Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Vorwort

Lehrbücher, die - wörtlich oder sinngemäß - den Titel "Mathematik für Physiker" tragen, sind in den letzten Jahren mit zunehmender Häufigkeit erschienen. Dass wir dennoch ein weiteres derartiges Werk vorlegen, hat folgenden Grund: Der erste Autor hat über gut drei Jahrzehnte hinweg die mathematische Ausbildung der Studierenden der Physik an der Johannes Gutenberg-Universität Mainz maßgeblich mitgestaltet, und zwar, wie wir ohne Übertreibung sagen dürfen, mit einer ausgesprochen positiven Resonanz bei Lehrenden und Lernenden gleichermaßen. Die fragliche Lehrtätigkeit bestand nicht nur aus einem viersemestrigen Grundkurs, der immer wieder umgestaltet, modernisiert und optimiert wurde, sondern auch aus weiterführenden Vorlesungen zu Themen wie etwa "Differenzialoperatoren der mathematischen Physik", "Lineare Analysis", "Gruppen und Darstellungen in der Physik" oder "Mannigfaltigkeiten in der Physik". Der zweite Autor hat sich bei seiner eigenen Lehrtätigkeit im Rahmen des Service für die Physiker mit diesem Material auseinander gesetzt und ist dabei zu der Überzeugung gelangt, dass es verdient, der Nachwelt erhalten zu bleiben und einem größeren Kreis von Interessenten zugänglich gemacht zu werden. So entstand der Plan, es zu einem modernen Lehrwerk auszugestalten, ergänzt durch weiterführende Abschnitte, zusätzliche Übungsaufgaben, Ausblicke und Literaturhinweise für die stärker theoretisch orientierten Studierenden. Das vorliegende Buch ist der erste von drei geplanten Bänden, und ein weiteres Lehrbuch, das auf einem fortgeschrittenen Niveau ansetzt (nämlich [14]) ist in Vorbereitung.

Die große Beliebtheit der Vorlesungen, aus denen dieses Buch und seine Nachfolgebände entstanden sind, dürfte in erster Linie auf ihre kompromisslose Konzentration aufs Wesentliche zurückzuführen sein. Die mathematische Ausbildung der zukünftigen Physiker und Physikerinnen steht heute ja mehr denn je im Spannungsfeld zwischen zwei gegensätzlichen Anforderungen: Einerseits verwendet und benötigt die Physik - zumindest in ihrer theoretischen Ausrichtung - immer mehr und immer anspruchsvollere Mathematik aus den verschiedensten Teildisziplinen dieser vielfältigen Wissenschaft, und so entsteht das Bedürfnis, die Studierenden sogar schon im Grundstudium zur Beherrschung einer erstaunlichen Fülle mathematischer Werkzeuge anzuleiten. Andererseits bleibt die Mathematik für die physikalischen Studiengänge doch nur ein Nebenfach, das auf keinen Fall das Kerngeschäft Physik beeinträchtigen oder davon ablenken soll, zumal einige eher experimentell orientierte Fachleute argumentieren werden, dass der durchschnittliche Physiker für einen Großteil der fortgeschrittenen mathematischen Werkzeuge gar keine Verwendung habe. Die neuen Bachelor- und Master-Studiengänge mit ihrer stärkeren Straffung der Studieninhalte werden dieses Dilemma noch verschärfen. Wir behaupten nicht, dass uns hier die Quadratur des Kreises gelungen wäre, aber wir glauben, dass wir zu einer recht guten Approximation gelangt sind. Dabei präsentieren wir in einem "Basistext" ein Minimalprogramm, das man jedem Studierenden der Physik zumuten muss, und in den jedem Kapitel beigefügten "Ergänzungen" bieten wir den mathematisch interessierten Lesern - die tendenziell auch in ihrer physikalischen Laufbahn eher theoretisch ausgerichtet sein werden - anregenden, aufregenden und nutzbringenden Zusatzstoff. Entfernt man aus jedem Kapitel die Abschnitte "Ergänzungen", "Aufgaben" sowie die als "Formelsammlung" gekennzeichneten Sonderabschnitte, so bleiben ca. 250 Seiten Basistext übrig, und auf diesen 250 Seiten behandeln wir den gesamten üblichen Stoffkanon der Differenzial- und Integralrechnung in einer und mehreren Variablen (mit Ausnahme der Potenzreihen, die am Beginn des zweiten Bandes im Zusammenhang mit komplexer Funktionentheorie systematisch diskutiert werden), die Grundlagen der linearen Algebra einschl. Räumen mit Skalarprodukt und ihrer speziellen Transformationen, ferner die klassische Vektoranalysis in zwei und drei Dimensionen, elementar lösbare Differenzialgleichungen erster und zweiter Ordnung sowie lineare Systeme von Differenzialgleichungen erster Ordnung, und schließlich die wichtigsten topologischen Grundlagen der Analysis.

