Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Vorwort

In diesem Band behandeln wir die Theorie und elementare Lösungsmethoden für wichtige Grundtypen von Differentialgleichungen der Physik und stellen mathematische Grundlagen für die Quantenmechanik bereit. Zielgruppe sind Studierende und Absolventen der Physik und der Mathematik, die sich mit Methoden und Ergebnissen der mathematischen Physik vertraut machen wollen.

Für die zahlreichen hier behandelten Problemstellungen und Methoden gibt es über die Literatur verstreut gute und detaillierte Darstellungen, deren gezielte Nutzung für Studierende aber oft einen großen Aufwand bedeutet. Wir wollen mit diesem Werk eine Übersicht geben und eine Orientierungshilfe bieten, indem wir wichtige Methoden hervorheben und die leitenden Grundgedanken herausarbeiten, die Theorie aber nicht bis in die letzten Details verfolgen.

Bei der Organisation dieses Bandes ließen wir uns von folgenden Gesichtspunkten leiten: Es sollte einen Leserkreis unterschiedlicher mathematischer Vorbildung angesprochen werden. Die Möglichkeit von Quereinstiegen sollte so gut es geht geboten und erleichtert werden. Daher verbot es sich, die benötigten umfangreichen Hilfsmittel aus der Analysis an den Anfang zu stellen, was zur Folge gehabt hätte, daß die Leser erst nach mehr als 120 Seiten bei den Kernthemen angekommen wären.

Dementsprechend sind wir stufenweise vorgegangen. Die ersten drei Kapitel setzen nur Kenntnisse aus Band 1 voraus. Sie führen in die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen ein und enthalten partielle Differentialgleichungen, die sich mit elementaren Methoden behandeln lassen. Hierbei geht es um die schwingende Saite, die Wärmeleitung in einem Draht endlicher Länge, die stationäre Wärmeverteilung in der Kreisscheibe und nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung. Erst danach wird der für mehrdimensionale Differentialgleichungsprobleme benötigte mathematische Apparat in einem eigenen Kapitel bereitgestellt: Übersicht über die Lebesgue-Integration, Hilberträume, Glättung von Funktionen, Integralsätze, Fouriertransformation, schwache Lösungen und Distributionen. Da die dort entwickelten Hilfsmittel in den folgenden Kapiteln nicht gleich von Anfang an und auch nicht alle zugleich verwendet werden, empfehlen wir den Lesern, sich diese erst bei Bedarf anzueignen; die benötigten Vorkenntnisse werden jeweils zu Beginn eines Paragraphen genannt. Der Wegweiser auf der folgenden Seite kann der groben Orientierung dienen.

Bei diesem Aufbau waren Brüche nicht zu vermeiden. So werden z.B. die das Lebesgue-Integral betreffenden Beweise erst später im Rahmen einer allgemeinen Integrationstheorie nachgeholt, und für die Eigenwerttheorie des Laplace-Operators in § 15 wird auf einen Satz aus dem Schlußkapitel vorgegriffen.

Die meisten Beweise sind ausgeführt, um den logischen Zusammenhang der jeweiligen Theorie erkennbar zu machen und um dem Leser die Möglichkeit zu geben, sich einschlägige Argumentations- und Arbeitsweisen anzueignen. Wo Beweise weggelassen werden, haben wir uns bemüht, den Zugang zur Literatur gezielt zu erleichtern.

Bei der Fülle des Materials war es unvermeidlich, daß sich in die beiden ersten Auflagen einige Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen haben, meistens leicht aus dem Kontext als solche zu erkennen. Auf einige Irrtümer und Beweislücken haben uns Kollegen und Studierende aufmerksam gemacht, denen wir für ihre Hinweise herzlich danken. Neben den notwendigen Berichtigungen haben wir für die dritte Auflage nur an wenigen Stellen größere Änderungen vorgenommen, um den gedanklichen Aufbau durchsichtiger zu machen.

Wir danken den Herren J. Hellmich, J. Hertle, R. Honegger und B. Kümmerer dafür, daß sie uns in vielen Diskussionen zu Fragen der Quantenmechanik beraten haben. Unser ganz besonderer Dank gilt Ralph Hungerbühler für die drucktechnische Ausgestaltung und die Anfertigung der Figuren. Ohne seine Sachkenntnis, seinen Einsatz, sein Verständnis und seine Geduld hätte dieser Band nicht entstehen können.

