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Inhaltsverzeichnis
Bezeichnungen 10
1 Ziele und Grundprinzipien der Numerischen Mathematik 11
1.1 Modell, Algorithmus, Computerexperiment. 11
1.2 Grundprinzipien der Algorithmisierung. 14
2 Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme 19
2.1 Der Gaußsche Algorithmus. 20
2.1.1 Die Grundform des Gaußschen Algorithmus. 20
2.1.2 Pivotisierung. 23
2.1.3 Gaußscher Algorithmus als LU-Faktorisierung. 24
2.1.4 Direkte LU-Faktorisierungen und spezielle Matrizen. 26
2.2 Störungstheorie, Fehlerabschätzung, iterative Verbesserung. 30
2.3 Lineare Quadratmittelprobleme. 33
2.3.1 Normalgleichungsverfahren. 34
2.3.2 Orthogonalisierungsverfahren. 34
2.4 Hinweise auf Software. 39
2.5Übungsaufgaben. 40
3 Iterationsverfahren für Gleichungssysteme 41
3.1 Gewöhnliches Iterationsverfahren und Kontraktionssatz. 41
3.2 Stationäre Einschrittverfahren für lineare Gleichungssysteme..45
3.2.1 Allgemeine Konvergenzaussagen. 45
3.2.2 Basisiterationen: Jacobi, Gauß-Seidel und SOR. 46
3.2.3 Richardson-Iteration und Vorkonditionierung. 52
3.3 Krylov-Teilraum-Verfahren. 54
3.3.1 Symmetrische positiv definite Systeme: CG. 55
3.3.2 Unsymmetrische Systeme: CGNR, CGNE und GMRES. 58
3.4 Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme. 60
3.4.1 Lineare Konvergenz und das Ostrowski-Theorem. 60
3.4.2Überlineare Konvergenz und Newton-Verfahren. 63
3.4.3 Globalisierung. 68
3.5 Hinweise auf Software. 71
3.6Übungsaufgaben. 71
4 Eigenwertprobleme 73
4.1 Transformationsverfahren. 75
4.2 Teilraumiterationsverfahren. 81
4.3 Hinweise auf Software. 85
4.4Übungsaufgaben. 86
5 Interpolation und Approximation 87
5.1 Interpolation. 87
5.1.1 Interpolation mit Polynomen. 88
5.1.2 Interpolation mit Splines. 97
5.2 Approximation. 109
5.2.1 Diskrete Quadratmittelapproximation. 109
5.2.2 Weitere Approximationsprinzipien. 114
5.3 Hinweise auf Software und ein Ausblick: Mehrdimensionale Interpolation und Approx...
5.4Übungsaufgaben. 118
6 Numerische Differentiation und Integration 119
6.1 Differenzenformeln zur Differentiation. 119
6.2 Zusammengesetzte Quadraturformeln. 122
6.3 Erhöhung der Konvergenzordnung durch Extrapolation. 125
6.4 Gauß-Formeln und verwandte optimale Quadraturformeln...128
6.5Übungsaufgaben. 130
7 Anfangswertaufgaben 131
7.1 Explizite Einschrittverfahren. 132
7.1.1 Eine Analyse des Euler-Verfahrens. 133
7.1.2 Runge-Kutta-Verfahren höherer Ordnung. 135
7.1.3 Konsistenz und Stabilität. 137
7.1.4 Schrittweitensteuerung. 140
7.2 Mehrschrittverfahren. 142
7.2.1 Stabilität von Mehrschrittverfahren. 144
7.2.2 Startwerte und Prädiktor-Korrektor-Verfahren. 146
7.3 A-Stabilität und steife Systeme. 147
7.3.1 A-Stabilität. 147
7.3.2 Steife Systeme. 154
7.4 Hinweise auf Software und ein Ausblick: Algebro-Differentialgleichungen. 156
7.5Übungsaufgaben. 157
8 Randwertaufgaben 159
8.1 Eine Einführung in die grundlegenden Diskretisierungstechniken 160
8.2 Spline-Kollokation. 170
8.3 Die Methode der finiten Elemente. 174
8.3.1 Der Ausgangspunkt der Methode. 175
8.3.2 Beispiele von finiten Elementen und die Generierung des diskreten Problems. 178
8.3.3 Grundwissen zum Konvergenzverhalten. 184
8.3.4 Erweiterungen des Grundkonzeptes. 189