Bei der Ausgestaltung dieses Basistexts haben wir uns von folgenden Gedanken leiten lassen:

• Die Auswahl des Stoffes deckt ein breites Spektrum mathematischer Konzepte und Methoden ab, die für die heutige Physik relevant sind. Im Gegenzug wird das Herumreiten auf angeblich erhellenden Einzelheiten, in das man als Mathematiker so gerne verfällt, überall dort vermieden, wo sie sich in der Praxis als nicht wirklich erhellend erwiesen haben. Gerade in dieser Hinsicht wurde das zugrunde liegende Vorlesungsskript im Laufe einer langjährigen Lehrerfahrung immer weiter optimiert. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben liefert natürlich etliche Details nach, die im Basistext vermisst werden könnten.

• Die Anordnung des Materials folgt nicht so sehr einer mathematischen Systematik als vielmehr den kurrikularen Bedürfnissen des Physikstudiums. Das wirkt zwar oft etwas unkonventionell und führt auch zu gewissen Redundanzen, vermeidet aber den verbreiteten Missstand, dass wichtige mathematische Begriffe und Methoden von den Dozenten der Physik ad hoc eingeführt werden müssen, weil das betreffende Material im mathematischen Grundkurs erst viel später an der Reihe ist. Dabei werden auch Vorwärtszitate in Kauf genommen, und diese werden didaktisch nutzbringend eingesetzt, indem abstraktere und für die Studierenden schwer motivierbare theoretische Überlegungen zurückgestellt werden, bis sie schließlich als Lösung eines schon durch mehrfache Erfahrung vertrauten Problems in Erscheinung treten. Ebenso haben die erwähnten Redundanzen einen didaktischen Nutzeffekt, da man einen abstrakten Begriff wesentlich besser versteht, wenn man vorher schon sein Auftreten in verschiedenen konkreten Situationen erlebt hat.

• Die Präsentation und sprachliche Ausgestaltung folgt dem Prinzip, dass gute Didaktik nicht darin besteht, möglichst viele Worte zu machen, sondern durch wenige gut gewählte Worte erreicht wird, unterstützt durch geeignete Illustrationen und ein breites Angebot von sinnvollen Übungsaufgaben. Ein derartiges Lehrbuch existiert ja nicht im luftleeren Raum, sondern wird i. Allg. im Rahmen des Lehrbetriebs an einer Hochschule benutzt, wo den Studierenden stets kompetente Ansprechpartner für ihre Fragen zur Verfügung stehen dürften. Ein Buchautor sollte also nicht versuchen, jede denkbare Frage zu beantworten, die ein Leser oder eine Leserin eventuell haben könnte, sondern seine Kommentare darauf beschränken, den wichtigsten und offensichtlichsten Quellen von Unverständnis oder Missverständnissen entgegenzutreten.

• Die meisten Behauptungen werden auch bewiesen oder hergeleitet, doch handelt es sich nur im Ausnahmefall um die detaillierte Ausführung eines mathematisch rigorosen Beweises. Zumeist ist es eine recht knappe Darstellung des prinzipiellen Gedankengangs, manchmal unterstützt durch Veranschaulichungen oder physikalische Motivationen. Die Beweisteile, die am ausführlichsten dargestellt sind, sind Rechengänge, wie sie auch für die Praxis des Physikers typisch sind. Manchmal wird ein leichter Spezialfall bewiesen und die dringend benötigte allgemeinere Version schlicht berichtet. Bei Bedarf sind Literaturzitate als Quellennachweis angeführt. Einfache Beweisdetails nachzuliefern ist natürlich für die Studierenden immer eine gute Übung, und an vielen Stellen werden die Leser ausdrücklich hierzu aufgefordert.

• Wo immer auf einen vollständigen Beweis verzichtet wird, wird deutlich erklärt, dass hier eine Beweislücke in Kauf genommen wurde. Im Sinne der begrifflichen Klarheit und der Schulung der mathematischen Kritikfähigkeit erscheint es uns nämlich dringend geboten, dem Leser stets reinen Wein darüber einzuschenken, ob er es gerade mit einem strengen Beweis, einer Beweisskizze oder einer bloßen Plausibilitätserklärung zu tun hat. Was als Beweis bezeichnet wird, kann ein knapp skizzierter Beweis sein, aber kein fehlerhafter.

• Hier und da werden exemplarisch auch mathematische Beweise in aller Strenge und Ausführlichkeit dargeboten, um die Studierenden mit der mathematischen Denk- und Ausdrucksweise zu konfrontieren und ihre Kritikfähigkeit bezüglich mathematischer Vertrauenswürdigkeit einer Argumentation zu schulen. Dies scheint uns in der Tat - zumindest für die begabteren Studierenden - ein wichtiger Aspekt zu sein, angesichts einer schier unübersehbaren Flut von Fachliteratur, bei der junge Wissenschaftler es oft als eine Herausforderung empfinden, zwischen vertrauenswürdigen und weniger vertrauenswürdigen Beiträgen zu unterscheiden.

