	Die Beschreibung des homogenen Lösungsraumes	402
	D.	Zusammenfassung und Beispiele	403
10.6	Invertierbare Matrizen		406
	A.	Elementarmatrizen	406
	B.	Die Eindeutigkeit des Ergebnisses beim Gauß-Algorithmus	409
	C.	Invertierbarkeitskriterien für Matrizen	410
	D.	Test auf Invertierbarkeit und Berechnung der Inversen	411
	Zusammenfassung		413
	Übungsaufgaben		414

Kapitel 11 Abstrakte Vektorräume und Anwendungen			417
	Einführung		418
11.1	Basen		420
	A.	Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit	420
	B.	Beispiele zur linearen (Un-)Abhängigkeit	422
	C.	Minimale Erzeugersysteme alias Basen	423
	D.	Spaltenraum und Zeilenraum einer Matrix	424
	E.	Berechnung einer Basis des Spaltenraumes einer Matrix	425
11.2	Die Dimension eines Vektorraumes		427
	A.	Die Gleichmächtigkeit von je zwei Basen	427
	B.	Beispiele zum Dimensionsbegriff	429
	C.	Charakterisierungen von Basen und die Dimension von Teilräumen	430
11.3	Zur Darstellung linearer Abbildungen		432
	A.	Zur Existenz von injektiven, surjektiven, bijektiven linearen Abbildungen	432
	B.	Koordinatisierung allgemeiner Vektorräume	433
	C.	Darstellung allgemeiner linearer Abbildungen als Matrizen	433
	D.	Verkettung allgemeiner linearer Abbildungen	434
	E.	Dimensionsformeln und die Summenbildung bei Vektorräumen	436
11.4	Eigenwerte und Eigenvektoren		437
	A.	Was versteht man unter einem 0-invarianten Teilraum?	437
	B.	Darstellungen unter Berücksichtigung 0-invarianter Teilräume	438
	C.	Zur Diagonalisierbarkeit von (f>	439
	D.	Die Suche nach Eigenwerten	443
11.5	Orthogonalität und Decodieren bei Hamming-Codes		444
	A.	Standard-Skalarprodukt und Orthogonalität	444
	B.	Innere versus äußere Darstellung bei Teilräumen	446
	C.	Generator- und Kontrollmatrix beim (7, 4)-Hamming-Code	446
	D.	Grundlagen zur Theorie allgemeiner linearer Codes	447
	E.	Ein Decodierverfahren für den (7, 4)-Hamming-Code	449
	F.	Die Familie der binären Hamming-Codes	450
11.6	Exkurs: Nicht endlich erzeugbare Vektorräume		451
	A.	Der Vektorraum aller Abbildungen von L nach K	451
	B.	Der Teilraum der Abbildungen mit endlichem Träger	452
	C.	Basen für allgemeine Vektorräume	454
	Zusammenfassung		456
	Übungsaufgaben		457

Kapitel 12 Polynome			461
	Einführung		462
12.1	Polynomringe		464
	A.	Faltung versus punktweise Multiplikation	464
	B.	Die Algebra der formalen Potenzreihen	466
	C.	Die Teilalgebra der Polynome	468
	D.	Eine ,.Herleitung" der Faltungsformel	470
	E.	Schreibtechnische Vereinfachungen und die Bedeutung des Symbols x	471
12.2	Arithmetische Eigenschaften von Polynomen		473
	A.	Die Einheiten von K\x]	473
	B.	Teilbarkeit und Assoziiertheit bei Polynomen	474
	C.	Die Polynomdivision	475
	D.	Größte gemeinsame Teiler bei Polynomen	477
	E.	Irreduzibilität und Faktorisierbarkeit	479
12.3	Auswertung und Nullstellen		481
	A.	Was versteht man unter der Auswertung eines Polynoms?	481
	B.	Nullstellen bei Polynomen	483
	C.	Zur Gleichheit zweier Polynome	485
	D.	Effiziente Auswertung: das Homer-Schema	485
12.4	Interpolation		487
	A.	Was versteht man unter Interpolation?	487
	B.	Das Interpolationspolynom	488
	C.	Die Interpolationsformel nach Lagrange	489
	D.	Die Interpolation nach Newton	491
	E.	Interpolation und Chinesischer Restsatz	492
12.5	Polynom-Restklassen und zyklische Codes		493
	A.	Rechnen modulo einem Polynom	493
	B.	Restklassenkörper bei Polynomen	494
	C.	Zyklische Codes	495
12.6	Diskrete und schnelle Fourier-Transformation		497
	A.	Die Auswertungs-Interpolations-Methode	497
	B.	Was ist die diskrete Fourier-Transformation?	498
	C.	Die schnelle Fourier-Transformation	500
	D.	Die inverse Fourier-Transformation	502
12.7	Anwendungen in der Linearen Algebra		503
	A.	Das Minimalpolynom einer Matrix	503
	B.	Eigenwerte als Nullstellen des Minimalpolynoms	504
	C.	Zum Grad des Minimalpolynoms einer Matrix	505
	Zusammenfassung		506
	Übungsaufgaben		509

Kapitel 13 Formale Potenzreihen und rationale Funktionen			513
	Einführung		514
13.1	Der Ring der formalen Potenzreihen		516
	A.	Die Einheiten von K\|[x]]	516
	B.	Invertieren von Linearfaktoren - Geometrische Reihen	517
13.2	Der Körper der rationalen Funktionen		518
	A.	Der Quotientenkörper von K[x\	518
	B.	Das Rechnen mit rationalen Funktionen	519
13.3	Partialbruchzerlegung		520
	A.	Erster Teil der Partialbruchzerlegung	520
	B.	Der Spezialfall bei Zerfall in Linearfaktoren	524
	C.	Zweiter Teil der Partialbruchzerlegung	526
13.4	Exkurs: Schieberegisterfolgen und lineare Rekursionen		527
	A.	Was versteht man unter einer linearen Schieberegisterfolge?	527
	B.	Lineare Schieberegisterfolgen als rationale Funktionen	529
	C.	Das Lösen linearer Rekursionen	530
	Zusammenfassung		534
	Übungsaufgaben		535

Teil IV Grundlagen der Analysis			539

Kapitel 14 Die Axiomatik reeller Zahlen			541
	Einführung		542
14.1	Angeordnete Körper		544
	A.	Was versteht man unter einer Anordnung eines Körpers?	544
	B.	Der zu einer Anordnung gehörende Positivbereich	545
	C.	Grundregeln bei angeordneten Körpern	547
	D.	Konsequenzen aus der Anordnung eines Körpers	548
14.2	Absolutbetrag und Bewertungen		550
	A.	Der Absolutbetrag bei angeordneten Körpern	550
	B.	Grundregeln für das Rechnen mit Beträgen	550
	C.	Die komplexen Zahlen als bewerteter Körper	551
	D.	Grundregeln für das Rechnen mit Bewertungen	553
	E.	Die p-adischen Bewertungen	554
14.3	Archimedisch angeordnete Körper		554
	A.	Die Bernoulli-Ungleichung	554
	B.	Das archimedische Axiom	555
	C.	Konsequenzen des archimedischen Axioms	555
14.4	Vollständig angeordnete Körper		557
	A.	Beschränkte und unbeschränkte Mengen	557
	B.	Intervalle in angeordneten Körpern	558
	C.	Supremum und Infimum, Maximum und Minimum	559
	D.	Das Vollständigkeitsaxiom	561
14.5	Wurzeln und die Unvollständigkeit der rationalen Zahlen		562
	A.	Zur Existenz von Wurzeln	562
	B.	Konsequenzen für die Existenz vollständiger Anordnungen	563
	C.	Gesetzmäßigkeiten beim Rechnen mit Wurzeln	564
14.6	Exkurs: Die reellen Zahlen als Dedekind-Schnitte		565
	A.	Was versteht man unter einem Dedekind-Schnitt?	565
	B.	Die reellen Zahlen als die Menge aller Dedekind-Schnitte	566
	C.	Die Ausnahmestellung der reellen Zahlen	568
	Zusammenfassung		569
	Übungsaufgaben		570

