Inhaltsverzeichnis

Vorwort

Vorwort

Zwei große Häuser, gleich an Rang, gibt es in der Mathematik: Die natürlichen Zahlen N und die reellen Zahlen R. Die Geschichte der Mathematik läßt sich im Lichte des Wechselspiels dieser beiden Strukturen, ihrer gegenseitigen Befruchtung und Bekämpfung, vorübergehenden Vorherrschaft übereinander, ihrer Triumphzüge und Niederlagen, und schließlich ihrer großen Synthesen erzählen. Man darf hier die nietzscheanische Unterscheidung zwischen apollinisch und dionysisch bemühen: Die Strenge und Schönheit der natürlichen Zahlen, die, von der Mittagssonne beschienen so klar und greifbar ausgebreitet vor uns liegen wie kein anderer Gegenstand der Mathematik; und dagegen der unerschöpfliche Reichtum der reellen Zahlen, ihre faszinierende Magie, ihre unermeßliche Kraft, ihre imposanten Gipfel gleich neben den Abgründen ins Ungewisse - sie sind stets treu zu Diensten und bleiben doch immer unbeherrschbar.

Sind die natürlichen Zahlen das schönste, so sind die reellen Zahlen das rätselhafteste Konstrukt der Mathematik. Es erscheint dabei zunächst lediglich als ein kräftiger Pflug (um nicht zu sagen: als ein harmloser Ochse), mit dem wir die naturwissenschaftlichen Felder bestellen, ganz auf reichen Ertrag ausgehend und die typischen landwirtschaftlichen Mühen und Befriedigungen erfahrend. Die reellen Zahlen scheinen nach all den Folgen und Reihen, all den gelösten und ungelöst gebliebenen gewöhnlichen und ungewöhnlichen Differentialgleichungen, all den fehler- und fehleranalysefrei implementierten numerischen Verfahren sehr vertraut zu sein; doch sobald wir versuchen, sie zu erfassen anstatt mit ihnen zu pflügen, so beginnen sie sich zu entziehen, indem sie fortwährend nicht nur schwierige, sondern zutiefst irritierende Fragen aufwerfen. Für die natürlichen Zahlen gilt dies sicher nicht in dieser Form: Hier wird mehr und mehr innere Struktur und selbstgenügsame Harmonie entdeckt, während der arithmetische Turm selber, gebildet aus den Stockwerken 0, 1, 2, 3, ... immer gleich zu bleiben scheint und felsenfest vor uns emporwächst. Mit Ausnahme der Null, die als Erdgeschoß mit ausgegraben wurde, ist das heute vor uns stehende Gebäude N das gleiche wie dasjenige der grauen mathematischen Vorzeit. Die Geschichte von R dagegen ist durch schwere Meteoriteneinschläge bestimmt, die zeigen, daß es in unserem geistigen Universum viel mehr Objekte gibt als man zunächst vermuten würde. Beim längeren Nachdenken über die reellen Zahlen kann es sich dann auch ereignen, daß man nicht mehr genau weiß, was man da eigentlich untersucht, und es können sogar Zweifel an so etwas wie der Möglichkeit einer wohldefinierten Struktur R der reellen Zahlen aufkommen. (Daß der Turmbau N ein babylonisches Unterfangen sein könnte, ist ein legitimes Gedankenexperiment und Katastrophenszenario der mathematischen Logik.) Den dunklen dionysischen Charakter der reellen Zahlen erfährt jeder, der sich auf das Abenteuer einläßt, sie fassen zu wollen, sie ins apollinische Licht zu ziehen, um ihrer nächtlich-magischen Natur auf den Grund zu kommen. Nah ist und schwer zu fassen der Gott Dionysos, und das gleiche gilt, im Bild bleibend, auch für die reellen Zahlen.

Wir werden in diesem Buch einige Ansätze beschreiben, die unternommen worden sind, den Geheimnissen der reellen Zahlen auf die Spur zu kommen. Die Themen sind vielfältig, aber durch grundlagentheoretische Fragen und Interessen bestimmt. Der behandelte Stoff ist nicht immer elementar, aber doch immer nur als Einführung in einen größeren Gegenstand zu sehen. Zu vielen tieferen Resultaten der jüngeren Zeit werden wir nicht vordringen. Es geht zuallererst darum, einige der bei der hochauflösenden mikroskopischen Untersuchung von R auftretenden Phänomene zu schildern und charakteristische Bilder mit dem Bleistift auf Papier zu übertragen. Unser Mikroskop ist lichtstark und vielseitig, aber doch eine klassische Optik in dem Sinne, daß wir die Rastermethoden der mathematischen Logik nicht verwenden werden. Wir werden die Möglichkeiten dieser ganz anderen Technik hin und wieder andeuten. Sie kann vieles und erweitert das mathematische Weltbild, aber sie kann den klassischen Ansatz keineswegs ersetzen, inhaltlich nicht und auch nicht didaktisch.