Tübingen, Oktober 2007

H. Fischer, H. Kaul

Klappentext

Helmut Fischer, Helmut Kaul

Mathematik für Physiker

Wie im ersten Band ihres Werkes stellen die Autoren die mathematischen Grundlagen der Physik in gut zugänglicher und ansprechender Form dar. Das Buch eignet sich sowohl für das Selbststudium als auch zur Begleitung von Vorlesungen.

Der Inhalt

• Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
• Spezielle Funktionen der mathematischen Physik
• Einführung in die qualitative Theorie
• Separationsmethoden für partielle Differentialgleichungen
• Fourierreihen und integrale
• Hilberträume und LP-Räume
• Distributionen
• Rand- und Eigenwertprobleme für den Laplace-Operator
• Wärmeleitungsgleichung und Wellengleichung
• Wahrscheinlichkeit, Maß und Integral
• Lineare Operatoren im Hilbertraum
• Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren
• Bezug der Spektraltheorie zur Quantenmechanik

Die Zielgruppen

Studierende und Absolventen der Physik und Mathematik an Fachhochschulen und Universitäten

Die Reihe

Teubner Studienbücher Mathematik

Lehrbuch

Mathematik

ISBN 978 3 8351 0233-0

www.teubner.de

Register

Index

A

abgeschlossene Operatoren, 649
Ableitung
- schwache, 361
abschließbare Operatoren, 648
Abschluß eines Operators, 647
abschnittsweis glatt, 140
absolutstetig, 219
Adjungierte, 659
adjungierter Operator, 557, 659
- d'Alembert
- Lösungsformel, 152, 442
Reduktionsverfahren, 72
- d'Alembertsche Lösungsformel Saitenschwingung, 177
- d'Alembert Operator, 429
Anfangs-Randwertproblem schwingende Saite, 134
- Wärmeleitungsgleichung, 401
- Wellengleichung, 453
Anfangswertproblem, 28
als Integralgleichung, 30 für DG n-ter Ordnung, 29 für die Wärmeleitungsgl., 401 in Fixpunktform, 30
approximatives Punktspektrum, 572, 666
asymptotisch stabil, 117
Atlas, 262
attraktiv, 117
Außenraum, 326
Autonome Systeme, 31, 40, 98
avancierte Potentiale
- der Wellengleichung, 453

B

Banachraum, 215
Bernoulli-Experiment, 477
beschränkter Operator, 547
Besselfunktionen, 94, 384
Besselsche DG, 71, 93
Besselsche Ungleichung, 236
Betrag eines Operators, 590
Bicharakteristiken
- einer char.
Hyperfiäche, 438
Bildmaß, 535
Binomialverteilung, 478
Borelmengen, 494
Brennpunkt (char. Projektion), 176

C

C^fc -Differenzierbarkeit auf Q, 255
C^r -berandet, 273
Cauchy-Problem, 172, 401
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für positive Operatoren, 562
Cayley-Hamilton, 65
Cetaev (Instabilitätssatz), 123
Charakteristik, 174, 185
Charakteristikenmethode, 186
charakteristische DG, 174, 184
charakteristische Gleichung, 83
charakteristische Hyperfiäche, 433
charakteristische Projektion, 174, 185
charakteristische Umgebung, 175

D

Dichteoperator, 638
Differentialgleichung
- explizite, 28
- implizite, 28
- implizite partielle 1.
Ordnung, 183
- quasilineare 1.
- Ordnung, 172
Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung, 199
Differenzierbarkeit
- auf Untermannigfaltigkeiten, 264
Dirac-Distribution, 307, 309
Dirac-Maß, 481, 512
direkte Summe, 62, 611
Dirichlet
- Satz von, 140
Dirichlet-Integral, 359
Dirichlet Problem, 325
Dirichletsches Eigenwertproblem, 372
Dirichletsches Randwertproblem, 20
disjunkte Darstellung, 510
diskrete Verteilung, 481
diskretes Spektrum, 683
diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß, 481
dissipativ, 103
Distribution, 307
- Ableitung, 312
- reguläre, 307
- singulare, 308
- temperierte, 319
Drehimpulsoperatoren, 722
Duhamelsches Prinzip
- Wärmeleitungsgleichung, 414
- Wellengleichung, 451
- Eikonalgleichung, 192, 195
- Einbettungssatz
- von Morrey-Sobolew, 369
- Eindeutigkeitssatz
- für gewöhnliche DG, 34