Kapitel 15 Folgen			573
	Einführung		574
15.1	Häufungspunkte und Grenzwerte		576
	A.	Fast überall geltende Eigenschaften bei Folgen	576
	B.	Was ist ein Häufungspunkt, was ein Grenzwert?	577
	C.	Ein Grundrepertoire an konvergenten Folgen	580
	D.	Uneigentliche Konvergenz	582
15.2	Grenzwertsätze		583
15.3	Beschränktheit, Monotonie und Teilfolgen		587
	A.	Beschränktheit bei Folgen	587
	B.	Monotonie bei Folgen	588
	C.	Der Begriff der Teilfolge	589
15.4	Konvergenzkriterien und Gharakterisierungen der Vollständigkeit		591
	A.	Intervallschachtelungen	591
	B.	Konvergenz bei monotonen und beschränkten Folgen	593
	C.	Die Eulersche Zahl	595
	D.	Limes superior und Limes inferior	596
	E.	Zur Approximation A-ter Wurzeln	599
15.5	Landau-Symbole		600
	A.	Die O-Notation	600
	B.	Die Q-, die 0- und die o-Notation	602
	C.	Zum Wachstumsverhalten von Funktionen	602
	D.	Zur Effizienz von Algorithmen	604
	E.	Die Komplexität eines Problems	604
15.6	Exkurs: Gauchy-Folgen		605
	A.	Was versteht man unter einer Gauchy-Folge?	605
	B.	Das Gauchy-Kriterium der Vollständigkeit	606
	Zusammenfassung		608
	Übungsaufgaben		610

Kapitel 16 Reihen			613
	Einführung		614
16.1	Konvergenzkriterien bei Reihen		616
	A.	Die zu einer Folge gehörende Reihe	616
	B.	Die geometrische und die harmonische Reihe	617
	C.	Das Leibniz- und das Cauchy-Konvergenzkriterium	618
	D.	Absolute Konvergenz, Majoranten- und Minorantenkriterium	621
	E.	Das Quotienten- und das Wurzelkriterium bei Reihen	623
	F.	Die Reihendarstellung der Euler'schen Zahl	626
16.2	Der Konvergenzbereich bei Potenzreihen		628
	A.	Potenzreihen aus analytischem Blickwinkel	628
	B.	Der Konvergenzradius bei Potenzreihen	628
	C.	Das Quotienten- und das Wurzelkriterium bei Potenzreihen	630
	D.	Der Identitätssatz für Potenzreihen	632
	E.	Reihen mit allgemeinem Entwicklungspunkt	633
16.3	Konvergenzverhalten bei Umordnung und Faltung		634
	A.	Umordnungen bei Reihen	634
	B.	Konvergenz bei Faltung von Reihen	635
16.4	Reihendarstellungen rationaler und reeller Zahlen		637
	A.	Die B-adische Darstellung einer reellen Zahl	637
	B.	Zur Eindeutigkeit der ß-adischen Darstellung	639
	C.	Rationale Zahlen mit endlicher ß-adischer Darstellung	640
	D.	ß-adische Darstellungen von rationalen im Vergleich zu irrationalen Zahlen	641
	E.	Zur Gleitkomma-Darstellung reeller Zahlen	643
16.5	Wartezeitprobleme und geometrische Verteilungen		644
	A.	Grundlagen bei abzählbar unendlichen Wahrscheinlichkeitsräumen	644
	B.	Ein Wartezeitproblem	645
	Zusammenfassung		648
	Übungsaufgaben		650

Kapitel 17 Stetige Funktionen			653
	Einführung		654
17.1	Der Stetigkeitsbegriff		656
	A.	Was versteht man unter Stetigkeit?	656
	B.	Gleichmäßig stetige und Lipschitz-stetige Funktionen	657
17.2	Stetigkeit bei elementaren Funktionen		659
	A.	Das Folgenkriterium zur Stetigkeit	659
	B.	Die punktweise Verknüpfung stetiger Funktionen	660
	C.	Umkehrung und Verkettung bei stetigen Funktionen	661
	D.	Stetige Fortsetzbarkeit von Funktionen	663
17.3	Eigenschaften stetiger Funktionen		666
	A.	Zwischenwertsätze bei stetigen Funktionen	666
	B.	Maximum und Minimum bei stetigen reellwertigen Funktionen	667
17.4	Stetigkeit bei Funktionenfolgen und Potenzreihen		670
	A.	Die punktweise Konvergenz bei Funktionenfolgen	670
	B.	Die gleichmäßige Konvergenz bei Funktionenfolgen	670
	C.	Die Supremumsnorm bei beschränkten Funktionen	672
	D.	Die Stetigkeit von Potenzreihen	672
17.5	Exponential- und Logarithmusfunktionen		674
	A.	Die Funktionalgleichung zur Exponentialfunktion	674
	B.	Das Verhalten der Exponentialfunktion auf Q und auf R . . .	675
	C.	Der natürliche Logarithmus	677
	D.	Exponential- und Logaritmenfunktionen zu allgemeinen Basen	678
	E.	Potenzfunktionen mit reellen Exponenten	679
	F.	Die Poisson-Verteilung	680
17.6	Trigonometrische Funktionen		682
	A.	Das Verhalten der Exponentialfunktion auf der imaginären Achse	682
	B.	Die Definition von Sinus und Cosinus	683
	C.	Funktionale Eigenschaften von Sinus und Cosinus	684
	D.	Die Potenzreihendarstellung von Cosinus und Sinus	685
	E.	Was ist TT?	685
	F.	Die Formel von de Moivre	688
17.7	Exkurs: Das schwache Gesetz der großen Zahlen		689
	Zusammenfassung		692
	Übungsaufgaben		694

Kapitel 18 Differentialrechnung			697
	Einführung		698
18.1	Die Ableitung einer Funktion		700
	A.	Was versteht man unter der Differenzierbarkeit einer Funktion?	700
	B.	Die geometrische Interpretation der Ableitung	701
	C.	Differenzierbarkeitskriterien	701
	D.	Einige Beispiele differenzierbarer Funktionen	703
18.2	Ableitungsregeln		705
	A.	Die Linearität der Ableitung	705
	B.	Produkt- und Quotientenregel	706
	C.	Die Kettenregel	708
	D.	Die Ableitung bei Umkehrfunktionen	710
	E.	Höhere Ableitungen	712
18.3	Mittelwertsätze und Extrema		713
	A.	Unterscheidung verschiedener Extremaisteilen	713
	B.	Die Mittelwertsätze der Differentialrechnung	714
	C.	Kriterien für Monotonie und Extrema	716
	D.	Regeln von de l'Höpital	718
18.4	Approximation durch Taylor-Polynome		722
	A.	Was ist ein Taylor-Polynom?	722
	B.	Der Satz von Taylor	724
	C.	Ein weiteres Kriterium für lokale Extremalsteilen	726
	D.	Taylor-Reihen und analytische Funktionen	727
18.5	Exkurs: Zur iterativen Lösung von Gleichungen		729
	A.	Ein allgemeines Iterationsprinzip	729
	B.	Ein Fixpunktsatz	729
	C.	Das Newton-Verfahren	731
	D.	Die Regula falsi	733
	Zusammenfassung		734
	Übungsaufgaben		736