Weit genug gefaßt meint "Reelle Zahlen" vielleicht die Hälfte der Mathematik, und auch bei engerer Eingrenzung auf fundamentale Gesichtspunkte gilt hier der Lieblingsspruch des Vaters von Effi Briest: "Das ist ein zu weites Feld." Der Autor beruft sich deshalb auf eine seiner beiden Grundfreiheiten, nämlich der Freiheit der Stoffwahl - neben der des Stils. Das Buch versteht sich insgesamt als eine von vielen möglichen Interpretationen seines Titels, und nicht der Titel als das Epigramm seines Buches.

Das Buch beginnt aus ästhetischen und sachlichen Gründen bei den Griechen, springt dann relativ rasch mitten ins 19. Jahrhundert, und kommt in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts zur inneren Ruhe, ohne sich Ausblicken zu verschließen. Einen Überblick über die behandelten Themen findet der Leser gleich nach der Einführung. Die klassische Analysis und ihr Bündnis mit der physikalischen Naturbeschreibung ist das Thema vieler Darstellungen, nicht aber der vorliegenden. Lediglich in der Zeittafel im Intermezzo des ersten Abschnitts sind die Meilensteine der Analysis aufgenommen, bilden sie doch einen gewaltigen Akt in der Geschichte von R. Auch außerhalb des mathematischen Rechnens - in einem weiten Sinne, der jede Form der Analysis mit einschließt - ist das reelle Feld weit und seine Bäume reich an Früchten. Dies wird zuweilen durch die Wegführung der mathematischen Ausbildung nicht so recht deutlich. Das Gebiet dort draußen hat eine enorme Fläche und das überstrapazierte Bild von den Rand- und Grenzfragen ist deswegen nur bedingt richtig. Wer sich mit den Grundlagenfragen von R auseinandersetzt, ist keineswegs ein König in einer Nußschale, der sich einen Herren unendlicher Weiten nennt, sondern ein Wanderer im Grenzenlosen, der eine Menge harter Nüsse vorfindet.

Die zwölf Kapitel dieses Buches wollen anregen, unterrichten im Sinne von "Kunde geben". Sie erlauben sich Ausführlichkeit und Abschweifung an der einen und Kürze und Skizzenhaftigkeit an der anderen Stelle, und weiter ihren eigenen Charakter und Komplexitätsgrad. Zusammen genommen wollen sie sich zu einem runden Ganzen fügen und anspruchsvolle Mathematik anregend vorstellen. Ziel ist, dem Leser einen bleibenden begrifflichen Eindruck zu vermitteln. Die reellen Zahlen sind mehr als die Magd der Integral- und Differentialrechnung. Sie verdienen es, verstanden und nicht nur kunstvoll verwendet zu werden. Das ist, wenn man so will, die Botschaft.

Das Buch ist geschrieben für alle Leser mit Interesse und Verstand. Es orientiert sich nicht in erster Linie an der Struktur der derzeitigen Universitätsausbildung, und es wurde kein Text angestrebt, der auf die Bedürfnisse einer vierstündigen Vorlesung zugeschnitten wäre. Der Autor hofft, mit dem Buch einer breiten Zahl von Studenten der mathematischen Fächer einen studienbegleitenden Text anzubieten, der vom ersten Semester an gelesen werden kann. Das Buch mag sich weiter für Seminare eignen und bei Kollegen an Schulen und Hochschulen auf Interesse stoßen. Der Laie schließlich ist nicht selten ein gebildeter, neugieriger, breit interessierter und damit idealer Leser. Ohne begleitende Literatur und ein gewisses mathematisches Vorwissen werden einige Inhalte aber eine etwas harte Kost sein. Wissenschaftliche Literatur ist im Gegensatz zum Kriminalroman aber auch in Teilen genossen eine sinnvolle Sache. Vollständig auflösen können wird man das große Geheimnis in keinem Fall.

Tiefergehende Vorkenntnisse werden nicht erwartet, einige Kapitel sind weitgehend elementar, andere setzen mathematisches Grundwissen aus der Analysis, der linearen Algebra und der Topologie dezent ein. Alles andere stellt der Text zur Verfügung. Im Vorspann Vokabular finden sich Zusammenstellungen der wichtigsten verwendeten Begriffe und Notationen. Der Anhang enthält Grundlagen der mengentheoretischen Axiomatik, des Zahlensystems, der algebraischen Strukturen und der Topologie. Dieses Material wird nicht von Beginn an verwendet, und der mit diesen Dingen noch nicht vertraute Leser ist aufgerufen, die trocken gelisteten Definitionen anhand von zusätzlicher Literatur zum Leben zu erwecken. Der Autor hofft andererseits, einen mit mathematischem Grundwissen ausgerüsteten Leser an alles erinnert zu haben, was gebraucht wird.

Im zweiten Teil des Buches wird die Verwendung der transfiniten Technologie schließlich unvermeidlich. Wir geben in einem Intermezzo eine knappe Darstellung des Nötigsten, auch wenn durch diese Kürze die Gefahr besteht, daß der transfinite Limesschritt unheimlich bleibt. Es wäre hier nicht der Ort, eine umfangreiche Einführung in die transfinite Mengenlehre zu geben.