E

eingesperrtes Teilchen, 627, 657, 687
Elementarfunktionen, 205, 509
Energie (Wellengleichung), 431
Energieerhaltungssatz, 102, 432
Erhaltungsgröße, 102
erstes Integral, 102, 124
Erwartungswert, 470, 474, 475, 483, 706, 708
- transformierter Zufallsgrößen, 484, 535
erzeugende Funktion, 76
erzeugte cr-Algebra, 494
Eulersche DG, 73, 81
Eulersche DG (Strömungsmechanik), 22
Existenz- und Eindeutigkeitssatz gewöhnliche DG, 37
- partielle DG 1.
- Ordnung, 187
- quasilineares Cauchy-Problem, 175
explizite DG n-ter Ordnung, 28
explizite Differentialgleichung, 28

F

Faltung, 244
Faltungssatz (Fouriertransf.), 292, 296
fast überall, 204, 523
- u-fast überall, 523
Fixpunktform einer DG, 30
Fluß
- globaler, 131
Flußabbildung, 128 formal adjungierter Differentialoperator, 275, 277
Formen und Operatoren, 560, 689
Fortsetzungssatz, 38
für autonome Systeme, 40
für Prämaße, 500
Fourierintegral, 295
Fourierkoeffizienten, 139
- verallgemeinerte, 235
Fourierreihe, 139, 236, 372
Fouriertransformation
- auf .y"(Rⁿ), 322
- auf , y(Rⁿ), 294
- auf L² (Rⁿ), 298
- auf L^l (Rⁿ), 286
Fouriertransformierte, 286
Frobenius-Methode, 81
Fundamentallemma, 233
- der Variationsrechnung, 252
Fundamentalmatrix, 44, 55
Fundamentalsystem, 44, 55, 68
Funktional
- lineares, stetiges, 230
Funktionalkalkül
- allgemeiner, 614, 615, 704
für T, 703
für die Klasse T, 592
für Polynome, 580
für stetige Funktionen, 582, 703

G

Gauß-Verteilung, 490
Gaußsche DG, 97
Gaußscher Integralsatz, 273
Gen, 650
Genbereich, 650
Gesetz der großen Zahl, 489
Gibbsches Phänomen, 141
Glättung, 246
Gleichgewichtspunkt, 100
- asymptotisch stabiler, 117
- attraktiver, 117
- hyperbolischer, 104
- instabiler, 117
- stabiler, 117
globaler Fluß, 131
Gramsche Determinante, 265, 279
Gramsche Matrix, 265, 279
Graph eines Operators, 645
Graphennorm, 649
Greensche Formeln
- verallgemeinerte, 277
Greensche Funktion
- erster Art, 333
- zweiter Art, 333, 354
Greensche Identitäten, 275
Grenzwertsatz
- de Moivre-Laplace, 490
- zentraler, 491
Gronwallsches Lemma, 33
Grundlösung, 315
- Laplace-Operator, 330
- Wärmeleitung, 403

H

Höldersche Ungleichung, 216
halbbeschränkter Operator, 681
Halbfluß, 131
Hamilton-Cayley, 65
Hamilton-Funktion, 102, 191
Hamilton-Operator, 473, 657
Hamiltonsches System, 102, 124
Hankelfunktionen, 95
harmonische Funktionen, 164, 327
harmonischer Oszillator (QM), 688
Harnacksche Ungleichung, 171
Hauptsatz (Lebesgue), 220
Heisenbergsche Unschärferelation, 707
Hermite-Funktionen, 300, 688
Hermite-Polynome, 77, 300
Hermitesche DG, 71, 77, 300
Hilbertraum, 221
Hilbertraumisomorphismus, 222
Hilbertscher Folgenraum, 223
Hilbertsches Lemma, 254
Huygenssches Prinzip
- geometrische Optik, 193
- Wellengleichung, 448
hyperbolischer Gleichgewichtspunkt, 104
hypergeometrische DG, 97

I

ideale Messungen, 640
implizite Differentialgleichung, 28
Impulsoperatoren, 287, 473, 475, 642, 656, 675, 678, 717
Indexgleichung, 83
Innenraum, 326
instabil, 117
Integral
- erstes, 102
integraldefinierende Folge, 519
Integralgleichung, 358
Integralkurven, 100, 438
Integraloperatoren, 357, 551
Integration
- auf Untermannigf., 266
- partielle, 220, 274
invariant
- unter einem Fluß, 131
invarianter Teilraum, 701
Invarianz des Laplace-Operators unter
- Bewegungen, 327
Invertierbar keit
in Y(H), 556
Isomorphiesatz für Hilberträume, 240
Isomorphismus
- unitärer, 222

