DeutschesFachbuch.de : Die Architektur der Mathematik Denken in Strukturen Von Pierre Basieux

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Inhalt
Prolog
Abstraktion, Einfachheit und Struktur 7
I.Objekte des Denkens: Mengen, Dinge, Beziehungen 13
Grundobjekte: Jede Menge Mengen und ihre Elemente 14
Beziehungen : Relationen, Abbildungen, Verknüpfungen 24
Gemeinsame Eigenschaften erzeugen Äquivalenzklassen 41
Die Untersuchungsinstrumente sind die Abbildungen 47
II.Einfsche Beziehungsprinzipien: Grundstrukturen 65
Ein erster Entwurf der drei Grundstrukturen 66
Ordnung ist das halbe Leben: Geordnete Mengen 71
Verknüpfungen fesseln: Algebraische Strukturen 87
Ausgezeichnete Teilmengen : Topologische Strukturen 110
Übertragung der Strukturen auf die Verwandtschaft 124
III.Kombinationen: Skizzen multipler Strukturen 129
Verschiedene Strukturtypen, verträglich kombiniert 130
Die reellen und komplexen Zahlen - strukturell gesehen 137
Wahrscheinlichkeiten: ein Raum für alle Fälle 149
Jede Menge Räume - das unendliche Spiel 157
Epilog
Wozu ist nun Strukturmathematik gut?166
Literatur: Quellen und Hinweise 171
Register 173
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Register
A
Abbildungen 26, 32 f., 45, 50, 66, 70, 88, 100, 163 (→ Funktion)
- antitone 74 f.
- automorphe 109
- bijektive 34, 48 f., 51, 53, 55, 59, 61, 63, 82, 108, 123, 143
- Definition, erste 32, 34
- Definition, zweite 34
- eineindeutige 34
- Eins-zu-eins- (→ bijektive)
- homomorphe 120 (→ Homomorphismen)
- homöomorphe (topologische) 123
- identische 35, 59, 121
- injektive 34 f., 50, 61, 63, 143
- inverse 51, 108, 123 (→ Umkehrabbildung)
- isomorphe 144
- isotone 74 f., 106, 120
- kanonische 126 → kartesisches Produkt 57 → Komposition 58
- konstante 60, 121
- lineare 107
- monotone 75 → Morphismen, strukturelle 125
- natürliche 63, 126
- nichttopologische 123
- offene 122
- stetige 106, 111, 120-123, 132
- strukturtreue 67, 69, 105, 109, 123, 143 f. (→ Morphismus)
- surjektive 34 f., 50, 61, 63
- topologische 123
- umkehrbar eindeutige 34 f.
- verkettete 56 (→ Hintereinanderausführung) → Verknüpfung zwischen 56, 8...
Abbildungsdiagramm
- kommutatives 58 f., 63, 145
Abbildungssatz 63, 125
Abel, Niels Henrik 90 (→ Gruppe, abelsche)
Abschnitt 82
Absolutbetrag 160 f.
Absorptionsgesetze 102 (→ Verschmelzungsgesetze, Verband)
Abstandsfunktion 112, 160 (→ Metrik)
Abstraktion 7 f.
- als Vereinfachungsprozess 113
- Entfremdung 8
- Freiheit des Geistes 7
- mehrstufiger Prozess 25 f., 45
Aktual-Unendliches 52, 55 (→ Unendliches)
Aleph-Eins 54
Aleph-Null 53
Algebra, lineare 21, 102, 105
Algebra, moderne 39
algebraische Struktur 10, 70, 87-89, 95, 99-101, 103, 105-107, 109, 116, 118, 120, 12...
- Definition 102
- Eigenschaften 141 → Gruppe 90 → Morphismus 128
- nicht kommutative 89
Allmenge 16
Analysis 142
- reelle 75, 122
analytische Geometrie (→ Geometrie, analytische)
Anfangsstruktur 126
Antinomien 15, 85
Äquivalenzklasse 43, 83 (→ Faser; Restklasse)
Äquivalenzrelation 31, 41 f., 44 f., 47, 62 f., 109, 124 f.
Argument-Stelle 32, 37
Assoziativgesetz 58
Ausgangsmenge 48
Auswahlaxiom 79, 82 (→ Wohlordnungssatz; Zorn'sches Lemma)
Auswahlmenge 82 f.
Automorphismengruppe 109, 134
Automorphismus 109, 134, 158
axiomatische Definition 153
Axiome 14, 39, 70, 85, 102, 104, 114 f., 120, 131, 137, 152 f., 155, 159, 170 →...