Der kompakte Beweisstil integriert aktive Mitarbeit des Lesers, namentlich bei den zuweilen auftauchenden "(!)", bei denen ein kleines Argument selbst gedacht werden muß, und bei der erwarteten Ausarbeitung einiger nur skizzierter Beweise und Aspekte der Theorie. Mitmachen macht Mathematik lebendig. Viele Mathematiker nehmen keinen mathematischen Text in die Hand, ohne sich mit Papier und Bleistift für das Abenteuer zu rüsten.

Mein besonderer Dank gilt Herrn Heinz Jaskolla. Er hat das gesamte Manuskript gelesen und zahlreiche Verbesserungen vorgeschlagen, denen ich durchweg gefolgt bin.

Berlin, im Januar 2007 Oliver Deiser

Zur zweiten Auflage

Für die zweite Auflage wurde der Text korrigiert und die Darstellung an einigen Stellen verbessert. Besonders Herrn Dr. Klaus-Dieter Drews (Rostock) verdanke ich die Mitteilung von Ungenauigkeiten.

Weiter wurde ein neuer Anhang hinzugefügt (Anhang 5), der eine Maßkonstruktion mit Hilfe transfiniter Rekursion vorstellt.

Berlin, im Januar 2008 Oliver Deiser

Klappentext

Oliver Deiser      Reelle Zahlen

Das Buch untersucht die reellen Zahlen unter verschiedenen grundlagentheoretischen Gesichtspunkten. Ziel ist, die Komplexität dieser einzigartigen mathematischen Grundstruktur sichtbar zu machen.

Im ersten Teil richtet sich der Blick auf die arithmetische Zahlengerade. Der Bogen spannt sich hier zunächst von der Entdeckung der irrationalen Zahlen durch die alten Griechen über das Kontinuumsproblem bis hin zu modernen Konstruktionsmöglichkeiten. Nach einer Analyse euklidischer Isometrien werden dann ausführlich Grundfragen der Maßtheorie behandelt (Probleme des Messens, Banach-Tarski-Paradoxon, Existenz bewegungsinvarianter Inhalte, Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes).

Der zweite Teil des Buches untersucht den zu den irrationalen Zahlen homöomorphen Raum aller Folgen natürlicher Zahlen und allgemeiner polnische Räume. Die Themen umfassen Regularitätseigenschaften von Teilmengen reeller Zahlen, irreguläre Mengen, Borel-Mengen und projektive Mengen. Das Buch schließt mit einer Einführung in die Theorie der unendlichen Zweipersonenspiele.

ISBN 978-3-540-79375-5

Wissen schaf tsja hr 2008

springer.de

Register

Index

A

Ab n₀ , 109
abelsch, 514
abgeschlossen, 517
abgeschlossene Determiniertheit, 432
Abgeschlossenheitssatz, 52, 54, 218
abhängiges Paar, 416
Ableitung, 352
Abschluß, 518
absolut, 391
Abstand, 153
abzählbar, 73
abzählbare Ordinalzahl, 382
Achsensatz, 170
additiv, 187, 529
affin, 260
affine Gruppe, 260
affinen Abbildungen, 158
- ähnlich, 91
Algebra, 194, 527
algebraisch, 51
algebraisch unabhängig, 243
Algorithmus von Euklid, 28
a-approximierbar, 47
- s£-meßbar, 453
analytisch, 470
analytische Definition des Lebesgue
- Integrals, 211
Anfangselement, 378
Anfangsstück, 288, 379
AnfangsstückOrdnung , 295
angeordneter Körper, 96
Antikette, 294
Antiketten-Bedingung, 95
antisymmetrisch, 20
Approximation, 288
Approximation irrationaler Zahlen, 50
Approximation rationaler Zahlen, 49
Approximationsfunktion, 47
Approximationssatz, 218, 536
approximierbar, 56
äquikonsistent, 490
äquivalent Null, 246
äquivalente Hänge, 118
äquivalente Spiele, 420
Äquivalenz der geometrischen und der
analytischen Integral-Definition, 216
- Äquivalenzklasse, 20
Äquivalenzrelation, 20
Äquivalenzsatz, 73
archimedisches Axiom, 98
Arithmetik auf Hängen, 122
Arithmetik mit Kardinalzahlen, 80
Arithmetik mit Mächtigkeiten, 79
arithmetisches Ordnungsaxiom, 96
assoziiertes freies Spiel, 420
atomfrei, 239
auflösbar, 175
Aufzählung, 21
Ausdehnungseigenschaft, 267
Ausdehnungssatz, 522
Ausdehnungssatz von Mycielski , 275
Ausschöpfung, 185
Ausschöpfung der Borel-Mengen, 447
äußeres Lebesgue-Maß, 198, 369
Aussonderung, 18
Aussonderungsschema, 507
Auswahlaxiom, 508
Automorphiesatz, 102
Axiom der Determiniertheit, 441
Axiome von ZFC, 507