• Manche weiterführenden Themen, die den Rahmen des Buches sprengen würden, werden durch Verwendung einer modernen mathematischen Sprache, durch frühzeitige Einführung bestimmter Grundbegriffe (z. B. Gruppen) und durch Diskussion von illustrativen Beispielen gezielt vorbereitet. In Bezug auf die Sprache steuern wir allerdings einen Mittelweg und benutzen häufig auch ältere, in der angewandten Literatur verbreitete Sprechweisen, um für die Leser nicht eine unnötige Sprachbarriere zu schaffen.

• Wir möchten der Sprachbarriere zwischen Mathematik und Physik weiter entgegenwirken, indem wir überall dort, wo für ein und dieselbe Sache unterschiedliche Konventionen oder Terminologien benutzt werden, explizit auf diesen Umstand hinweisen und die beiden Terminologien gleichberechtigt nebeneinander stellen.

• Der Basistext ist auch als Nachschlagewerk zur Klausur- und Prüfungsvorbereitung verwendbar. Dies wird zum einen durch ein sehr ausführliches Sachregister erreicht, zum anderen dadurch, dass die nummerierten und kursiv gedruckten Zusammenfassungen i. Allg. für sich alleine verständlich sind und das unverzichtbare Katalogwissen abdecken. Durch die Wahl der Überschriften "Theorem", "Satz", "Korollar" und "Lemma" wird unter den mathematischen Behauptungen eine Reihung bezüglich ihrer Wichtigkeit vorgenommen, die den Anfängern den Überblick über den Stoff erleichtern soll.

Die schon angesprochenen "Ergänzungen", mit denen wir den mathematisch interessierten Leserinnen und Lesern entgegenkommen wollen, sind weniger straff organisiert und sprachlich meist in einem essayistischen Ton gehalten. Sie bieten in loser Folge:

Nachträge von Beweisen oder Beweisschritten mit stärker theoretischem Charakter, interessante Beispiele und Gegenbeispiele, mögliche Verallgemeinerungen (soweit sie physikalisch relevant sind) und Ausblicke auf fortgeschrittene Themen und entsprechende Literaturhinweise.

Die Aufgabensammlung enthält etwa zu 70-80% Aufgaben, bei denen das Schwergewicht auf dem Einüben von Rechentechniken liegt. Theoretische Aufgaben, die helfen, Begriffe zu klären, Beweisschritte nachzutragen, logisches Argumentieren zu üben oder Ausblicke auf zusätzlichen Stoff zu geben, sind durchaus vertreten, aber nur zu 20-30%. Diese Angaben bleiben unpräzise, weil die Grenze zwischen beiden Aufgabentypen fließend ist. Bei den allermeisten Aufgaben, in denen Beweise verlangt werden, bestehen diese Beweise aus intelligenten Rechnungen, wie sie auch in der theoretischen Physik gang und gäbe sind.

Das Material dieses ersten Bandes entspricht, wenn man nur den Basistext berücksichtigt, etwa anderthalb bis zwei Semestern eines vierstündigen Vorlesungszyklus. Es lässt sich in vielerlei Weise umstellen oder auch durch Streichen gewisser Abschnitte auf ein Semester reduzieren. Z.B. ist es denkbar, die Kap. 4 und 8 und/oder die Kap. 10 und 12 wegzulassen, wenn gesichert ist, dass die entsprechenden Themen - also die elementare Theorie der linearen Differenzialgleichungen im ersten Fall, die Vektoranalysis und Integralsätze in zwei und drei Dimensionen im zweiten - den Studierenden im Rahmen ihrer physikalischen Lehrveranstaltungen in befriedigender Weise nahe gebracht werden. Es spricht auch sachlich nichts dagegen, mit linearer Algebra zu beginnen, also etwa die Kap. 5-7 direkt hinter Kap. 1 einzufügen. Uns scheint es jedoch psychologisch günstiger, in den ersten Wochen noch bei Material zu verweilen, das wenigstens teilweise aus der Schule vertraut ist. Unendliche Reihen werden erst recht spät eingeführt (nämlich am Schluss von Kap. 13), und das ist unserer Meinung nach angebracht, weil andere Themen für die Physik vordringlicher sind, aber auch hier ist nach geringer Modifikation eine Verschiebung der entsprechenden Abschnitte in den Teil über Analysis in einer reellen Variablen leicht möglich. Des Weiteren lässt sich Zeit sparen, indem man die Redundanzen des Textes vermeidet. In erster Linie betrifft das die topologischen Grundbegriffe über Mengen und Abbildungen im eindimensionalen euklidischen Raum, die in den Kap. 8-12 überall dort, wo man sie braucht, ad hoc eingeführt werden, obwohl sie dann in den Kap. 13, 14 im Kontext metrischer Räume durchaus systematisch behandelt werden. Die Kap. 13 und 14 sowie ein Großteil von Kap. 15 lassen sich aber vor die Analysis in mehreren Variablen schieben, und dann kann man die provisorische Behandlung besagter topologischer Grundbegriffe einsparen. Allerdings entsteht dabei für die Studierenden eine ausgesprochene Durststrecke, in der sie keine Anwendung und erst recht keine physikalische Motivation für das theoretische Material wahrnehmen können. Es war in erster Linie dieser Umstand, der uns von unserer Anordnung überzeugt hat.