J

Jordansche Normalform, 66

K

kanonischen Gleichungen, 192
Karte, 259
Kegelbedingung, äussere, 350
Kelvin-Transformation, 343
klassische Lösung, 304
kleine Störung, 692
Knickstelle, 139
Kommutator, 617
kompakte Operatoren, 358, 617, 684
kompatible Observable, 727
kontinuierliches Spektrum, 568, 665
Konvergenz
- M-f.ü., 518
- im Distributionensinn, 309
- im Quadratmittel, 214
- in der Operator norm, 562
- schwache, 563
- starke, 562
Koordinatentransformation, 261, 279
Kosinusreihen, 146
kritischer Punkt (Vektorfeld), 100
Kugelfunktionen, 384

L

L² -Funktion, 213
LP-Raume, 215
Lösung
- maximale, 37
Lagrange-Funktion, 191
Lagrange-Identitat, 72
Laguerre-Polynome, 91
- zugeordnete, 91
Laguerresche DG, 90
Laplace Beltrami-Operator, 393
Laplace-Gleichung, 20, 326
Laplace-Operator, 325, 326, 690
- auf dem Rⁿ , 680
- auf dem Rⁿ , 673
- in Kugelkoordinaten, 280, 391
- in Polarkoordinaten, 164
Lebesgue
- Satz von, 528
Lebesgue-Integral, 206, 530
Lebesgue-Maß, 203, 503
Legendre-Funktionen
- zugeordnete, 88, 393
Legendre-Polynome, 76, 239, 393
Legendresche DG, 71
- allgemeine, 87
Leibnizregel, 245
Lemma von du Bois-Reymond, 252
linear beschränkte Systeme, 42
lineare DG
- n-ter Ordnung, 67
- mit konstanten Koeffizienten, 68
lineare Systeme
- gewöhnlicher DGn, 31, 55
- komplexe Lösungen, 59
- konstante Koeffizienten, 58
linearisierte DG, 48
Linearisierungssatz
- von Grobman-Hartman, 104
Linksshift, 550
Lipschitz-Bedingung, 31
Ljapunow-Funktion, 121
lokalintegrierbar, 217

M

möglicher Beobachtungswert, 504
Maß, 496
- cr-endliches, 496
- endliches, 496
Majorantenkriterium, 524
majorisierte Konvergenz, 528
Mannigfaltigkeit
- orientierbare, 263
maximal symmetrisch, 646
maximale Lösung, 37
Maximumprinzip
- Dirichlet-Problem, 170
- für holomorphe Funktionen, 340
- Laplace-Operator, 327
- strenges, 327, 339, 407
- subharmonische Funktionen, 339
- Wärmeleitung, 161, 404, 405
Maxwellsche Gleichungen, 20
meßbar
- Lebesgue- 203
meßbare Funktionen, 205, 514, 519
meßbare Menge, 496, 508
Messung
- ideale, 640
- scharfe, 602, 727
Minimalpolynom, 61
Minkowskische Ungleichung, 216
Mischung von Wahrscheinlichkeitsmaßen, 505
Mittelwerteigenschaft
- harmonischer Funktionen, 338
- u-Integral, 511, 519, 520
- u-integrierbar, 519
- uMajorante, 524
- uNullmenge, 502
Multiindex, 244
Multiplikatordarstellung, 607, 613, 699
Multiplikatoren
- auf e² , 552, 646
- auf L² (£}, //), 553, 647

N

Navier-Stokes-Gleichungen, 22
Neumann-Problem, 20, 159, 325
- für Außenräume, 354
- für Innenräume, 353
Neumannfunktionen, 95
Neumannsche Reihe, 575
Neumannsches Eigenwertproblem, 373
Newton-Potential, 330
nichtentartetes Spektrum, 605, 606
Normalgebiet, 273
Normalverteilung, 491
Normkonvergenz (Operatoren), 562
Normschranke, 547
Nullmenge, 204

O

Oberflächeninhalt, 267
Observable, 473, 723
- kompatible, 727
ONS
- vollständiges, 236, 237
Operator
- abgeschlossener, 649
- abschließbarer, 648
- adjungierter, 557, 659
- beschränkter, 547
- halbbeschränkter, 681
- kompakter, 358, 617, 684
- linearer, 644
- mit diskretem Spektrum, 683
- positiver, 562, 589
- selbstadjungierter, 661, 676
- symmetrischer, 558, 644
- von endlichem Rang, 617 -wesentlich selbstadjungierter, 680
Orbit, 100
orientierbare Mannigfaltigkeit, 263
Orientierung, 263
orthogonale Projektion, 226
orthogonaler Projektor, 228
Orthogonalreihe, 234
Ortsoperatoren, 287, 473, 475, 642, 717