B

B-adische Darstellung, 104
Baire-Eigenschaft, 364
Baire-Hierarchie, 452
Baire-Maß, 362
Baire-meßbar, 364
Baireraum, 13, 285, 290
Bairescher Kategoriensatz, 362
Bairescher-Meßversuch, 438
Bairescher Raum, 363
Banach-Funktional, 248
Banach-Integral, 246
Banach-Integral und Lebesgue-Integral, 247
Banach-Integral und Riemann-Integral, 247
Banach-Mazur-Spiel, 436
Banach-Tarski-Paradoxon , 271
Barriere, 297
baryzentrische Koordinaten, 343
Basis, 520
Basisfunktionen, 389
Baum, 295
Baumdarstellung, 474
Berechnung der Näherungsbrüche, 35
Bernstein-Menge, 394
beschränkt, 18, 92
beschränkte Eigenschaft, 18
Betrag, 96
Bewegungsinvariante Inhalte für die
- Ebene, 258
bewegungsinvariantes Maß , 188
Bewegungsinvarianz, 187
Bijektion, 21
bijektiv, 21
Bild, 21
binäre Baum, 295
Blatt, 296
blattfrei, 296
Bogenmaß, 154
Borel-Determiniertheit, 456, 463
Borel-Hierarchie, 444, 446
Borel-Maß, 370, 397, 439
Borel-meßbar, 453
Boreische Vermutung, 404
Borel-trennbar, 476
Brouwerscher Fixpunktsatz, 341
Buchstaben, 177

C

Cantor-Bendixson-Zerlegung, 355
Cantor-Bendixson-Zerlegung, 387
Cantorraum, 13, 290
Cantorsche Kontinuumshypothese, 82
Caratheodory-Bedingung, 200
Cauchy-Folge, 97, 523
Cauchy-Riemann-Integral , 223
Cauchy-Schwarz-Ungleichung , 155
Charakterisierung der archimedisch
- angeordneten Körper, 102
Charakterisierung der Isometrien im R² , 169
Charakterisierung der Isometrien im R³ , 172
Charakterisierung des Kontinuums, 94
Charakterisierungen und Eigenschaften
- analytischer Mengen, 471
C-Mengen, 481
C-verschiebbar, 241

D

Darboux-Integral, 224
Darboux-Summen, 224
Darstellung, 104
Darstellungssatz, 51, 366, 369, 397, 536
Dedekindscher Schnitt, 93
Dedekindsches Schnittaxiom, 97
Dedekind-unendlich, 73
Definitionsbereich, 21
Dekompaktifizierungssatz, 322 5-Partition, 2318-Quadrat, 224
Denjoy-Raum, 233
deskriptiv, 285
Determinante, 163
determiniert, 411, 418
Determiniertheit und Meßbarkeit, 441
Determiniertheit und Scheeffer-Eigenschaft, 424
Determiniertheit von Borel-Spielen, 463
D ezimaldarstellungen, 104
Diagonalargument, 77
Diagonalisierung, 451
Diagonalmethode, 78
dicht, 91, 520
dicht in, 94
Dimensionstheorie, 349
disjunkte Zerlegung, 293
diskret, 174
diskrete Tbpologie, 520
domain, 21
dominierte Konvergenz, 220
Dreiecksungleichung, 521
Durchmesser, 522
dyadische Darstellung, 104

E

Echte Klassen, 77
echte Teilmenge, 17
Ecke, 343
Eichfunktion, 231
Eigenschaft, 18
einbettbar, 91, 519
Einbettung, 91, 519
Eindeutigkeitssatz, 33
Einermenge, 17
einfache Funktion, 218
Einschränkung, 22, 90, 290
Einschrittexpansion, 177
Einschrittreduktion, 177
Einzigkeitssatz, 101
Element, 17
endlich, 73
endlich additiv, 187
endlich verzweigt, 296
endliche Folge, 288
endliche Kettenbrüche, 31
Endpositionen, 419
Endpunkte, 90
entfaltet, 488
Ergänzungssatz, 329
Ersetzungsschema, 507
erstrebenswerte Position, 430
Erweiterungssatz für Hyper-Lebesgue-Maße, 241
erzeugte Bäume, 295
erzeugte Tbpologie, 520, 522
Euklidische Metrik, 153
Exhaustion, 228
Existenz kürzester Wohlordnungen, 380
Existenz nichtdeterminierter Mengen, 424
Existenz transzendenter Zahlen, 77
Existenz von Bernstein-Mengen, 395
Existenz von Darstellungen, 105
Existenz von Lösungen für
- abgeschlossene Spiele, 460
Existenz von Lücken in Q, 93
Extensionalitätsaxiom, 507