Zusammen mit den nächsten beiden Bänden wird sich ein drei bis viersemestriger Grundkurs ergeben. Für diese Bände sind die folgenden Themen vorgesehen:

• Potenzreihen und komplexe Funktionentheorie,

• Exponentialfunktion von Matrizen und klassische Gruppen,

• Allgemeine Theorie der gewöhnlichen Differenzialgleichungen: Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität, dynamische Systeme, Flüsse und Phasenporträts, Ausblick auf deterministisches Chaos,

• Teilmannigfaltigkeiten des euklidischen Raums, Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen, PFAFF'sche Formen, Integration über Teilmannigfaltigkeiten, Gauss 'scher Integralsatz in beliebiger Dimension,

• Variationsrechnung und mathematische Grundlagen der klassischen Mechanik,

• Orthogonalreihen, insbes. FOURIER-reihen,

• Potenzialgleichung, Wellengleichung, Wärmeleitungsgleichung,

• Reihenansätze für Randwertprobleme und Anfangs-Randwertprobleme, STURM-LIOUVILLE-Probleme, spezielle Funktionen und

• Integraltransformationen und ihre Anwendung auf partielle Differenzialgleichungen.

Die mathematischen Grundlagen von Quantenmechanik und Relativitätstheorie finden in diesem Basiskurs allerdings keinen Platz, sondern sind dem geplanten Aufbaukurs [14] vorbehalten.

Zuletzt bleibt die angenehme Pflicht, allen denjenigen, die dieses Unternehmen mit Rat und Tat unterstützt haben, unseren herzlichen Dank auszusprechen. An erster Stelle sind hier Prof. Dr. Volker Bach und Prof. Dr. Florian Scheck zu nennen, die uns zu diesem Projekt ermutigt und wertvolle Hinweise und Hilfestellungen gegeben haben. Des Weiteren danken wir Herrn Prof. Dr. Nils Blümer und Frau Privatdozentin Dr. Margarita Kraus für ihre Durchmusterung großer Teile des Manuskripts und die daraus resultierenden kritischen Anmerkungen und konstruktiven Vorschläge. Herr stud. nat. Martin Huber hat mit großer Gewissenhaftigkeit die Zeichnungen angefertigt, immer wieder technisch unterstützt von Herrn Dr. Peter Dauscher, und Frau Renate Emerenziani hat sich mit bewundernswertem Fleiß und Sachverstand der mühseligen Aufgabe unterzogen, die handschriftliche Vorlage in LaTeX-Quelltext zu verwandeln. Ihnen allen gilt unser aufrichtiger Dank. Last but not least danken wir den betroffenen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Springer-Verlags, die uns stets mit Verständnis, Geduld, Flexibilität und großer Kompetenz zur Seite gestanden haben.

Mainz, Oktober 2006

Karl-Heinz Goldhorn

Hans-Peter Heinz

Klappentext

Mathematik für Physiker 1

Dieses Buch bietet einen schnellen und effizienten Zugriff auf das mathematische Basiswissen für die Studierenden der Physik und der Ingenieurwissenschaften, und zwar in einer prägnanten, zeitgemäßen Sprache, die von Mathematikern, Physikern und Ingenieuren gleichermaßen verstanden wird. Infinitesimalrechnung einer und mehrerer Variabler, Vektor- und Matrizenrechnung, Grundbegriffe der abstrakten linearen Algebra und der abstrakten Analysis; all diese Themen werden angesprochen und in ausreichender Tiefe behandelt, ohne den Leser/die Leserin durch übertriebene Stoffmenge oder Weitschweifigkeit unnötig zu belasten. Das Buch eignet sich zudem als mathematisches Nachschlagewerk und zur Prüfungsvorbereitung. Eine breite Palette von Übungsaufgaben, die in jahrelanger Lehrpraxis getestet sind, unterstützt den Erwerb der nötigen mathematischen Fähigkeiten. Last not least, bietet das Buch in optionalen Zusatzabschnitten eine Fülle von weiterführenden Informationen und Anregungen für die mathematisch besonders interessierten Leser.

Die Themen Elemente der komplexen Funktionentheorie, gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, Variationsrechnung, Fourierreihen und Fouriertransformation sind für zwei Nachfolgebände vorgesehen.

ISBN 978-3-540-48767-8

Register

Sachverzeichnis

A

Abbildung, 5
- stetige 375
ABEL'sche Gruppe, 7

abgeschlossen, 351
Ableitung, 42
- einer Vektorfunktion 220
- höhere 47, 232
- linksseitige 43
- rechtsseitige 43
- totale 228
Abschluss, 224, 350
absolut integrierbar, 397, 402
absolut konvergent, 357, 397
absolut summierbar, 368
Abstandsfunktion, 349
Addition, 14, 115
Additionstheoreme, 19, 23
adjungierte Abbildung, 176
adjungierte Matrix, 115
Adjunkte, 130
- Ähnlichkeit (von Matrizen), 171

