DeutschesFachbuch.de : Pythagoras. Erinnern Sie sich? Faszinierendes aus Geometrie, Zahlentheorie und Kulturgeschichte Von Alfred Hoehn, Martin Huber

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Inhaltsverzeichnis
Vorwort der Herausgeberin 5
Einleitung 8
Kapitel 1 Der Satz von Pythagoras: Geschichte und Bedeutung 13
Pythagoras von Samos 14
Babylonischer Text BM 8519615
Babylonischer Text Plimpton 32217
Die ägyptischen Grossbauten 18
Die chinesische Figur 21
Die megalithischen Steinringe 22
"Seiltricks"24
Ein Steinmetzzeichen 26
Pythagoreische Dreiecke in der Architektur 27
Kapitel 2 Pythagoreische Zahlentripel: Die babylonischen Formeln 31
Pythagoreische Dreiecke - pythagoreische Zahlentripel 32
Erzeugung pythagoreischer Zahlentripel mit Hilfe der baylonischen Formeln 35
Eine weitere Darstellung pythagoreischer Zahlentripel 43
Kapitel 3 Geometrische Realisierungen 51
Drei Basiskonstruktionen 52
Knauth'sche Methode und Anwendungen 57
Winkelverdopplung 61
Gittergeometrie 61
Kapitel 4 Babylonische Formeln - iteriert und umgekehrt 65
Iteration der Operation R 66
Umkehrung der Operation R 69
Iteration der Umkehrung 74
Kapitel 5 Der inkommmensurable Fall 79
Nochmals Iteration der Umkehrung 80
Das Auftauchen des goldenen Schnitts 81
Das Auftauchen von √384
Verallgemeinerung des goldenen Schnitts 86
Kapitel 6 Pythagoreische Dreiecke und komplexe Zahlen 89
Kurze Einführung in die komplexen Zahlen 90
Komplexes Quadrieren und pythagoreische Dreiecke 92
Iteriertes Quadrieren im Komplexen 98
Kapitel 7 Harrnonische Teilung 101
Ein wenig Harmonik 102
Mittelbildung 103
Die harmonische Teilung 104
Der harmonische Wurf 107
Der Kreis des Apollonios 108
Orthogonale Kreise 110
Kapitel 8 Eiformen der Megalithkultur 117
Kapitel 9 Morphologie der Kristalle 133
Das kubische Kristallsystem 134
Pythagoreische Dreiecke bei Pyramidenwürfeln und Pentagondodekaedern 140
Kapitel 10 Folgen von pythagoreischen Zahlentripeln 147
Glossar 161
Literatur 167
Register 171
Bildnachweis 176
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Register
A
Absolutbetrag 91, 99, 143
Achsensymmetrie 123
ähnliche Dreiecke 19, 34, 55, 60, 61, 62, 67, 71, 74, 75, 76, 113, 127
Ähnlichkeit 52, 53, 56
Animation 72, 102
Apollonios von Perge 110, 161
Apollonios-Kreis 110, 112, 113, 114, 161
Argument 91, 94, 98
arithmetische Folge
- erster Ordnung 149, 151, 163
- zweiter Ordnung 150, 151, 163
axonometrische Darstellung 138
B
babylonische Formeln 18, 31, 35, 36, 37, 40, 44, 45, 52, 58, 60, 66, 69, 93, 113, 162
Babylonischer Text BM 85196 15
Babylonischer Text Plimpton 322 17, 33, 36
Banach'scher Fixpunktsatz 85
Basiskonstruktion
- dritte 55, 56, 71, 113
- erste 52, 53, 56, 141
- zweite 54, 56
Basiskonstruktionen 52, 56
Berliner Papyrus 19
Betrag 91, 98, 99
C
Cantor Moritz 24
Chaostheorie 99
Cheopspyramide 20, 21
D
Diophant 17, 36
Divisionskreis 110
Dodekaeder 134
Drehachsen 134, 135
Dreieck
- ägyptisches 19, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 87, 114, 157, 161
- assoziiertes 93, 161
- gleichschenkliges 26, 38, 57, 67, 109, 125
- gleichseitiges 25
- halbes gleichseitiges 32, 86, 165
- Knauth'sches 26, 27, 57, 163
- mit z assoziiertes 93, 94
- mit z 2 assoziiertes 94, 95, 96, 97
- pythagoreisches 17, 24, 27, 28, 32, 33, 37, 38, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 69, 70, 71,...
- rechtwinkliggleichschenkliges 32, 125, 153, 165
- zugehöriges pythagoreisches 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 66, 67, 68, 69, 93,...