F

- F₂ ist paradox, 266
Fächersatz, 297
Faktorgruppe, 164
Faktorisierung, 20
Faktorsatz, 277
fast disjunkt, 204
fast disjunkte Uberdeckungen, 342
fastlinear, 113
Fibonacci-Zahlen, 35
Fixpunkte monotoner Operatoren, 357
Fixpunktsatz, 341
Flächenmengen, 207
F_o -Menge, 517
Folge, 21, 288
Folgenraum, 290
Folgenstetigkeit, 518
folgt, 18
Fortsetzung des Lebesgue-Maßes, 238, 254
Fortsetzungssatz, 323, 530, 532, 535
Frechet-Raum, 335 freie Gruppe, 178 freie 8-Partition, 234 freies Spiel, 419
F_ß -Überdeckung, 342
Fundamentalfolge, 97
Fundierungsaxiom, 507
Funktion, 21
Funktional, 244

G

Ganze algebraische Zahl, 54
ganzzahlige Approximation p: q, 119
gauge integral, 232
gdw, 18
Gegenseite, 343
Generatoren, 178
geometrische Integrierbarkeit und
- Meßbarkeit, 214
geometrische Interpretation des
- Riemann-Integrals, 227
Gewinnmenge, 413
Gewinnstrategie, 410, 418
gewonnen, 426
G-invariant, 275
gleichlang, 379
Gleichmächtigkeit der Ebene und der Linie, 81
G₅ -Menge, 517
Gödelfunktion, 389
goldener Schnitt, 37
Grad, 51
Grenzwert, 97, 518
Größe, 25
Gruppe, 513
G-Zerlegungen, 263

H

Halbierungslemma, 239
Hamelbasis, 190
Hang, 117
Häufungspunkt, 299
Hauptsatz der linearen Algebra, 154
Hausdorff-Paradoxon, 269
Hausdorff-Raum, 517
Henstock-Kurzweil-Integral, 232
Hilbert-Würfel, 334
Hilfsreihen, 35
HK-integrierbar, 232
homöomorph, 519
Homöomorphien für M und ^, 302
Homöomorphiesatz, 339, 519
Hyper-Lebesgue-Maß, 240

I

Ideal, 364
Indikatorfunktion, 80
Induktion, 381
Induktion für Wohlordnungen, 381
Induktionsanfang, 386
Induktionsschritt, 386
induktiv, 510
induzierte Ordnung, 97
induzierte paradoxe Mengen, 268
induzierte Wohlordnung, 378
Inhalt, 195, 225, 530
Inhaltsproblem, 193
Inhaltsraum, 195
injektiv, 21
injektive Aufzählung, 21
inkompatible Folgen, 289
Innere, 518
inneres Lebesgue-Maß, 198, 369
insichdicht, 358
Integral, 207
integrierbar, 207, 222
Integrierbarkeit stetiger Funktionen, 209
Invarianz der Dimension, 339
Invarianz des Gebietes, 339
inverse Limiten, 458
irrationale Zahlen, 25
Irrationalität der Eulerschen Zahl, 45
Irrationalität der Kreiszahl 7t, 46
Irrationalität der Quadratwurzel, 39
irreflexiv, 20
isolierter Punkt, 299
Isometrie, 158
Isometriegruppe, 158
isomorphe angeordnete Körper, 101
Isomorphiesatz, 91, 101
Iteration der Susiin-Operation, 469
iterierte Ableitung, 386

J

Jordan-Inhalt, 225
Jordan-meßbar, 225
Jordanscher Trennungssatz, 340

K

Kanonische Darstellung, 20
Kardinalität, 72, 79
Kardinalzahl, 79
Kategoriensatz, 362, 363
Kern, 164
Kette, 74, 251
Kettenbruch, 30, 31, 34
Kettenbruchentwicklung, 30
Knoten, 295
koanalytisch, 470
Kode, 294, 298
komager, 362
kommensurabel, 26
Kommutator, 181
kompakt, 519
Kompaktheit, 303
kompatible Metrik, 522
Kompression, 228
Kondensation, 352
Kondensationspunkt, 352
kongruent, 159
Kongruenz, 159
konstruktibel, 390
konstruktible Hierarchie, 390
Konstruktion der reellen Zahlen nach
- Cantor, 109
Konstruktion der reellen Zahlen nach
- Dedekind, 108
Konstruktion der reellen Zahlen nach
- Schanuel und A'Campo, 122
Konstruktionen der reellen Zahlen, 106
Kontinuum, 13
Kontinuumshypothese, 82, 85, 391
Kontinuumshypothese und Scheeffer
- Eigenschaft, 394
Kontinuumsproblem, 12, 82
konvergente Folge, 518
Konvergenzsätze, 220
konvergiert, 97
konvex, 341
Kopie, 519
Koprojektion, 483
Körper, 295, 515
Körper der reellen Zahlen, 97
kristallographisch, 174
k-Überdeckung, 457
Kurve, 155
kürzer, 379
Kürzungsregel, 514