Ähnlichkeitstransformation, 171

Äquivalenz (von Normen), 354
affine Transformationen, 303
affiner Teilraum, 321
algebraische Gleichung, 17
algebraische Vielfachheit, 175
allgemeine Lösung, 86, 92
- eines homogenen Systems von Differenzialgleichungen 201
- eines inhomogenen Systems von Differenzialgleichungen 201
alternierende Reihe, 360
Anfangsbedingung, 86, 91, 198
Anfangspunkt (einer Kurve), 221
Anfangswertaufgabe, 86, 198
angeordneter Körper, 9
Arcus-Cosinus, 20
Arcus-Cotangens, 20
Arcus-Sinus, 20
Arcus-Tangens, 20
Area Cosinus hyperbolicus, 24
Area Sinus hyperbolicus, 24
Area Tangens hyperbolicus, 24
Argument, 16
Assoziativgesetz, 7
Aussagen, 3
Ausschöpfung, 367, 402

B

BANACH-Raum, 353
BAN ACH 'scher Fixpunktsatz, 380
Basis, 143
Basistransformation, 147
bedingt konvergent, 357
Begleitmatrix, 211
Berührpunkt, 350
BERNOULLi'sche Ungleichung, 11
beschränkt, 12, 35, 351, 352
- nach oben 35
- nach unten 35
Betrag, 10, 15
Betrag der Geschwindigkeit, 222
Betragsmetrik, 350
Bewegung, euklidische, 321
bijektiv, 6
Bild
- einer linearen Abbildung 166
- einer Menge 5
eines Elements 5
- Binomialkoeffizient, 10
binomische Formel, 11
Bogenbzw. Flächenelement auf der Einheitssphäre, 404
Bogenelement, 223
Bogenlänge, 223
Bogenlänge des Einheitskreises, 404

C

CAUCHY-Folge, 352
CAUCHY-Kriterium, 357
CAUCHY-Kriterium (für Reihen), 359
CAUCHY-Kriterium (für uneigentliche Integrale), 397
charakteristische Funktion, 295
charakteristisches Polynom, 173
Cosinus hyperbolicus, 22
Cotangens hyperbolicus, 23
CRAMER'sche Regel, 133

D

Defekt (einer linearen Abbildung), 166
Definitionsbereich, 5
Determinante, 123
Determinanten-Multiplikationssatz, 129
Diagonalmatrix, 172
Diffeomorphismus, 266
Differenz (von Mengen), 4
Differenzial, 228
Differenzialgleichung, 85
- gewöhnliche erster Ordnung 86
- lineare 88, 91
- vom EuLER-CAUCHY-Typ 104
Differenzialoperator, 186
Differenzialtopologie, 277
differenzierbar, 42, 220
- fc-mal 47
- partiell 225, 226
- total 228
Dimension, 144
- unendliche 144
Dimensionsformel, 167
direkte Summe, 154, 159, 187
direkte Zerlegung, 154
disjunkt, 4
divergente Minorante, 361
Divergenz, 257
Divergenzsatz, 332
Dreiecksmatrix, 130
Dreiecksungleichung, 151, 350
Durchmesser (eines mehrdimensionalen
- Intervalls), 290
Durchschnitt, 4

E

Eigenvektor, 172
Eigenwert, 172
einfach zusammenhängend, 264
Einheitsmatrix, 115
Einheitswurzeln, n-te, 18
Einschränkung (einer Abbildung), 5
Element (einer Menge), 4
elementare Funktionen, 19, 52
elementare Matrixoperationen, 119
Ellipsoid, 321
endliche geometrische Reihe, 11
Endomorphismus, 166
Endpunkt (einer Kurve), 221
Entwicklung einer Determinante nach Zeilen oder Spalten, 130
erweiterte Matrix, 118
euklidische Metrik, 350
euklidische Norm, 151
euklidischer Raum, 149
euklidisches Skalarprodukt, 152
EULER'sche Gamma-Funktion, 407
EULER'sche Winkel, 184
EULER'sche Zahl, 45
Existenz einer Eins (neutrales Element), 7
Existenz eines inversen Elementes, 7
explizite allgemeine Lösung, 87
Exponentialansatz, 203
Exponentialdarstellung (einer komplexen Zahl), 16
Exponentialfunktion, 20
Extremstelle, 237

F

Fakultät, 10
Feinheit (einer Zerlegung), 68, 291
Fixpunkt, 380
Fixpunktsätze, 380
Flächenelement
- skalares 328
- vektorielles 328
Flächeninhalt, 328
Flächeninhalt der Einheitssphäre, 404
Flächenintegral, 328, 329
Folge, 35, 351
- beschränkte 35, 352
- konvergente 36, 352
monotone 35
Folgenkriterium, 39, 376
Formel von DE MOIVRE, 17
Fortsetzung (einer Abbildung), 5
- FOURIER-Koeffizienten, 153
Fundamentalmatrix, 200
Fundamentalsystem, 91, 200, 211
Funktion, 5
- integrierbare 69, 292
- stetige 39, 225, 375
- (streng) monotone 42
Funktionswert, 5