P

Parameterintegrale, 210
Parametertransformation, 261
Parameterumgebung, 259
Parametrisierung
- einer Untermannigf., 259
Parseval-Plancherel-Formel, 298
Parsevalsche Gleichung, 236
partielle Integration, 220, 274
Pendel, 103, 116, 130
periodische Standardfortsetzung, 140
Phasenbild, 101
Phasenportrait, 101
Phasenraum, 100
Picard-Iterierte, 34
Picard-Lindelöf, 34
- Fehlerabschätzung, 36
Poincare-Ungleichung, 363
Poisson
- Gleichung, 20, 326
- Integral, 167, 336
- Kern, 167, 336
- Verteilung, 479
Poissonsche Darstellungsformel (Wellengleichung), 447
Polarisierungsgleichung
- für Formen, 560
- für Operatoren, 561
Polarzerlegung, 590
polynomial beschränkt, 293
positive Operatoren, 562, 589
Potential
- der doppelten Schicht, 353, 355
- der einfachen Schicht, 353, 355
Potentialtheorie, 355
P, Q-Gesetz, 287, 294
Prämaß, 499
Projektor
- orthogonaler, 228
Punktspektrum, 568, 665

Q

quadratische Form, 560
Quantisierung, 473, 722, 723
quasilineare DG, 172
quasilineare DG 1.
Ordnung, 172

R

Radon-Nykodym, 532
Randwertproblem
- erstes, 325
- zweites, 325
Rayleigh-Prinzip, 377, 622
Rechtsshift, 550
regulär im Unendlichen, 344
regulärer Randpunkt, 272
Regularisierung, 246
Regularitätssatz (Dirichlet-Problem) 370
relative Häufigkeit, 481
Rellichscher Auswahlsatz, 364
Resolvente, 568, 576, 664, 669
Resolventenmenge, 568, 664
Restspektrum, 568, 665
retardierte Potentiale
- der Wellengleichung, 452
Riemann Stieltjes Summen, 533
Riesz Frechet
- Darstellungssatz, 231
Rodrigues Formel, 76, 78, 91

S

Satz von
- Beppo Levi (monotone Konvergenz), 208, 525
- Cayley Hamilton, 65
- der gleichmäßigen Beschränktheit, 564
- der monotonen Konvergenz, 525, 566
- Dirichlet, 140
- Fischer Riesz, 214, 539
- Fubini, 211
- Hellinger und Toeplitz, 646
- Hubert-Schmidt, 622
- Kato-Rellich, 693
- Lebesgue (kleiner), 529
- Lebesgue (majorisierte Konvergenz), 208, 528
- Radon-Nykodym, 532
Stone, 718
- Tietze-Uryson, 256
- Tonelli, 212
scharfe Messung, 602, 727
schnellfallende Funktionen, 292
Schrödinger-Gleichung, 24, 467, 687
Schrödinger-Operator, 691, 697
schwach meßbar, 416
schwache Ableitung, 361
schwache Konvergenz, 563
schwache Lösung, 303
- Dirichlet -Problem, 365, 370
- Wellengleichung, 455
schwache Losung
- Wärmeleitungsgleichung, 420
schwache Singularitäten
- lineare DG 2. Ordng., 80
Stoßwellen, 436
Schwartz-Raum, 292
schwingende Saite, 15, 133, 148
- inhomogene, 629
selbstadjungierte Operatoren, 661, 676
selbstadjungierter Differentialoperator, 275
separabler Raum, 218, 544
Separationsmethode, 70, 134, 150
Sesquilinearform, 560
- o--Additivität, 203, 496
- a Algebra, 203, 493
- erzeugte, 494
singulare DG 2. Ordnung, 14
Singularitäten
schwache, 80, 437
Sinusreihen, 146
Sobolew-Räume, 362
spektraler Abbildungssatz, 580, 584
spektraler Teilraum, 701
Spektralmaß, 597, 705, 708
Spektralprojektor, 701
Spektralsatz
- beschränkte symmetrische Op., 599
- kompakte symmetrische Op., 622
selbstadjungierte Op., 705
Spektralschar, 596, 705
Spektralzerlegung, 598, 702
Spektrum, 568, 664
- approximatives Punkt- 572, 666
- diskretes, 683
- in der Physik, 470, 574
- kontinuierliches, 568, 665
- nichtentartetes, 605, 606
- Punkt , 568, 665
- Rest , 568, 665
- und mögliche Meßwerte, 726
sphärisches Mittel, 444
spherical harmonics, 384
Sprungstelle, 139
Spur, 633, 635
Spurklasse, 633
Störung, kleine, 692
stückweis glatt, 139
stückweis stetig, 139
stabil, 117
Stabilitätssatz
- Eigenwertkriterium, 118
- Ljapunow, 122
Standardabweichung, 486
Standard Voraussetzung für GDG, 30
starke Konvergenz, 562
stationärer Punkt (Vektorfeld), 100
statistisches Gemisch, 637, 639
Stetigkeit von Maßen, 497
Stoßwelle
schwache, 436
Streuung, 486, 535
Sturm-Liouville-Form, 71
Subadditivität von Maßen, 498
subharmonisch, 339
Summe
- direkte, 611
Superpositionsprinzip, 148
support, 242
symmetrischer Operator, 558, 644