L

Länge, 154, 288
Lebesgue-Integral, 207
Lebesgue*-integrierbar, 212
Lebesgue-Maß, 197, 537
Lebesgue-Maß auf dem Cantor- und
- Baireraum, 367
Lebesgue-meßbar, 199, 369
Lebesgue-meßbare Funktion, 211
Lebesgue-Nullmenge, 369
Lebesgue-Summe, 212
leere Menge, 17
Lemma von Cousin, 231
Lemma von Denes König, 296
Lemma von Fatou, 221
Lemma von König, 297
Lemma von Sperner, 344
PHospitalsche Regel, 67
Limes, 518
Limeselement, 378
Limesordinalzahlen, 386
Limespunkt, 299
Limesschritt, 386
Limiten, 386
linear, 160, 244
lineare Funktionale, 244
lineare Ordnung, 20
Linearitätsfehler, 117
linkseindeutig, 21
Liouville-Kriterium, 56
Liouville-Zahl, 56
lokal endlich, 228
lösbar, 188
Lösbarkeit des Inhaltsproblems, 193
Lösung der Rekursionsgleichung, 382
Lösung des Maßproblems, 188
Lösung eines Spiels, 459
Lösungen für Borelspiele, 463
Lücke, 93
Lücken von Q, 93
Lusin-Menge, 402

M

Mächtigkeit, 72
Mächtigkeit, 82
Mächtigkeiten abgeschlossener Mengen, 356
Mächtigkeiten der F_CT und G§-Mengen, 356
mager, 251, 362
Magere Mengen und Nullmengen, 371
Mahlo-Lusin-Menge, 402
Marczewski-Eigenschaft, 372
Marczewski-meßbar, 372
Maß, 195
Maßeinheit, 26
Maßproblem, 187
Maßraum, 195
Matrix, 163
maximal, 294
Maximalprinzip, 74
McShane-Integral, 234
Menge, 17
Menge positiver Elemente, 97
Mengen-Algebra, 194
Menger-Urysohn-Dimension, 349
meßbar, 196, 211, 364, 370
meßbar, 453
meßbare Gruppe, 275
Meßbarkeits-Kriterium, 200
Meßbarkeits-Spiele, 439
Metrik, 154, 521
metrisch vollständig, 98
metrischer Raum, 521
metrisierbar, 522
Metrisierbarkeitssatz, 524
Minimalitätvoncü!, 384
mittelbar, 275
Mittelbarkeit und Paradoxie, 279
Mittelwert, 208
Modell von (CH), 391
modular, 529
monotone Konvergenz, 219
monotoner Operator, 352
Monotonie, 188, 529
- u-Meßbarkeit, 370
Multiplikationsregel für Zerlegungen, 263
Multiplikationssatz, 75, 81
Multiplikationssatz für R, 80

N

Nachfolger, 296
Nachfolger, 378
Nachfolgerelement, 378
Nachfolgerordinalzahlen, 386
Nachkommadarstellung, 104
Näherungsbruch, 34
natürliche Folgen, 290
natürliche Ordnung, 383
negativ, 96, 163
Negativteil, 208
neutral, 513
nicht determiniert, 423
Nichttrivialität, 188
nirgendsdicht, 251, 361
Norm, 154
normale Untergruppe, 164
normiert, 195
Normiertheit, 187
nulldimensional, 292
Nullfolge, 110
Nullhang, 117
nullhomotop, 340
Nullmaß, 195
Nullmenge, 196, 362, 370, 372, 403

O

Obere Partition, 213
obere Schranke, 92
offen, 517
offene Determiniertheit, 431
offene Reduzierung, 294
offene e-Umgebung, 521
Operation 3, 471
Operation einer Gruppe, 262
Operator, 352
Optionsstrategie, 415
Ordinalzahl, 385
Ordinalzahlen, 382
Ordnung auf U, 124
Ordnungsaxiom, 96
ordnungserhaltend, 91
ordnungsisomorph, 91
Ordnungsisomorphismus, 91
orthogonal, 155
Ortungsmnktion, 333

P

Paarmengenaxiom, 507
Paarungspolynom, 75
paradox, 265
Paradoxie der freien Gruppe mit zwei
- Generatoren, 266
Paradoxie der Rotationsgruppe, 268
Partie, 410, 413
partielle Ordnung, 20
partielle Strategie, 456
Partition, 212, 213, 231, 234
Pausieren, 421
Peano-Inhalt, 228
Peano-Jordan-Inhalt, 228
Peano-Kurve, 337
Pendelverhalten, 33
Pentagramm, 36
perfekt, 296, 299, 314
perfektes-Mengen-Spiel, 433
perfekter Kern, 355, 358
perfekte-Teilmengen-Eigenschaft, 359
Permutationsgruppe, 157
Pfad, 295
polnische Räume als Teilräume des Hilbert
- Würfels, 335
polnischer Raum, 312
Position, 413
positiv, 96, 124, 163
positive Isometrie, 164
Positivteil, 208
Potenzmenge, 17
Potenzmengenaxiom, 17, 507
Produktraum, 521
Produktregel, 205, 206
Produkttopologie, 521
Projektion, 155, 471
Projektionsabbildung, 521
Projektionssatz, 475
projektiv, 482
projektive Hierarchie, 482
Proportionslehre des Eudoxos, 43
Pseudometrik, 521
Punkt, 517
Pythagoras-Schüler, 25