G

Gamma-Funktion, 407
ganze Zahlen, 8
- GAUSS'scher Integralsatz, 332
Gebiet, 224
Geometrische Reihe, 358
geometrische Vielfachheit, 175
geordnetes Paar, 5 gestufte Form
- einer Matrix 120
- eines linearen Gleichungssystems 120
gleichmäßig stetig, 379
gleichmäßige CAUCHY-Folge, 383
gleichmäßige Konvergenz, 382
Grad (eines Polynoms), 28
Gradient, 226
Graph, 5
GREEN'sche Formeln, 335
GREEN'scher Bereich, 330, 331
Grenzwert, 36, 39, 219, 225, 352, 357
Gruppe, 7
Gruppenaxiome, 7
- harmonische Funktion, 257
- harmonische Reihe, 358

H

Häufungspunkt, 351
Hauptachsentransformation, 180
HERMITE'sch, 177
HESSE'sche Matrix, 238
HILBERT-Raum, 353
hinreichende Bedingung, 3

homogene lineare Differenzialgleichung, 91
homogenes Polynom, 242
Homomorphismus, 165
homotop, 276
Homotopie, 276

I

imaginäre Achse, 15
imaginäre Einheit, 14
Imaginärteil, 15
implizite allgemeine Lösung, 87
implizite Darstellungen (von Kurven und Flächen), 325
implizite Funktionen, Satz über, 256
implizite reguläre Fläche, 326
implizite reguläre Kurve, 326
Induktionsanfang, 11
Induktionsannahme, 11
Induktionsbehauptung, 11
Infimum, 12
Inhalt, 295
injektiv, 6 innerer Punkt, 350
Inneres (einer Menge), 330, 350
Integrabilitätsbedingungen, 258
Integralsatz von GAUSS, 332
Integralsatz von STOKES, 336
integrierbar über S, 295
integrierbare Majorante, 400
Intervall
- abgeschlossenes 38
- kompaktes 38
- mehrdimensionales 290
- offenes 38
Intervalle, 9
invarianter Unterraum, 178
inverse Abbildung (Umkehrfunktion), 6

inverse Funktionen, Satz über, 254
inverse Matrix, 131, 132
inverses Bild, 5 isolierter Punkt, 351
isomorph, 166
Isomorphismus, 166

J

JACOBI-Determinante, 227
JACOBI-Identität (für das Vektorprodukt), 164
JACOBI-Matrix, 226
JORDAN-Block, 189
JORDAN-Inhalt, 295
JORDAN-messbar, 294, 402
JORDAN-Kurve, 221

K

kanonische Basis, 145
kartesisches Produkt, 5
Kegel, 319
Kern (einer linearen Abbildung), 166
Kettenregel, 44, 230
Koeffizientenmatrix, 118
Körper, 7
Körper der komplexen Zahlen, 14
Körperaxiome, 7
Kommutativgesetz, 7

kompakt, 305, 356
komplexe Ebene, 15
komplexe Eins, 14
komplexe Null, 14
komplexe Zahlen, 14
Komponenten (bei direkten Zerlegungen), 154
Komposition (von Funktionen), 6

konjugiert komplexe Zahl, 15
konjugierte Matrix, 115
konservativ, 257
kontrahierend, 380
konvergente Majorante, 361
Konvergenz
- gleichmäßige 382
komponentenweise 355
- von Folgen 36, 352
- von Reihen 357
konvex, 224
konvexe Hülle, 163
Konvexkombination, 163
Koordinatentransformation, 266
- orthogonale 267
kritischer Punkt, 237
KRONECKER-Symbol, 115
Kugelschalen, 405
Kurve
- glatte 221
- orientierte 221
- reguläre 221
- stetige 221
Kurvenintegral, 260

L

Lösung einer Differenzialgleichung, 86
LAPLACE-Gleichung, 257
LAPLACE-Operator, 257
leere Menge, 4
LEiBNiz-Kriterium, 360
Limes, 36, 39, 219, 225, 352
linksseitiger 40
- rechtsseitiger 40
linear abhängig, 91, 117
linear unabhängig, 91, 117
lineare Abbildung, 165
lineare Differenzialgleichung
- Ordnung 88
- Ordnung 91
lineare Hülle, 117
linearer Teilraum, 114
lineares Differenzialgleichungssystem 1. Ordnung, 198
lineares Gleichungssystem
- homogenes 118
- inhomogenes 118
Linearkombination, 91, 117
linksstetig, 40
Liouvi-LLE'sche Formel, 200
Lösung einer Differenzialgleichung, 85
lokales Maximum, 237
lokales Minimum, 237

M

Majoranten-Minoranten-Kriterium, 398
Majorantenkriterium, 361
Maßstabsfaktor, 267
Matrix
- m x n114
- HERMiTE'sche 177
- HESSE'sche 238
- JACOBI 226
- quadratische 115
- reguläre bzw. singuläre 132
- symmetrische 177
Matrixlösung, 198
Maximum, 10, 12
Maximummetrik, 350
Menge, 4
- abgeschlossene 351
- beschränkte 351
- kompakte 356
messbare 294, 402
- offene 351
- vom JORDAN-Maß Null 294
Methode der sukzessiven Approximation, 380
Metrik, 349
- euklidische 350
metrischer Raum, 349
Minimum, 10, 12
Mittelwertsatz
- der Differenzialrechnung 46, 236
- der Integralrechnung 70, 296
- zweiter 59
monoton wachsend (fallend), 35
monotone Funktion, 42
Multiindex, 234
Multiplikation, 14