Kapitel 19 Integralrechnung			739
	Einführung		740
19.1	Integration von Treppenfunktionen		742
	A.	Was versteht man unter einer Treppenfunktion?	742
	B.	Was ist das Integral einer Treppenfunktion?	743
	C.	Ober-, Unter- und Riemann-Integral	744
	D.	Eigenschaften des Riemann-Integrals	746
19.2	Riemann-integrierbare Funktionen		748
	A.	Gleichmäßige Approximation durch Treppenfunktionen	748
	B.	Die Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen	749
	C.	Der Mittelwertsatz der Integralrechnung	750
19.3	Integration als Umkehrung der Differentiation		750
	A.	Additionsregel und Integralfunktion	750
	B.	Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung	751
	C.	Stammfunktionen	752
19.4	Integrationsregeln		755
	A.	Substitutionsregel und Transformationsformel	755
	B.	Die Regel der partiellen Integration	757
	C.	Integration bei rationalen Funktionen	759
19.5	Integration bei Funktionenfolgen		760
	A.	Vertauschung von Integral und Grenzwertbildung	760
	B.	Integration und Stammfunktionen von Potenzreihen	761
	G.	Vertauschung von Differenzieren und Grenzwertbildung	763
	D.	Differenzieren von Potenzreihen	763
19.6	Uneigentliche Integrale und der zentrale Grenzwertsatz		768
	A.	Integration über unbeschränkten Intervallen	768
	B.	Verteilungsfunktionen und Dichten	768
	C.	Der zentrale Grenzwertsatz	771
	D.	Integration bei Undefinierten Stellen	773
	Zusammenfassung		775
	Übungsaufgaben		777

Literaturverzeichnis			781

Symbolverzeichnis			785

Register			793

Vorwort

Das vorliegende Buch ist aus der gleichnamigen, zweisemestrigen Vorlesung entstanden, die ich seit dem Wintersemester 2002/03 jährlich an der Universität Augsburg halte. Das Ziel dieser Veranstaltung und dieses Buches ist die mathematische Grundausbildung von Studierenden der Informatik im Rahmen der neuerdings recht vielfältigen Informatik-Studiengänge, wie in Augsburg etwa die Informatik (Bachelor) sowie Informatik und Multimedia (Bachelor).

Es behandelt dazu die Grundlagen der Analysis, der Algebra, der elementaren Zahlentheorie, der Kombinatorik, der Linearen Algebra und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, insbesondere der Diskreten Mathematik, und liefert damit das mathematische Rüstzeug, das Studierende der Informatik für spätere Vorlesungen, speziell aus der Theoretischen Informatik, benötigen. Die theoretischen Grundlagen werden durch Anwendungen aus der Codierungstheorie und der Kryptographie bereichert.

Der Beginn eines Studiums geht häufig mit anfänglichen Hürden einher; ich denke hier an die parallele Einarbeitung in eine wissenschaftliche Sprache, in formale Methoden des jeweiligen Fachgebietes verbunden mit der Aneignung eines neuen und eigenen Arbeitsstils und der Bemühung, sich abstrakte Denkweisen zu verinnerlichen. Das ist in der Mathematik und in der Informatik selbstverständlich nicht anders, möglicherweise gegenüber anderen Disziplinen sogar stärker ausgeprägt, weil nämlich das Erfassen und Formalisieren logischer Zusammenhänge, das Auffinden und die Umsetzung abstrakter Sachverhalte oder das Lösen eines Problems am Rechner mithilfe einer Programmiersprache zu den ureigensten Aufgaben der Mathematik und der Informatik gehören. Innerhalb einer mathematischen Anfängervorlesung, die sich an Studierende der Informatik richtet, erscheint mir daher eine formale Darbietung angemessen, die von Beginn an auf die spezifischen Denkweisen, die Sprache und natürlich auf die Beweismethoden in der Mathematik abzielt, wodurch das Fundament für ein wünschenswert facettenreiches mathematisches Gebäude geschaffen wird.

Bei der Ausarbeitung habe ich mich stets bemüht, mir die Schwierigkeiten beim Wechsel von Schule zu Studium vor Augen zu halten. Das Ziel dieses Buches ist daher auch die Festigung des mathematischen Schulwissens zu einem tieferen Verständnis der wesentlichen mathematischen Ideen.

Es freut mich sehr, dass das Buch in seiner ersten Auflage sehr positiv angenommen wurde. So wurde von Seiten des Pearson-Verlages bereits zwei Jahre nach Erscheinen des Buches der Wunsch nach einer zweiten Auflage an mich herangetragen. Ich habe diese Gelegenheit gerne zu einer gründlichen Überarbeitung der ersten Auflage genutzt, wobei neben einigen neuen Abschnitten der Stoff nunmehr in vier statt drei Teilen präsentiert wird und wobei ich auch nochmals viel Arbeit in die Strukturierung der einzelnen Kapitel investiert habe.

Klappentext

Mathematik für Informatiker

Das Buch vermittelt in der zweiten und komplett überarbeiteten Auflage eine gründliche Einführung in die für Informatiker wichtigsten Teildisziplinen der Mathematik. Es liefert das unverzichtbare mathematische Rüstzeug, das Studierende der Informatik für spätere Vorlesungen, primär aus der theoretischen Informatik, benötigen. Es behandelt dazu die Grundlagen der Analysis, der Algebra, der Elementaren Zahlentheorie, der Kombinatorik, der Linearen Algebra und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, insbesondere der Diskreten Mathematik, wobei übergreifende Fragestellungen und Zusammenhänge hervorgehoben werden. Es erklärt mathematische Denkweisen, mathematische Sprache sowie Beweismethoden in anschaulicher Weise und festigt das mathematische Grundwissen zu einem tieferen Verständnis der wesentlichen mathematischen Ideen. Die theoretischen Grundlagen werden durch Praxisanwendungen aus der Codierungstheorie und der Kryptografie vertieft. Fachbegriffe werden anhand vieler Beispiele veranschaulicht. Durch die übersichtliche Darstellung und das Arbeiten mit grundlegenden Algorithmen wird nicht nur die konstruktive Denkweise geschult, es empfiehlt sich so in besonderer Weise auch ideal zum Selbststudium. Über 300 Übungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades unterstützen das aktive Arbeiten mit Rechenverfahren und Beweismethoden und helfen bei der Überprüfung des Lernerfolges.