- Tafel der 86
Axiomensystem 119, 167
- widerspruchsfreies 80, 85
B
Banach-Raum 163
Basisvektoren 105
Bernoulli, Jakob 153
Bijektivität 48, 52 (→ Abbildungen, bijektive)
Büdbereich 33
Bildelemente 37, 47, 49 (→ Funktionswerte)
Bildmenge 48
Bildraum 121
Black Jack 151
Boole'sche Summe 21
Bourbaki, Nicolas 10, 169
Bourbakismus 11
Braque, Georges 7
Brouwer, Luitzen 85
Brüche → Zahlen, rationale 25
C
Cantor, Georg 14, 51-55, 80-82, 84 f., 168, 170 (→ Menge, Cantor'sche Definitio...
Cauchy-Folge 146, 162
- Grenzwert 162
D
Dedekind'sche Schnitte 146
Definitionsbereich 33, 49 f., 56, 62, 89
- eingeschränkter 89
Deformation 111
Descartes, René 22
Diagramm 56, 58 f.
- kommutatives 58 f. (→ Verkettung; Komposition)
Differentialgeometrie 134
Differentialrechnung 52, 112
Differenz, symmetrische 20
Differenzmenge 20, 153
Dimension (e. Vektorraums) 105
Disjunktion 38
Distributivgesetze 40, 98, 104
Drehoperationen 93
Drehsymmetrien 92 f.
Drehungen 39
Drehungsgruppe 95
Dreiecksungleichung 159 f.
Duchamp, Marcel 7
Durchschnitt 19, 38, 88, 154 f.
- abzählbarer 155
E
Ebene
- euklidische 137, 142
- kartesische 51, 124, 142 f.
Eigenschaft, universelle 145
Einbettung 35, 143
Einbettungsabbildung 145
Eindeutigkeit 96
Eineindeutigkeit 34, 48
Einheit, imaginäre 141 f.
Einheitsintervall 124 (→ Intervall)
Einschränkung 35
Einselement 90 f., 98, 104, 116 (→ Element, neutrales)
Eins-zu-eins-Abbildung 34, 47 f., 56
Element(e) 9 f., 14, 16, 21, 28, 44, 47, 53 f., 62, 90
- abzählbares 53
- abzählbar viele 53, 154
- äquivalentes 45
- Beziehungen zwischen 14, 24-26 (→ Relation)
- Definition 16
- endlich viele 16
- erzeugendes 43
- größtes 76 f., 79
- inverses 90 f.
- isoliertes 67
- kleinstes 76 f., 81
- Koordinate 21
- maximales 76 f., 79, 84
- minimales 76 f.
- Nachfolger 81
- neutrales 90 f., 94, 98 (→Einselement)
- reziprokes 90 f.
- überabzählbar viele 53, 155
- unendlich viele 14
- Vergleich von 138 → Verknüpfung von 138 → Verknüpfungen 26
- vertauschbare 40 → Zuordnungen 33 f.
- zweier → Mengen 48
Elemente 9, 14, 16
Endstruktur 127 (finale Struktur)
Ereignis → Wahrscheinlichkeit
Ereignis(se) 149 f.
- determiniertes zufalliges 152
- elementare 156
- unabhängige 156
- zufälliges indeterminiertes 152
- zusammengesetzte 156
Ereignisfeld 154 f.
Erweiterung 143 f. (→ Vervollständigung)
Erzeugendensystem 105
Existenz 96
Existenztheoreme 84
Exponentialfunktion 51, 108, 163
F
Faser 43-45, 62 (→ Äquivalenzklasse; Restklasse)
- disjunkte 44
- gleiche 44
Faserung 41, 44 f., 47, 63, 66, 83 (→ Klasseneinteilung; Zerlegung)
Figurenart 41
Fixpunktsätze 122
Folge 52, 81
- als → Abbildung 60
- Cauchy- f. 162
- unendlich viele 52
Folge, konvergente 112, 138
- Grenzwerte 119, 122, 147
Fortsetzung 35
Fundamentalgruppe 136
Funktion 24, 31 f., 34 (→ Abbildung)
- Argument-Wert-Beschreibung 32
- Definitionen 32, 34
- inverse 128 → Komposition 57
- monotone 75
- reelle 51, 57, 75, 128
Funktionenräume 117, 163
Funktionsvorschrift 32
Funktionswert 32, 37
G
Gauß, Carl Friedrich 52, 134
Gedankenexperiment 8, 110
Geometrie 120
- affine 134
- analytische 22, 102
- Aspekte, invariante 112
- der Mannigfaltigkeiten 135
- elementare 24
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