N

nach oben (unten) beschränkt, 12
natürliche Zahlen, 8
natürlicher Logarithmus, 22
negativ definit, 238
negativ semidefinit, 238
negativer Teil (einer Funktion), 402
Norm, 151
- euklidische 151
normal, 177
Normalableitung, 335
Normalen-Einheitsvektor, 325
Normalenvektor, 324
Normalgebiet, 302, 329, 331
Normaxiome, 151
normierter linearer Raum, 151
Normmetrik, 350
notwendige Bedingung, 3
Nullfolge, 37
Nullmatrix, 115
Nullmenge, 294

O

obere (untere) Schranke, 12
Obersumme, 291
offen, 224, 351
Operatornorm, 385
Ordnung
- einer Differenzialgleichung 85
- eines Multiindex 234
Orientierung, 341
orthogonal, 152
orthogonale Gruppe, 181
orthogonale Koordinaten, 267
orthogonales Komplement, 154
Orthogonalisierungsverfahren, 153
Orthogonalsystem, 152
Orthonormalbasis, 152
Orthonormalsystem, 152

P

Parallelepiped, 305
Parallelogrammgleichung, 162
Parameterdarstellung
- der Tangentialebene 324
- einer Fläche 323, 324
- einer Kurve 221
Partialbruchzerlegung, 76
partiell differenzierbar, 225, 226
partielle Ableitung, 225
partielle Integration, 71
Permutation, 126
- gerade 127
- ungerade 127
Polardarstellung, 16
Polarisationsgleichungen, 162
Polarkoordinatenabbildung, 255
positiv definit, 193, 238
positiv semidefinit, 194, 238
positiver Teil (einer Funktion), 402
Potenzregeln, 13
Prähilbertraum, 149
Prinzip von CAVALIERI, 300
Produktintegration, 71
Produktregel, 44
Projektionsoperator, 188
Projektor, 187, 194
punktweise CAUCHY-Folge, 383
punktweise konvergent, 381

Q

quadratische Form, 238
Quantoren, 6 quellenfrei, 257
Quotientenkriterium, 362
Quotientenregel, 44

R

Rand, 224, 294, 350
Randpunkt, 224, 294, 350
Rang
- einer linearen Abbildung 166
- einer Matrix 134
rationale Zahlen, 8
- Realteil, 15
rechtsstetig, 40
reelle Achse, 15
reelle Zahlen, 9 reguläre Fläche, 328
reguläre Matrix, 132
Reihe
- absolut konvergente 357
- alternierende 360
- divergente 357
- konvergente 357
- (un)bedingt konvergente 357
Richtungsableitung, 250
RIEMANN-Integral, 292
RIEMANN-Integral, 69
RIEMANN-integrierbar, 69, 292
RIEMANN'sche Zwischensumme, 69, 291
Rotation, 257
rotationssymmetrisch, 404

S

Sattelpunkt, 237
Satz über implizite Funktionen, 256
Satz über inverse Funktionen, 254
Satz vom Maximum, 378
Satz von EULER, 285
Satz von H. A. SCHWARZ, 233
Satz von ROLLE, 46
Satz von STOKES, 336
Satz von TAYLOR, 47, 236
Schraubenlinie, 221
SCHWARZ 'sche Ungleichung, 150
selbstadjungiert, 177
Signum, 127
Simplex, 318
Standard318
singuläre Matrix, 132
Singularitätentheorie, 237
Sinus hyperbolicus, 22
skalares Flächenelement, 328
skalares Potenzial, 257
skalares Vielfaches eines Vektors, 113
Skalarfeld, 257
Skalarmultiplikation, 113, 115
Skalarprodukt, 149
- euklidisches 152
Spaltenvektoren, 114
Spatprodukt, 155
spezielle unitäre Gruppe, 181
Spur, 115
Stammfunktion, 70, 257
Standardbasis, 145
sternförmig, 264
stetig, 39, 40, 220, 225, 375
stetig differenzierbar, 226
stetig differenzierbar, k-mal, 47

STOKES 'scher Integralsatz, 336
streng monotone Funktion, 42
Stützstellenmenge, 68, 291
Substitutionsregel, 71
Summe
- einer unendlichen Reihe 357
- von Vektoren 113
Summenmetrik, 350
Superpositionsprinzip, 91
Supremum, 12
surjektiv, 6

T

Tangens hyperbolicus, 23
Tangenteneinheitsvektor, 222, 223
Tangentenvektor, 222, 324
Tangentialraum, 324
TAYLOR-Formel, 47, 236
TAYLOR-Polynom, 47
TAYLOR'scher Rest, 48
Teilfolge, 356
Teilmenge, 4
total differenzierbar, 228
totale Ableitung, 228
totales Differenzial, 228
Transformationsformel, 306
Transformationsmatrizen, 147
transponierte Matrix, 115
Transposition, 126
Tripel, 5
triviale Lösung, 118
Tupel (n-Tupel), 5