INHALT

Mengen und Aussagen
Grundlagen über Zahlen und Zahlsysteme
Abbildungen, Äquivalenzrelationen und partielle Ordnungen
Kombinatorik und Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
Algebraische Strukturen
Komplexe Zahlen, Quaternionen, Restklassenringe und Anwendungen
Vektoren, Matrizen und lineare Gleichungssysteme
Abstrakte Vektorräume und Anwendungen
Polynome, formale Potenzreihen und rationale Funktionen
Axiomatik reeller Zahlen, Folgen und Reihen
Stetige Funktionen
Differential und Integralrechnung

ONLINE

Auf der Companion Website zum Buchunterwww.pearson-studium.de

Für Dozenten

Folien zur Vorlesung und alle Abbildungen aus dem Buch

Für Studenten

Ausführliche Lösungen zu den Übungen im Buch
Eine Auswahl weiterer Übungsaufgaben mit Lösungen
Software zur Visualisierung der Arbeitsweise ausgewählter Algorithmen

ISBN 978-3-8273-7320-5

Register

Register

A
Abbildung 87
- bijektive 88
- Bild 90
- Bildbereich 87
- Definitionsbereich 87
- dehnungsbeschränkte 658
- differenzierbare 700
- Einschränkung 94
- Erweiterung 94
- Hintereinanderausführung 92
- gleichmäßig stetige 658
- identische 90
- injektive 88
- kanonische 452
- K-lineare 357
- Komposition 85, 92
- lineare 357
- Lipschitz-stetige 658
- monoton wachsende 164
- natürliche 314
- stetige 656
- streng monoton wachsende 138, 164
- surjektive 88
- Umkehrabbildung 92
- Urbild 90
- Verkettung 92
- Wertebereich 87
Abel, Nils Henrik 205
Abgeschlossenheit
- einer Verknüpfung 208
- unter Inversenbildung 209
Ableitung
- der Umkehrfunktion 710
- einer Funktion 700
- formale eines Polynoms 524
- höhere 712
- Kettenregel 708
- Produktregel 707
- Quotientenregel 707
Ableitungsfunktion 700
Ableitungsoperator 705
Abrunden einer Zahl 459
Abrundung einer reellen Zahl 556
absolut konvergent 621
Absolutbetrag 89, 550, 552
Absorptionsgesetz 17
Abstand
- euklidischer 738
- Hamming-Abstand 274
abzählbar unendlich 98
Addition
- komponentenweise von n-Tupeln 202
- punktweise von Abbildungen 451, 464
- punktweise von n-Tupeln 202
Additionsregel für Integrale 751
Additionstheoreme der Trigonometrie 362, 684
additive Mengenfunktion 160
Adleman, Leonard Max 262
affine Funktion 703
affine Transformation 328
Aleph-Null 98
Algebra
Aussagenalgebra 26
- Boolesche 27, 241
- der formalen Potenzreihen 468
- KAlgebra 352
- Mengenalgebra 26
a-Algebra 158
algebraisch abgeschlossen 480
Algorithmus 5-adische Darstellung 66
- Chinese 292
- effizienter 604
- Eingabegröße 68
- erweiterter Euklidischer bei ganzen Zahlen 72
- erweiterter Euklidischer für Polynome 479
- Euklidischer bei ganzen Zahlen 70
- Euklidischer für Polynome 478
- Gauß-Algorithmus 396
- Horner-Schema 485
- ineffizienter 604
- Invertieren modulo n 257
- Komplexität 68
- Korrektheit 67
- Laufzeit 68
- Newton-Interpolation 491
- Polynomdivision mit Rest 475
- Speicherplatzbedarf 68
- Square-and-Multiply 258
- Terminierung 67
Allquantor 37
Alphabet 271
alternierende Gruppe 323
Anfangsstück 48
Anordnung 545
Axiome 545
Antinomie 28
Antivalenz von Aussagen 22
Approximation
- durch Taylor-Polynome 724
- durch Treppenfunktionen 748
äquivalenter Code 450
Äquivalenz von Aussagen 23
- Klasse 105
- Relation 103
Archimedes von Syrakus 554
archimedisches Axiom 555
Arcuscosinus 736
Arcussinus 711
arithmetische Operationen 30
Assoziativgesetz 197
Aufrundung einer reellen Zahl 62, 556
Aussage
allgemeingültige 24
- "es gibt ..." 37
- "für alle..." 37
- logische 21
- Negation 22
- Wahrheitswert 21
Aussagen
- Äquivalenz 23
Antivalenz 22
- Disjunktion 22
- Implikation 23
- Konjunktion 22
- logische Gleichwertigkeit 23
Aussagenalgebra 26
Auswahlaxiom 38
Auswertung eines Polynoms 481
Aus wert ungsabbildung 482
Automorphismus 303
Average-Case-Analyse 604
axiomatische Mengenlehre 28

B
B-adische Approximation 639
Bahn 143
Barbier von Sevilla 28
Basis eines Vektorraumes 424, 454
basisabhängiger Isomorphismus 433
Basisergänzungssatz 431
Baumdiagramm 29
Bayes, Thomas 174
Berechnungsmodell 68
Bernoulli, Jakob 185
Bernoulli
- Experiment 185
- Kette 185
- Ungleichung 554
Bernstein, Felix 108
beschränkt 558
- nach oben 557
- nach unten 558
Betrag 64, 89
- einer komplexen Zahl 231, 551
Beweis
- direkter 24
- durch vollständige Induktion 48
- durch Widerspruch 11
- indirekter 11, 25
Bewertung 552
- p-adische 554
- ultrametrische 570
Bibel 284
Bijektivität 88
Bild
- eines Elementes 87
- eines Gruppen-Homomorphismus 305
Binomialkoeffizient 126
Binomialsatz 129
Binomialverteilung 186
binär
- Code 272
- Körper 223
- Operation 196
- Wiederholungscode 281
- Zerlegungsschritt 500
Blockmatrix 354
Bolzano, Bernard 599
Boole, George 27
Boole'sche Algebra 27, 241
Boone, Steven 58

C
Cantor, Georg 6
Cantor'sches Diagonalverfahren 99
Cauchy, Augustin Louis 605
Cauchy-Folge 605
Cauchy-Produkt von Reihen 635
charakteristische
- Funktion 125
- Indexmenge 137
- Spalte 394
- Spaltenfunktion einer Treppenmatrix 394
Chiffrierabbildung 262
Chiffrierung 262
Code 271
- (7, 4)-Hamming-Code 282
- dualer 447
- EAN-Strich-Code 286
- ISBN-Code 284
- perfekter 280
- zyklischer 495
Codewort 271
codieren 273
Cohen, Paul 109
Cooper, Curtis 58
Cosinus 683
- Potenzreihendarstellung 685
Cosinus-hyperbolicus 695
Cotangens 731
Coxeter, Harold 56

D
Darstellung
- B-adische 66
Darstellungsmatrix 359
Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung 434
Datenstrukturen 86
de l'Höpital, Guillaume Frangois
- Antonie 713
de Moivre, Abraham 688
de Morgan, Augustus 17
de Morgan'sche Gesetze 17
Dechiffrieren 263
Decodierung 276
Dedekind, Julius Wilhelm Richard 565
Dedekind-Schnitt 565
Descartes, Rene 27
Determinante 357
Dezimalbruchentwicklung
- reeller Zahlen 99
Diagonalisierbarkeit einer linearen
- Abbildung 439
Diagonalverfahren von Cantor 96
dicht 11, 556
Dichte einer Zufallsvariablen 769
Diedergruppe 329
Differentiation von Potenzreihen 763
Differenzen erster Ordnung 765
Differenzenquotient 701
Differenzfolge 765
Differentialgleichung 736
Differentialquotient 700
Differenzierbarkeitskriterien 702, 703
Digraph 86
Dimension eines Vektorraums 427
Dimensionsformel
- erste 436
- zweite 436
direkte
- Summenzerlegung 437
- Vektorraumsumme 437
Disjunktion von Aussagen 22
diskrete Fourier-Transformation (DFT) 499
Diskriminante 14
Divide-and-Conquer 502, 604
Division mit Rest
- bei ganzen Zahlen 65
- bei Polynomen 475
Divisions-Methode 65
Dominoprinzip 75
Doppelsumme 31
Drehung 361
Dreiecksmatrix 340
- normierte 340
- obere 340
- untere 340
Dreiecksungleichung beim
- Hamming-Abstand 278
Dreier-Regel 78
Dreierzerlegung 79
dritte binomische Formel 40
Dualdarstellung 66
dualer Code 447
Dualitätsprinzip
- bei Aussagen 27
- bei Mengen 20