Q

Quadrat, 224
Quantoren, 409

R

Rand, 518
ränge, 21
Rationale Approximationen, 47
rationale Folge, 109
rationale Hänge, 127
Raum, 517
Raum der Dimension n, 153
reduziert, 176, 177
Reduzierung, 294
Reelle Zahlen als Hänge, 122
reeller Vektorraum, 515
reflexiv, 20
Regelbaum, 413
Regeln, 413
Regularität, 201, 369f, 440, 524, 536
Regularitätseigenschaft , 358
Regularitätsspiele, 433
Rekursion, 381
Rekursionssatz für Wohlordnungen, 381
Relation, 20
relativ prim, 39
relative Konsistenz, 391
Relativtopologie, 518
Retrakt, 340
Retraktionssatz, 340
Riemann-Integral, 222
Riemann-integrierbar, 222
Riemann-Summe, 222
Ring, 515, 527
Ring-Hierarchie, 529
Rücktranslation, 189
Russell-Zermelo-Antinomie, 18
Ruziewicz-Inhalte, 257

S

Satz über lineare und metrische
- Vollständigkeit, 98
Satz von Banach, 257, 259, 279
Satz von Cantor, 77
Satz von Cantor-Bendixson, 355
Satz von Cantor-Bernstein, 79, 264
Satz von Caratheodory, 535
Satz von Ciesielski und Pelc, 244
Satz von Dirichlet, 50
Satz von Fubini, 221
Satz von Gauß, 45
Satz von Gödel, 390, 391
Satz von Hahn-Banach, 244, 254
Satz von Hausdorff, 261, 269, 454
Satz von Kuratowski-Ulam, 406
Satz von Lebesgue, 220
Satz von Liouville, 55
Satz von Marczewski, 240
Satz von Martin-Steel, 490
Satz von McShane, 235
Satz von Shelah, 492
Satz von Solovay, 492
Satz von Steel und van Wesep, 467
Satz von Steinhaus, 203
Satz von Susiin, 477
Satz von Vitali, 189, 238
Satz von von Neumann, 260
Satz von Wadge, 465
Satz von Wadge und Martin, 467
Satz von Woodin, 490
Scheeffer-Eigenschaft, 359
schließlich, 109, 290
Schnitt, 93
Schnittsatz, 345
Schwerpunkt, 343
Seite, 343
Sektion, 474
Sektionsregel, 206
selbstdual, 467
semifinit, 529
Semiring, 528
senkrecht, 155
separabel, 94, 311, 520
separierte Anteil, 355
Sierpinski-Eigenschaft, 328
- a-additiv, 187
- a-Algebra, 194, 527
- a-finit, 195, 529
- a-kompakt, 472 2-Maß, 534
- a-Stetigkeit, 195
- Z-Verband, 533
Simplex, 343
Simplizialzerlegung, 343
Skalare, 154
Skalarenkörper, 515
Skalarmultiplikation, 515
Skalarprodukt, 155
slope, 117
spezielle affine Gruppe, 260
Sphäre, 154
Spiel, 410, 413
Standardabbildungen, 309
starke Nullmenge, 403
Startposition, 421
stetig, 518, 529
stetig reduzierbar, 464
stetige Bijektion von N auf b , 331
Stetige bijektive Bilder von N, 327
stetige Bilder, 324
stetige Bilder des Cantorraumes, 336
Straffheit, 201, 536
Strategie, 415
Streckung, 154
Strukturen, 20
stückweise G-kongruent, 263
Stützstellen, 212
Subbasis, 520
subadditiv, 529
sublinear, 244
Summen reeller Zahlen, 368
Supremum, 92, 378
Supremumsnorm, 114
surjektiv, 21
Susiin-Hypothese, 95
Susiin-Operation, 468
Symmetrie, 521
Symmetriegruppe, 157
symmetrisch, 20
Symmetrisierung, 256

T

Taubenschlagprinzip, 49
Teilbarriere, 297
Teilmenge, 17
Teilquotienten, 35
Teilstrategie, 456
Topologie, 517
topologischer Raum, 517
total beschränkt, 524
totale Ordnung, 20
Transferlemma, 49
transitiv, 20
Translation, 161, 189
Translationen in ^, 401
transponierte Matrix, 163
transzendent, 55
Transzendenzbasis, 243
Trennungssatz, 476
Treppenfunktion, 218
trunkiert, 217