Druid Temple 22, 23, 118, 119, 121, 123, 126, 128
Dürer Albrecht 102
Dynamische Systeme 99
E
Eiform 117, 119, 122, 123, 125, 126, 127, 128, 129, 162
Einheitskreis 99
Elementardreieck 32, 86, 165
Euklid 14, 32
explizite Formel 150, 151, 152
F
Fibonacci Leonardo 154, 162
Fibonacci-Folge 20, 148, 154, 156, 162
Fixpunkt 85
Flächennormale 135, 136, 138
Fluchtmenge 99
Fluorit 139, 140, 142
Folge 20, 147, 148, 149, 151, 152, 161
Fundamentalsatz der Algebra 91
Fünfeck
- achsensymmetrisches 142, 144
- reguläres 114
G
ganze Zahl 33, 35, 38, 41, 95, 124, 165
Gauss Carl Friedrich 91
Gefangenenmenge 99
gemeinsamer Teiler 34, 35, 37, 39, 48, 165
gemeinsames Mass 32, 163
geometrische Realisierung 51, 52, 60, 66, 81, 86, 93, 113, 162, 166
gerade Zahl 34, 35, 37, 39, 41, 42, 46, 97, 124, 156, 165
Gericke Helmuth 21, 118, 120, 122, 128, 129
Gesetz der Winkelkonstanz 138
Gittergeometrie 61
Gitterstrukturhypothese 139
Gleichung
- polynomiale 91
- quadratische 91
Goetheanum 114, 115
goldener Schnitt 20, 28, 81, 82, 86, 87, 90, 102, 143, 162
goldenes Rechteck 86, 87
gotischer Spitzbogen 56
Grenzdreieck 84, 86, 153, 157
Grenzwert 80, 84, 85, 150, 152, 153, 157
H
Harmonik 57, 58, 102
harmonische Teilung 101, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 111, 112, 113, 114, 161, 163, ...
harmonischer Wurf 107
Harpedonapten 20, 24
Hexaeder 134, 135, 136, 137, 144
Hypothese 118, 119, 120, 121, 122, 123, 139, 162
I
Ikosaeder 134
imaginäre Achse 90
imaginäre Einheit 90
Imaginärteil 90, 91, 92, 96
Ingenieuraxonometrie 138
inkommensurabel 79
Inkreisdreieck 74, 75, 86
Inkreismittelpunkt 94, 95, 96, 97
Intervall
- pythagoreisches 102
- reines 102
irrationale Zahl 76, 80, 114, 134, 143
Iteration 65, 66, 68, 74, 75, 80, 81, 82, 84, 98, 163
J
Julia Gaston 99
Julia-Menge 99
K
Kathetenproportion 61, 71, 72, 74, 114
Kavalierprojektion 138
Kayser Hans 102, 134
Kepler Johannes 138
Kepler'sche Konstruktion 71, 75, 86
Knauth Johann 26, 27, 57, 58, 62, 163
Knauth'sche Figur 26, 57, 58, 62, 73, 141, 163
- verallgemeinerte 62, 63
kommensurabel 32, 125, 163
komplexe Zahl 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 161
Komponenten
- eines geordneten Zahlentripels 33, 34, 46, 68, 80, 148, 149, 151, 153, 165
Koordinaten 49, 60, 90, 95, 136
Koordinatengitter 48, 49
Koordinatensystem 25, 48, 60
- cartesisches 90
- räumliches 135
Kristallmorphologie 102, 133, 140, 144
Kristallografie 134, 135
kubisches Kristallsystem 134, 135, 163
L
logarithmische Spirale 98
Lotkonstruktion 120
M
Major 20, 82, 83, 143, 162
Megalithic Yard 122
Megalithkultur 117, 123, 130, 162
Miller'scher Index 135, 136, 137, 138, 139, 140, 142, 143, 144, 164
Minor 20, 82, 83, 143, 162
Mittel
- arithmetisches 103, 104
- geometrisches 103, 104
- harmonisches 103, 104, 105, 106, 163
N
natürliche Zahl 17, 18, 33, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 46, 47, 52, 96, 97, 148, 165
O
Oktaeder 134, 137
Operation R 52, 66, 68, 69, 71, 74, 80, 93, 162, 164, 166
Operation S 80, 164
orthogonale Kreise 110, 112, 114
P
Papyrus Rhind 18, 19
Parameter 37, 46, 69, 98, 156, 166
Parameterdreieck 140, 141, 142, 157
Parameterpaar 46, 62, 63, 93, 97, 148, 149, 165
Parität 34, 35, 37, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47, 49, 52, 151, 165
Pentagondodekaeder 140, 142, 143, 144
Platon 32, 165
Platonische Körper 134
Primteiler 34, 42, 46
Primzahl 34, 39
Projektive Geometrie 107, 108, 139
Proportion
- kommensurable 102
- "richtige" 102
Proportionendreieck 60, 62, 72, 80, 93, 96, 142, 143
Proportionenrechteck 72
Pyramiden von Giseh 20
Pyramidenwürfel 134, 137, 139, 140, 141, 143, 144
Pyrit 135, 139, 143
Pythagoras 14, 15
- Satz von 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 33, 35, 53, 67, 110, 123, 124
Pythagoreer 14, 15
pythagoreisches Zahlentripel 17, 18, 20, 27, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 43, ...
- primitives 18, 24, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 47, 49, 52, 58, 69, 96, 97, ...
Q
Quadratgitter 28, 57, 59, 60, 61, 62, 63, 73
Quadrieren im Komplexen 61, 93, 94, 98
R
rationale Zahl 17, 32, 40, 165
Rationalitätsgesetz 138, 140, 143
Realteil 90, 91, 92, 96
reelle Achse 90, 91
reelle Zahl 35, 90, 91, 92, 95, 103, 108, 163
rekursives Bildungsgesetz 152, 155, 156
Rhombendodekaeder 137, 138, 144
S
Satz von den Winkelhalbierenden im Dreieck 109
Scheitelwinkel 142, 143
Schönheit 102
Seched 19
Streckenteilung
- äussere 104, 163
- im goldenen Schnitt 20, 66, 71, 82, 83, 86, 87, 114, 162
- innere 104, 163
Streckfaktor 95, 96, 97
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