E
Eigenraum 440
Eigenvektor 440
Eigenwert 440
ein-eindeutige Zuordnung 89
eindeutige Zuordnung 86
Einheit 204, 221
- modulo n 256
Einheitengruppe 204
Einheitsmatrix 340
Einheitswurzel
- n-te 498
primitive n-ie 498
Einselement 199
Einwegfunktion mit Falltür 263
Element einer Menge 6
Elementarereignis 158
Elementarmatrix 407
elementare Zeilenumformungen 391
Elementbeziehung 6
- Empfängermenge 271
Endomorphismus 303
Endstück 48
Entwicklungspunkt 723
Entwicklungsstelle 723
Epimorphismus 303
Ereignis 157
- sicheres 159
- (stochastisch) unabhängiges 176
- unmögliches 159
Erwartungswert 178, 644
einer stetigen Zufallsvariablen mit Dichte 770
erweiterte Koeffizientenmatrix 379
Erweiterungskörper 482
erzeugende Funktion 528
Erzeuger einer zyklischen Gruppe 213
Erzeugersystem
eines Vektorraumes 347
- minimales 380, 424
Euklid von Alexandrien 58
euklidischer Bereich 330, 475
Euler, Leonhard 10, 37
Euler-Funktion 138
- Multiplikativität 141
Euler'sche Zahl 596
europäische Artikelnummer (EAN) 286
Evaluation eines Polynoms 481
Existenzquantor 37
exklusives oder 16, 22
Exponentialfunktion 625
- Verhalten auf der imaginären Achse 683
- Verhalten auf Q 675
- Verhalten auf R 676
- zur Basis a 678, 679
Extremalstelle 713
Extremum 713

F
Faktorgruppe 313
Faktorisierung
- einer ganzen Zahl 63
- eines Polynoms 480
Faktorisierungsverfahren, naives 63
Faktorraum 368
Faktorring 320
Fakultätsfunktion 52
falsch negativ 175
falsch positiv 175
- Faltung von Folgen 465 fast
- alle 52
- überall 577
- überall definiert 577
- überall gleich 577
- überall gleich null 452
Fast Fourier Transformation (FFT) 501
Fehlerbündel 495
Fehlererkennung 270
Fehlerkorrektur 270
Fehlerraum 273
Fehlersyndrom 448
Fehlerwort 273
Fermat, Pierre de 37
Fermat-Primzahl 37
Fibonacci, Leonardo von Pisa 527
Fibonacci-Zahlen 611
Fixpunkt 145
Fixpunktsatz 730
Fläche des Einheitskreises 756
Folge 464 5-adische 638
- beschränkte 587, 588
- Cauchy-Folge 605
- divergente 578
- konvergente 578
- mit Werten in K 451
- monoton fallende 588
- monoton wachsende 588
- nach oben beschränkte 587
- nach oben unbeschränkte 587
- nach unten beschränkte 587
- periodische 535
- streng monoton fallende 588
- streng monoton wachsende 588
- von Funktionen 670
Folgenglied 464
Folgerung 23
formale Ableitung eines Polynoms 524
Formel
- erste binomische 14
- dritte binomische 40
- Inklusions-Exklusions-Formel 135
- Sieb-Formel 137
- von Bayes 174
- von de Moivre 688
- von der totalen Wahrscheinlichkeit 173
Fourier, Jean Baptiste Joseph 497
Fourier-Transformation
- diskrete 499
- inverse 502
- schnelle 501
Freiheitsgrade 383
Funktion 86
- affine 657
- analytische 727
- beschränkte 667
- charakteristische 125
- differenzierbare 700
- hyperbolische 695
- innere 708
- konvexe 694
- Riemann-integrierbare 746
- äußere 708
Funktionalgleichung der
- Exponentialfunktion 674
Funktionenfolge 670
Funktionsgraph 88

G
Galois, Evariste 258
Galois field 258
Gauß, Garl Friedrich 33
Gaußsche Glockenkurve 771
Gauß'scher Zahlkörper 495
Gegenbeispiel 37
gemeinsamer Teiler
- bei ganzen Zahlen 69
- bei Polynomen 477
general linear group 355
Generatormatrix 447
Generatorpolynom eines zyklischen
Godes 496
geometrische
- Reihe 35, 617
- Summe 54
geordnetes Paar 29
Gerade 104
GIMPS 58
Gleichheit
- von Abbildungen 88
- von Mengen 7
- von /7-Tupeln 34
- von Paaren 29
Gleichmächtigkeit 96
Gleichmächtigkeitsregel
- des Zählens 122
Gleichungssystem
- homogenes 378
- inhomogenes 378
- lineares 378
- rechte Seite 378
Gleichverteilung 178
Gleichwertigkeit von Aussagen 23
Gleitkommazahl 643
- Exponent 643
- Mantisse 643
- Vorzeichen 643
Goldener Schnitt 10
Grad eines Polynoms 468
Gradfunktion 330
Graph
- einer Funktion 88
gerichteter 86
Graphentheorie, algorithmische 86
Grenzfunktion 670
Grenzwert 578
Grenzwertsatz
- erster Teil 584
- zweiter Teil 585
Grundgesetze
- bei Aussagenverknüpfungen 26
- bei Mengenverknüpfungen 17
Gruppe 205
- abelsche 205
- kommutative 205
- symmetrische 207
- Zentrum 328
- zvklische 213
größter gemeinsamer Teiler
- bei ganzen Zahlen 69
- bei Polynomen 477
größtes Element eines Verbandes 240

H
Halbgruppe 197
- kommutative 198
Hamilton, William Rowen 234
Hamming, Richard Wesley 274
Hamming
Hamming-Abstand 274
Hamming-Code, (7, 4) 282
Hamming-Gewicht 274
Hardy, Godfrey Harold 266
harmonische Reihe 35
Hasse, Helmut 110
Hasse-Diagramm 110
Hauptideal 316
Hauptidealbereich 316
Hauptidealring 316
Hauptsatz der Differential
- und Integralrechnung 751
Hexadezimaldarstellung 66
hinreichende Bedingung 23
homogenes System 288
Homomorphismus
- kanonischer bzw. natürlicher 314
- von K-Vektorräumen 357
- von Gruppen 303
- von Monoiden 303
- von Ringen 315
Horner, William George 485
Horner-Schema 485
Hyperebene 445
Hypothese 23
Häufigkeit
- absolute 158
- relative 158
Häufungspunkt 577