T

Tangentialraum, 264
Teilraum
- A invarianter, 701
temperierte Distribution, 319
Testfunktion, 242
Tietze-Uryson, 256
Träger, 242, 510
Transformationssatz
- für Bildmaße, 535
Transformationssatz für Integrale, 212
Transversalitätsbedingung, 187
Tschebyschewsche Ungleichung, 487
Tschetajew (Instabilitätssatz), 123

U

Umgebung
- charakteristische, 175
Umkehrsatz (Fouriertransformation), 292, 294, 296
unitär äquivalente Operatoren, 222, 614
unitäre Abbildung, 221
unitäre Gruppe, 468, 587, 685
unitärer Isomorphismus, 222
unitäre Gruppe, 715
Untermannigfaltigkeiten des fftⁿ , 257

V

Varianz, 486, 535, 706, 708
Variation der Konstanten, 57
Variationsgleichung, 48
Vektor
- zyklischer, 606
vertauschbare Operatoren, 616, 730
Verteilung, 504
- der Beobachtungswerte, 725
- diskrete, 480
- mit Dichte, 490, 491, 532
- und Verteilungsfunktion, 506
Verteilungsfunktion, 505
vollständiges ONS, 236, 237
Vollständigkeit von LP(ft, /x), 539
Volumenpotential, 352, 355

W

Wärmeleitungsgleichung, 19, 401
Wärmeleitungskern, 403
Wärmeleitungsproblem im Draht, 156
in der Kreisscheibe, 164
Wahrscheinlichkeitsmaß, 497, 504
Wahrscheinlichkeitsraum, 497
Weierstraßscher Approx.satz, 148
Wellenfronten und Strahlen, 441
Wellenfunktion, 467
Wellengleichung, 18, 442, 449
- avancierte Potentiale, 453
- inhomogene, 154, 451
- retardierte Potentiale, 452
wesentlich selbstadjungiert, 680
Wronski-Determinante, 56, 68

Z

Zerlegungssatz
- für Hilberträume, 227
- Minimalpolynom, 62
Zufallsvariable, 536
Zustand, 466, 472, 724
Zustandsvektor, 472
zwiebelweise Integration, 270
zyklischer Teilraum, 608
zyklischer Vektor, 606

Autor

Dr. rer. nat Helmut Fischer

Akad. Oberrat i. R., geb. 1936 in Wuppertal. Ab 1955 Studium der Mathematik und Physik, Universität Tübingen bei E. Kamke, H. Wielandt und W. Braunbek. Angestellten- und Assistententätigkeit am Mathematischen Institut der Universität Tübingen, 1967 Promotion bei H. Wielandt. 1969 - 2001 Rat/Oberrat am Mathematischen Institut der Universität Tübingen.

Prof. Dr. rer. nat Helmut Kaul

Geboren 1936 in Gleiwitz. 1958-1965 Studium der Mathematik und Physik, Universität Göttingen und FU Berlin bei H. Grauert, K.-P. Grotemeyer, W. Klingenberg und S. Hildebrandt. 1970 Promotion, Universität Mainz. 1971-1977 Wiss. Rat und Professor, GHS Duisburg. 1978-2001 Professor, Universität Tübingen.

Reviews

"Insgesamt ein Band, der Vieles bietet, ohne sich in Vielerlei zu verlieren, und das bei einem ausgezeichneten Preis/Leistungsverhältnis." ImpulsE, 13/2009