U

Umgebung, 61, 254, 350
unbedingt konvergent, 357
unbestimmtes Integral, 71
uneigentliche Integrale, 395
unendliche Reihe, 357
unitär, 177
unitäre Gruppe, 181
unitärer Raum, 149
Unterräum, 114
- von einem Vektorsystem aufgespannter 117
Untersumme, 291
Urbild, 5

V

Vektorfeld, 257
vektorielles Flächenelement, 328
Vektorpotenzial, 258
Vektorprodukt, 155
Vektorraum, 113
Vektorraum-Endomorphismus, 166
Vektorraum-Homomorphismus, 165
Vektorraum-Isomorphismus, 166
Vektorraumaxiome, 113
Vereinigung, 4
Vielfachheit
- einer Nullstelle 29, 61
- eines Eigenwerts 175
Vierecksungleichung, 371
vollständig, 353
Volumen, 295
- eines mehrdimensionalen Intervalls 290

W

wegunabhängig, 261
Wellengleichung, 251
Wertebereich, 5
Windungszahl, 277
Wirbelfeld, 258
wirbelfrei, 258
WRONSKi-Determinante, 92, 198
Wurzel, n-te, 13, 18
Wurzelkriterium, 362

Z

Zahlen
- ganze 8
- komplexe 14
- natürliche 8
- rationale 8
- reelle 9
Zahlengerade, 9
Zeilenvektoren, 114
Zerlegung, 68, 291
- direkte 154
Zeta-Funktion, 415
zusammenhängend, 224
zweimal differenzierbar, 47
Zwischensumme, 69, 291
Zwischenwertsatz, 41

Autor

Dr. Karl-Heinz Goldhorn

Geboren 1941 in Traben-Trarbach. Ab 1960 Studium der Mathematik und Physik an der Univ. Mainz bei E. Hölder und S. Hildebrandt, 1971 Promotion an der Univ. Mainz. Von 1967 bis 1972 Assistententätigkeit, von 1972 bis 2003 Akad. Rat/Oberrat/Direktor am Fachbereich Mathematik der Univ. Mainz

Prof.-Dr. Hans-Peter Heinz

Geboren 1947 in Idar-Oberstein. 1966-1971 Studium der Mathematik und Physik an der Johannes-Gutenberg-Universität Mainz. 1972-1974 Auslandsaufenthalt an der University of Washington, Seattle, USA. Promotion 1975 bei N. W. Bazley an der Universität zu Köln. Ab 1975 Assistent, später wiss. Angestellter am Fachbereich Mathematik der Universität Mainz. Forschungsschwerpunkte in nichtlinearer Funktionalanalysis und nicht-linearen Randwertproblemen der mathematischen Physik. 1987 Habilitation für Mathematik. 1995 Ernennung zum apl. Professor.

Reviews

Aus den Rezensionen: "... Der Band enthält kompakt und klar das, was für den Studierenden der Physik nötig ist an mathematischem Wissen aus den Bereichen Analysis in einer oder mehreren reellen Variablen, linearer Algebra und Differentialgleichungen sowie Grenzprozessen. Die Autoren haben so einen gelungenen Kompromiss zwischen eher Mathematik-ferner, experimenteller und auf die Mathematik essenziell angewiesener theoretischer Physik gefunden, für den der Markt bisher kein vergleichbares Angebot bereit hielt." (http://www.buchkatalog.de)   "... einen schnellen und effizienten Zugriff auf das mathematische Basiswissen für die Studierenden ... und der Ingenieurwissenschaften, und zwar in einer prägnanten, zeitgemäßen Sprache, die von Mathematikern, Physikern und Ingenieuren gleichermaßen verstanden wird. ... Das Buch eignet sich ... als mathematisches Nachschlagewerk und zur Prüfungsvorbereitung. Eine breite Palette von Übungsaufgaben, die in jahrelanger Lehrpraxis getestet sind, unterstützt den Erwerb der nötigen mathematischen Fähigkeiten. Darüberhinaus bietet das Buch in optionalen Zusatzabschnitten eine Fülle von weiterführenden Informationen und Anregungen für die mathematisch besonders interessierten Leser ..." (Olaf Ninnemann, in: Zentralblatt MATH, 2009, Vol. 1152) "... Zahlreiche nützliche Hinweise zur Bearbeitung vermindern signifikant die Gefahr, dass man auf zufällige Geistesblitze zum Auffinden diverser Tricks angewiesen bleibt. Insgesamt ist ... dieses Werks für Studierende der Physik, aber auch für Physiker-Innen im Forschungsprozess ... ein wertvolles Werkzeug entstanden, dessen Einsatz in den genannten Situationen nur wärmstens empfohlen werden kann." (M. Grosser, in: Monatshefte für Mathematik, April/2011, Vol. 162, Issue 4, S. 508)