I
Ideal
- eines Ringes 316
- maximales 321
- Primideal 329
Idempotente, paarweise
- orthogonale 291
Idempotenzgesetz 17
Identitätssatz für Potenzreihen 633
imaginäre
- Achse 682
- Einheit 10, 229
Implikation von Aussagen 23
Index einer Untergruppe 215
Indexmenge 31
Indikatorvariable 170
Induktion 48
Induktionsanfang 49
Induktionsannahme 49
Induktionsschluss 49
Induktionsschritt 48
Induktionsverankerung 48
Induktionsvoraussetzung 49
Inhmum 237, 559
Infimum-Eigenschaft 560
Informationsrate 272
Injektivität 88
Inklusion von Mengen 7
- Integral
- einer Treppenfunktion 743
- Oberintegral 745
- Riemann-Integral 746
- unbestimmtes 768
- uneigentliches 768
- Unterintegral 745
Integralfunktion 751
Integration
- partielle 757
- Produktintegration 757
- Substitutionsregel 755
- Transformationsformel 756
- von Potenzreihen 761
Integrationsvariable 744
Integritätsbereich 220
Internationale Standardbuchnummer (ISBN) 283
Interpolation 487
Interpolationspolynom 487, 488
Intervall 110
- abgeschlossenes 558
Intervallgrenzen 558
- kompaktes 558
Intervalllänge 558
- links abgeschlossen und rechts offen 558
- links offen und
- rechts abgeschlossen 558
- offenes 558
Intervallschachtelung 591
inverse Fourier-Transformation 502
inverses Element zu 203
invertierbares Element 203
Invertieren einer Matrix 411
ISBN-Code 284
isomorph 303
Isomorphismus 303
Iterationsprinzip 729

J
Junktor 22

K
kanonisch
- Abbildung 452
- Basis 347, 348, 453
- Einheitsvektor 347
Kanten, gerichtete 86
Kardinalität, gleiche 96
kartesisches Produkt
- allgemeines 38
- von 77
Mengen 34
- zweier Mengen 29
Kern eines Gruppen-Homomorphismus 304
Klassenverknüpfung 313
kleinstes Element 46
- eines Verbandes 240
Knoten eines Graphen 85
Köder, Sieger 284
Koeffizienten
- eines Polynoms 472
Koeffizientenmatrix 378
Kommentar 66
kommutatives Diagramm 434
Kommutativgesetz 198
Komplementaritätsgesetz 17
Komplementbildung 89
komplexe Einheitssphäre 683
komplexe Zahl 226
- Imaginärteil 229
Konjugierte 230
- Realteil 229
Komplexität eines Problems 604
Komponente
- eines n-Tupels 34
- eines Paares 29
komponentenweise Addition
- von n-Tupeln 202
Kongruenz
- modulo n 104
Kongruenzklassen 310
Kongruenzrelation 252, 310
- auf Ringen 318
konjugiert komplexe Zahl 230
Konjunktion von Aussagen 22
Konklusion 23
konstante Nullfolge 579
Kontinuum 10
- Kontinuumshypothese 109
Kontradiktion 24
Kontraktion 658
Kontrapositionsgesetz 25
Kontrollmatrix 447
Kontrollpolynom eines zyklischen
- Codes 497
Konvergenz
- absolute 621
- gegen unendlich 582
- gleichmäßige 671
Konvergenzradius einer Potenzreihe 629
- punktweise 670
- uneigentliche 583
- von links 664
- von rechts 664
Konvolution von Folgen 465
Koordinatenvektor 433
Körper 222
- angeordneter 545
- archimedischer 555
- bewerteter 552
- binärer 224
- der komplexen Zahlen 226
- der rationalen Funktionen 519
- vollständig angeordneter 561
Körpererweiterung, i7-dimensionale 494
Korrekturleistung eines Codes 277
Kreisteilungskörper 495
Kreisteilungspolynom 495
Kreiszahl 620, 687
- Formel 763
Kryptoanalyse 267
Krümmungsverhalten 722
Kugel, diskrete 279
Kugeloberfläche, diskrete 279
Kugelpackungsschranke 280
Kürzungsregel 221

L
Lagrange, Joseph Louis 213
Lagrange-Interpolationsformel 489
Lagrange-Polynome 490
Landau, Edmund 69
Landau-Symbol 69, 601
Laplace, Pierre-Simon 162
Laplace
Laplace-Experiment 162
Laplace-Modell 162
Laufvariable 31
Leibniz, Gottfried Wilhelm 618
Leibniz-Kriterium 618
Leitkoeffizient eines Polynoms 468
Leitmonom eines Polynoms 472
Leitterm eines Polynoms 472
Lemma von Zorn 455
Lenstra, Arjen Klaas 268
Lenstra, Hendrik Willem, Jr. 268
rHöpital'sche Regeln 719
Limes 578
- inferior 598
- superior 597
Linearfaktor 479
Linearkombination 345, 454
linear
- abhängig 421, 454
- unabhängig 421, 454
lineare Abbildung 357
lineare Hülle 346
lineare Optimierung 604
lineare Schieberegisterfolge 528
- erzeugende Funktion 528
linearer Code über einem Ring 272
lineares Gleichungssystem 378
Linksnebenklasse 214, 306
Lipschitz, Rudolf 658
Lipschitz-Konstante 658
Logarithmus, natürlicher 677
Logarithmusfunktion
- Eigenschaften der natürlichen 678
- zur Basis a 679
logisches oder 16, 22
logisches und 22
Lokationsparameter 771
Lösung, reelle quadratische Gleichung 13
Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems 379
Lottospiel "6 aus 49" 163

M
Mächtigkeit einer Menge 8
- Majorante 621
Majorantenkriterium 621
Matrix 339
- Diagonalmatrix 340
- Diagonaleintrag 340
- (;', /)-Eintrag 339
Matrixalgebra 352
Matrixmultiplikation 349
- (in, 77)-Matrix 339
- quadratische 340
Matrixprodukt 349
Maximum 559
- globales 713
- lokales 713
- strikt globales 713
- strikt lokales 713
Menge 6
- abgeschlossene 662
- Abschluss 662
- Aufzählung 7
- definierende Eigenschaften 7
- der Dezimalziffern 6
- der Dualziffern 6
- Differenz von 15
- disjunkte 16
- disjunkte Vereinigung 16
- elementfremde 16
- endliche 9
- Gleichheit von 7
- Inklusion von 7, 102
- Kardinalität 8
- Komplement 17
- leere 9
Mächtigkeit 8
- n-Menge 125
- paarweise disjunkt 28
- Schnittmenge 15
- symmetrische Differenz 15
- unendliche 9
- Vereinigung 15
Mengenalgebra 26
Mengenklammern 6
- Mengenoperatoren 15
Mengensystem 28
- disjunktes 28
Merge-Sort-Algorithmus 604
Mersenne, Marin 58
Mersenne-Primzahl 58
Messbarkeit von Abbildungen 769
Minimalabstand eines Codes 277
Minimalpolynom
- einer Matrix 504
- eines Vektors 505
Minimum 46, 559
- globales 713
- lokales 713
- strikt globales 713
- strikt lokales 713
Minorante 621
Minorantenkriterium 622
minus unendlich 558
Mittelwert
- arithmetischer 178
- P_r ge wichtot 178
Mittelwertsatz
- der Integralrechnung 750
- erster, der Differentialrechnung 715
- zweiter, der Differentialrechnung 715
mittlere quadratische Abweichung 180
Möbius, August 150
Möbius-Funktion 150
Modul 338
- fl-Modul 338
Modus Ponens 24
Monoid 198
- kommutatives 198
Monom 472
Monomorphismus 303
Monotoniekriterien 716
Morphismus
- Automorphismus 303
- Endomorphismus 303
- Epimorphismus 303
- Isomorphismus 303
Monomorphismus 303
Multiplikation, punktweise
- von Abbildungen 464
multiplikatives Invertieren in C 230