U

Ueberabzählbar, 73
Überabzählbarkeit von M, 16
überdeckende a-Algebren, 479
Überdeckung, 342, 457, 479
Überdeckungssatz, 342
Überdeckungsspiel, 439
- Überdeckungssystem, 458
- übergeordnete Optionsstrategie, 427
Umgebung, 521
Umschreibung, 185
unabhängig, 514
Unabhängigkeit, 82
unbeschränkt, 90
unbeschränkter Hang, 118
unendlich, 73, 79
unendlich oft, 290
unendliche Folge, 288
unendlicher Kettenbrüche, 34
Unendlichkeitsaxiom, 507
unerreichbar, 491
ungerade Funktion, 113
Universalität von Q, 92
Universalität von (R, 95
universell, 485
universell Baire-meßbar, 367
universell meßbar, 371
universelle Menge, 448
Unlösbarkeit des Inhaltsproblems für n > 3, 193
Unlösbarkeit des Lebesgueschen
Maßproblems, 192
Unstetigkeitskriterium, 326
untere Partition, 213
Untergruppenkriterium , 514
Unterraum, 515, 518
Unterteilung, 104
Unzerlegbarkeitssatz, 8 3
- Urbild, 21

V

Vektoraddition, 515
Vektoren, 515
Vektorraum, 515
Verdichtungspunkt, 352
Verband, 527, 533, 352
Vereinigungsmengenaxiom, 507
Vergleichbarkeitssatz, 74, 79, 379
Verlängerung, 289
Verlassen von Funktionen, 434
verloren, 426
Verlustvermeidung, 426
Verneinungsregeln, 409
verschiebbar, 241
Vervollständigung, 112, 196
verzweigt, 296
Vitali-Menge, 398
vollständig, 92, 523
Vollständigkeitsaxiom, 97
Vollständigkeitsbegriffe, 97
Volumen, 186
Vorgänger, 378

W

Wadge-Klasse, 465
Wadge-Ordnung, 465
Wadge-Spiel, 465
Wahrscheinlichkeitsmaß , 195
Wahrscheinlichkeitsraum , 195
Wechselwegnahme, 30
Weltbild der Pythagoreer, 26, 27
Wertebereich, 21
Winkel, 154
Wohlordnung, 378
Wohlordnungen und Baire-Meßbarkeit, 406
Wohlordnungssatz, 380
Worte, 177

Z

Zahlen, 19
Zahlgröße, 25
Zerlegung, 20
zerlegungsgleich, 263
Zerlegungspunkte, 212
Zermelo-Fraenkel-Axiomatik, 507
ZFC, 507
Ziffernfolge, 104
Zornsches Lemma, 74
Zug, 413
zugehöriges Integral, 276
Zugreservoir, 414
Zugvorschlag, 415
zusammenhängend, 339
Zusammenhangskomponente, 339
Zweig, 295
Zweipersonenspiele, 409
Zweistrich-Notation, 21
zweites Abzählbarkeitsaxiom, 520

Autor

Priv.-Doz. Dr. Oliver Deiser

Institut für Mathematik

Freie Universität Berlin

Arnimallee 14

14195 Berlin

deiser @mi.fu-berlin.de

Reviews

Aus den Rezensionen: "... In einer lockeren und einprägsamen Sprache behandelt der Autor Charakterisierungen und Konstruktionen mit Hintergründen und Querverbindungen. Er streift dabei durch viele Räume des Gebäudes der modernen Mathematik wie Logik, Maßtheorie und Topologie. Dennoch ist der Text autark genießbar, auch in Abschnitten, da technisch Kompliziertes jeweils anschaulich referiert wird. ... Eingefügte, meist leichte Aufgaben regen zu aktivem Mitdenken an. ... er bietet Lesern jeglichen mathematischen Niveaus vielfältige neue Blickrichtungen und Einsichten ..." (Wolfgang Grölz, in: ekz-Informationsdienst, 2007, Issue 19) "... Oliver Deiser hat wieder ein hervorragend lesbares Lehrbuch vorgelegt, das man nur uneingeschränkt empfehlen kann. Im Gegensatz zu anderen Autoren geht es Deiser ganz offenbar nicht darum, durch überzogene Abstraktion den Eindruck von Wissenschaftlichkeit zu erzeugen, sondern er will verständlich erklären und dabei die mathematische Exaktheit nicht preisgeben. Das ist ihm ... außerordentlich gelungen. ... Es ist eines derjenigen Bücher, das ich jedem ernsthaft an Mathematik interessierten Menschen nur wärmstens empfehlen kann." (Prof. Dr. Thomas Sonar, in: Mathematische Semesterberichte, 2008, Issue 8) Aus den Rezensionen zur 2. Auflage: "... Das Buch ist eine sehr zu empfehlende Lektüre für jeden, der eine großartige menschliche Kulturleistung besser verstehen will. Der Stil ist sehr gut lesbar. Formale Definitionen und Beweisschritte werden immer zuerst anschaulich beschrieben und überzeugend motiviert ... Insbesondere durch die Einbettung in den historischen Kontext wird die Entwicklung der Konzepte schön verdeutlicht. Sehr hilfreich für das Verständnis sind die zahlreichen ... Übungsaufgaben ... Für Studenten mit den Kenntnissen aus den Grundvorlesungen ist das Buch ... uneingeschränkt zu empfehlen."(in: Rho - Mathematik Verein Uni Rostock, Oktober 2008)