N
Nachfolger 48
Nachrichtenmenge 271
nächster Nachbar 276
natürliche Abbildung 314
natürliche Ordnung 46
Negation 22
Negativteil einer Funktion 747
neutrale Klasse 311
neutrales Element 198
Newton, Isaac 491
Newton
Newton-Interpolationsformel 491
Newton-Verfahren 732
nichtcharakteristische Spalte 394
- (n, ic)-Code über A 272
Norm einer komplexen Zahl 551
Normalform 111
Normalteiler 309
normierte Treppengestalt 389
notwendige Bedingung 23
Nullabbildung 451
Nullelement 199
Nullfolge 579
Nullmatrix 340
Nullpolynom 468
Nullraum 346
Nullstelle eines Polynoms 481

O
obere Schranke 237, 557
Oberintegral 745
offener Kreis 578
Oktaldarstellung 66
o-Notation 602
O-Notation 601
Q-Notation 602
Ordnung
- eines Gruppenelementes 215
- größtes Element 109
- kleinstes Element 109
- lexikographische 102
- multiplikative von x modulo n 261
- natürliche 46, 545
- partielle 101
- Teilmengenordnung 102
- totale 102
orthogonal 445
Orthogonalraum 445

P
Paar, geordnetes 29
Paare, Gleichheit von 29
Parallelität 104
Paritätsbit 271
- Erweiterung 279
Partialbruchzerlegung 520
- erster Teil 521
- zweiter Teil 526
Partialsumme 616
partielle Ordnung 101
Partition einer Menge 29
Pascal, Blaise 128
Pascal'sches Dreieck 128
Periode 535
- einer stetigen Funktion 687
- einer B-adischen Darstellung 642
periodische Folge 535
Periodizität von Sinus und Cosinus 687
Permutation 89
Permutationsmatrix 340
plus unendlich 558
Poisson, Simeon Denis 680
Polarkoordinaten 231
Polynom 468
- Algebra 469
- Division 475
- Grad 468
- Interpolationspolynom 488
- irreduzibles 479
- konstantes 472
- Methode 485
- monisches 468
- Ring 469
- unzerlegbares 479
Polynomfunktion 482
Positivbereich 546
Positivteil einer Funktion 747
Potenzgesetze 564
Potenzfunktion mit beliebigem
- Exponent 679
Potenzmenge 28
Potenzregel des Zählens 124
Potenzieren modulo n 258
Potenzreihe
- Entwicklungspunkt 633
- Konvergenzbereich 629
- Konvergenzradius 629
- Stetigkeit 673
Prädikat 36
Prämisse 23
Primfaktorzerlegung
- Eindeutigkeit 61
- Existenz 60
Primideal 329
primitives Element 262
Primzahl 57
- Fermat-Primzahl 37
- Mersenne-Primzahl 58
Prinzip
- des ausgeschlossenen Dritten 21
- des doppelten Zählens 149
Prinzip der vollständigen Induktion
- erste Form 48
- zweite Form 59
Priorität bei Klammersetzung 15
probability 159
Produkt von Matrizen 349
Produktformel 525
Produktmonoid 201
Produktregel
- der Differentiation 707
- des Zählens 35, 123
Projektion 149
projektive Ebene 457
projektive Geometrie 457
Prüfziffer 284
Public-Key-Cryptosystem 262
punktweise Addition
- von Abbildungen 451, 464
- von /7-Tupeln 202
punktweise Multiplikation
- von Abbildungen 464
Pythagoras von Samos 10

Q
Quadrate modulo p 308
quadratfreie Zahl 242
Quadratfunktion 657
quadratische Ergänzung 14
Quadratzahl 40
Quantor 36
Quasi-Ordnung 101
Quaternion 234, 235
Quaternionenschiefkörper 234
Quotient 476
Quotientenkörper 519
Quotientenkriterium 624
- für Potenzreihen 631
Quotientenregel der Differentiation 707

R
Rand des Konvergenzbereiches 629
Randpunkt, linker bzw. rechter eines
- Intervalls 558
Rang
- einer allgemeinen Matrix 410
- einer Treppenmatrix 394
rationale Funktion 519
rationale Normalform 506
Rechtsnebenklasse 306
Reduktion von a modulo b 65
Reduktionssystem 111
Redundanz 270
reduzieren 111
reelle Zahl
- B-adische Darstellung 638
- B-adische Entwicklung 638
Regeln von de l'Höpital 719
Regula falsi 733
Reihe 616
- alternierende geometrische 518
- alternierende harmonische 620
- geometrische 35, 518, 617
- Grenzwert 616
- harmonische 35, 617
- Leibniz-Reihe 620
Reihendarstellung von arctan 762
Rekursionsabbildung 527
rekursive Definition 52
Relation
- antisymmetrische 101
- Äquivalenzrelation 103
- binäre 84
- Hintereinanderausführung 85
- Komposition 85
- konverse 85
- linkseindeutige 86
- linkstotale 86
- n-äre 84
rechtseindeutige 86
rechtstotale 86
reflexive 101
- strukturerhaltende 302
- symmetrische 103
- transitive 101
- Umkehrrelation 85
- Verkettung 85
- verträgliche 302
relativ prim 70
relativ primes Kongruenzsystem 290
relativ primes Polynom-Restsystem 493
Repräsentant einer Äquivalenzklasse 105
Repräsentantensystem 107
- kanonisches 107
Rest 476
Restglied 723
Restklasse modulo n 105
Restklassenaddition 253
Restklassenkörper modulo p 258
Restklassenmultiplikation 253
Restklassenring modulo n 253
Riemann, Bernhard 623
Riemann
Riemann-Integral 746
Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen 749
Riemann'sche Zeta-Funktion 622
Ring 218
- der formalen Potenzreihen 468
- Einheitengruppe 221
- Einselement 218
- kommutativer 218
- Nullelement 218
- Polynom-Ring 469
Ring-Homomorphismus 315
Rivest, Ronald Linn 262
Rolle, Michel 714
RSA-System 264
Rückkopplungsmechanismus 527
Rückkopplungspolynom 528
Russel, Bertrand 28

S
- a-Additivität 644
- a-Algebra 158
Satz
- Binomialsatz 129
- Chinesischer Restsatz 290
- Fixpunktsatz 730
- Newton-Verfahren 732
- von Bolzano-Weierstraß 599
- von Euklid 58
- von Euler 260
- von Fermat, kleiner 261
- von Lagrange 214
- von Pythagoras 10, 231
- von Taylor 724
- von Wilson 296
- Wohlordnungssatz 109
Scherung 361
Schieberegister 528
Schieberegisterfolge 527
- Tiefe 528
Schiefkörper 222
- der Quaternionen 235
Schleifeninvariante 68
Schlömilch, Oscar Xavier 725
Schlüssel 262
- geheimer 262
- öffentlicher 262
schnelle Fourier-Transformation (FFT) 501
schnelle Matrixmultiplikation 372
Schnitt einer Intervallschachtelung 59
Schnittmenge 15
Schnittzahl einer Intervallschachtelung 592
Schranke
- obere 237
- untere 237
Schröder, Ernst 108
Sekante 701
Sendermenge 271
senkrecht 445
Sensitivität eines medizinischen
- Testes 175
Shamir, Adi 262
Sheffer-Operation 27
Simplex-Algorithmus 604
Sinus 683
- Potenzreihendarstellung 685
Sinus-hyperbolicus 695
Skalarmultiplikation 338
Skalarprodukt 350
Skalierung 361
- gleichförmige 361
Solovay, Robert Martin 266
Spaltenraum einer Matrix 425
Spaltenvektoren 342
Spaltenvektorraum, ni-Tupel 342
Spezialisierung 18
Spezifität eines medizinischen
- Testes 175
Spiegelung 361
Stammfunktion 752, 754
Standardabweichung 180
Standardlösung 402
Standard-n-Menge 125
Standard-Normal Verteilung
- Dichtefunktion 771
- Zufallsvariable 771
Standard-Skalarprodukt 445
statistische Versuchsplanung 150
Stellwertsystem 66
stetige Fortsetzbarkeit 664
Stetigkeit 656
- bei Umkehrfunktionen 662
- bei Verkettung von Funktionen 663
- der allgemeinen Logarithmusfunktion 679
- der natürlichen Logarithmusfunktion 677
- der Wurzelfunktionen 663
- Folgenkriterium 660
- gleichmäßige 658
- Lipschitz-Stetigkeit 658
- von Polynomfunktionen 661
- von Potenzreihen 673
- von rationalen Funktionen 661
- von rationalen Potenzfunktionen 663
Stirling, James 54
Störpolynom 529
Strassen, Volker 266, 604
Streuung 180
Stufen-Normalform 389
Summenregel 55
- des Zählens 122
Supremum 237, 559
- Eigenschaft 560
Supremumsnorm 672
Surjektivität 88
symmetrische Gruppe 207

T
Taktgeber 527
Tangensfunktion 708
Tangente 701
Taubenschlagprinzip 95
Tautologie 24
Taylor, Brook 722
Taylor
- Satz von 724
Taylor-Polynom 723
Taylor-Reihe 727
Teilalgebra 353
Teilbarkeitsrelation 56
Teiler
- bei ganzen Zahlen 56
- bei Polynomen 474
teilerfremd 70
Teilerverband 242
Teilfolge 589
Teilkörper 228, 246
Teilmenge 7
- echte 7
Teilmodul eines Moduls 344
Teilmonoid 208
- erzeugtes 212
Teilraum 344
- äußere Darstellung 446
- innere Darstellung 446
- invarianter 438
Teilring 314 0-Notation 602
totale Ordnung 102
Träger
- einer Abbildung 452
- eines Codewortes 448
- endlicher 452
Transitivität der Teilbarkeitsrelation 56
Translationsinvarianz 184
Transponieren von Matrizen 342
Transposition 144
trap door function 263
Treppenfunktion 743
Treppenmatrix 393
- normierte 393
Treppen-Normalform 389, 410
Trinomialsatz 149
triviale Ideale 316
Tschebyschow, Pafnuti Lwowitsch 690
Tupel, n34
Turing, Alan 100
Türme von Hanoi 80

U
überabzählbar 98
ultrametrische Ungleichung 570
umgangssprachliches oder 16
Umkehrabbildung 92
Umkehrrelation 85
Umordnung einer Reihe bzw. Folge 634
unabhängig und identisch verteilte
- Zufallsvariable 772
unbeschränkt
- nach oben 558
- nach unten 558
Unbestimmte eines Polynoms 471
uneigentlich konvergent 583
unendlich 558
untere Schranke 237, 558
Untergruppe 209
- erzeugte 213
- Index 215
- triviale 209
Unterintegral 745
Update-Formel 73
Urbildpartition 90
Ursache 174

V
Vandermonde, Alexandre-Theophile 489
Vandermonde-Matrix 489
Variable
- bei einer Mengenbeschreibung 7
- eines Polynoms 471
Varianz 180, 645
- einer stetigen Zufallsvariable mit Dichte 770
Vektor 338
Vektorraum 338
- aufgespannter 346
- endlich erzeugter 347
- erzeugter 346
- KVektorraum 338
Verankerungsvektor 380
Verband 237
- Absorptionsgesetze 238
- Assoziativgesetze 238
- Boolescher 241
- de Morgan'sche Gesetze 241
- distributiver 241
- Distributivgesetze 241
- doppelte Komplementbildung 241
- Idempotenzgesetze 238
- Kommutativgesetze 238
- Komplement innerhalb 240
- komplementärer 240
vollständiger 240
Verbindungsstrecke 694
Verdichtung 605
Vereinigung von Mengen 15
Vererbung 206
Vergleich, komponentenweiser 102
Verkettung von Polynomen 482
Verknüpfung 196
- assoziative 197
- innere 196
- kommutative 198
- komponentenweise 200
- punktweise 200
Verknüpfungstafel 257, 328
Verschlüsselung von Daten 262
Verteilungsfunktion 769
Vertretersystem 107
Vielfaches
- bei ganzen Zahlen 56
- bei Polynomen 474
- gemeinsames 74
- kleinstes gemeinsames 74
Vielfachheit
- einer Nullstelle 484
- eines Primfaktors 62
Vielfachsummendarstellung
- bei ganzen Zahlen 72
- bei Polynomen 478
vollständig geordnet 560
vollständige Induktion 48
Vollständigkeit bei Verbänden 239
Vollständigkeitsaxiom 240, 561
Voraussetzung 23
Vorlauf einer formalen
- Potenzreihe 536
Vorzeichen einer
- Permutation 323

W
Wachstums verhalten 602
- exponentielles 603
- logarithmisches 603
- polynomiales 603
Wahrheitstafel 22
Wahrscheinlichkeit
- a posteriori 176
- a priori 175
- bedingte 171
- Elementarwahrscheinlichkeit 160
Wahrscheinlichkeitsfunktion 160
- induzierte 168
Wahrscheinlichkeitsraum 160
- abzählbar unendlicher 644
- bedingter 171
- marginaler 185
Wahrscheinlichkeitsrechnung
- diskrete 157
- kontinuierliche 157
Weg, gerichteter 86
Weierstraß, Karl 599
Wendestelle 718
Wertzuweisung 66
Widerspruch 24
Widerspruchsbeweis 25
Wilson, John 296
Wirkung 174
Wohldefiniertheit der Restklassenarithmetik 254
wohlgeordnet 46
Wohlordnung 46, 109
Wohlordnungseigenschaft 46
Wohlordnungssatz 109
worst case 259
Worst-Case-Komplexität 604
Worst-Case-Laufzeit
- eines Algorithmus 602
Worte der Länge k 271
Wurzel einer positiven
- Zahl 562
Wurzelgesetze 564
Wurzelkriterium 625
- für Potenzreihen 630

Z
Zahl
- ganze 9
- irrationale 10
- komplexe 9
- natürliche 9
- nichtnegative 9
- positive 9
- rationale 9
- reelle 9
Zahlbereiche 9
Zeilenvektoren 341
Zeilenvektorraum, n-Tupel 341
Zentraler Grenzwertsatz 772
Zerlegung
- einer Menge 29
- eines Intervalls 743
Zorn, Max August 455
Zufallsvariable 168
- gleichverteilte 178
- normierte und standardisierte 772
- reellwertige 168
- unabhängige 177
Zwischenwertsatz
- erste Version 666
zweite Version 666
Zykelschreibweise 143
zyklischer Code 495
Zyklus 143

Autor

AUTOR

DIRK HACHENBERGER unterrichtet als Privatdozent an der Universität Augsburg und bietet u.a. Vorlesungen zur Mathematik für Informatiker, zur Diskreten Mathematik und zur Optimierung an.

Neue Bücher in dieser Kategorie