8.3.5 Adaptive FEM..194
8.3.6 Das Mehrgitterprinzip. 198
8.4 Raum und Zeit. 201
8.4.1 Eindimensionale Wärmeleitung..202
8.4.2 Die Linienmethode. 204
8.5 Hinweise auf Software. 207
8.6Übungsaufgaben. 207
Literaturverzeichnis 211
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Sachwortverzeichnis
A
Ähnlichkeitstransformation, 76
Algebro-Differentialgleichung, 156
Anfangs-Randwertaufgabe, 202, 204
Anfangswertaufgabe, 131, 206
Ansatzfunktionen, 17, 87, 110, 164, 181, 185, 205
Ansatzverfahren, 17, 164, 169
Approximation, 87, 109, 114
- nichtlineare, 113
- Tchebyscheff-, 114, 116
Arnoldi-Prozeß, 59
asymptotische Entwicklung, 18, 125
B
Banachscher Fixpunktsatz, 42
baryzentrische Koordinaten, 180
Basis, 88
- A-orthogonale, 56
- hierarchische, 179
- lokale, 181
- nodale, 178
Bilanzgleichung, 163, 192
Bilinearform, 112, 166, 175
- Stetigkeit, 186
- symmetrische, 166, 167, 175, 206
- V-Elliptizität, 186
C
Cea-Lemma, 186, 192
Computergenauigkeit, relative, 15
D
Defekt, 32, 138, 199
Differentiation
- automatische, 67
- numerische, 101, 119
Differenzengleichung, 145, 148
Differenzenquotient, 18, 91, 120, 121
Differenzenstern, 184, 202
Dinerenzenverfahren, 160, 186, 202
- gewöhnliches, 161, 179, 184
Diskretisierung, 18, 132
- konservative, 164
Divergenzform, 163
Dreieckskoordinaten, 180
E
Eigenwert, 73, 206
- dominanter, 81
Einschrittverfahren
- explizites, 132, 140
- stationäres, 41, 45, 60
Element
- matrix, 182
- Dreiecks-, 188, 191
- isoparametrisches, 190, 191
- Referenz-, 180, 191
Euler-Verfahren
- explizites, 132-135, 147, 155
- implizites, 150, 158
- verbessertes, 137
Extrapolation, 18, 95, 125, 135
F
Faktorisierung
- Cholesky- oder LLT -, 27, 34
- Dreiecks- oder LU-, 24, 26
- orthogonale oder QR-, 34
unvollständige, 53
Fehler, 126, 174, 185, 188
- Approximations-, 186, 187
- Beobachtungs-, 110
- Diskretisierungs-, 134
- Gesamt-, 121, 134, 172
- Interpolations-, 94, 188
- Konsistenz-, 203
- Rundungs-, 15, 121, 134
Fehlerorthogonalität, 167, 186, 189, 196
Fehlerschätzer, 141, 194, 195, 197
FEM, 160, 169, 174
- adaptive, 194, 197
- gemischte, 189
- lineare, 198
- nichtkonforme, 189, 197
FEM-Raum, 186
finites Element, 180
- lineares, 182, 183, 193, 196, 206
- quadratisches, 182
Fixpunktgleichung, 16, 41, 60
Fourier- Koeffizienten, 115
Freiheitsgrade, 181
FVM, 160, 163, 192, 193
- konservative, 164
G
Galerkin-Prinzip, 166, 178, 205
Gauß-Punkte, 172, 174
Gaußscher Algorithmus, 20, 22
Gewicht, 110, 123, 129
Gewichtsfunktion, 114
Gitter, 18, 142, 160
- steuerung, 194
- äquidistantes, 119, 132
- Dreiecks-, 164
- nichtäquidistantes, 122
- Rechtecks-, 122
Givens-Drehung, 76
Glättung, 200
Gleichungssystem, 178, 182
- lineares, 19, 168, 198
- - überbestimmtes, 33
- nichtlineares, 41, 60
- tridiagonales, 28, 171, 179
Globalisierung, 68
Gramsche Matrix, 112, 115, 118
Greensche Funktion, 171
H
Householder-Spiegelung, 37, 40, 78
Householder-Tridiagonalisierung, 77
I
Integration, numerische, 119, 189, 191
Interpolation, 87, 125
- Hermite-, 94
- kubische, 93
- lineare, 90, 123, 151, 173, 187
- mit Polynomen, 88
- mit Splines, 97, 108
- quadratische, 90, 123
isoparametrisches Prinzip, 181
J
Jacobi-Matrix, 44, 67, 155, 156
K
Kollokation, 151, 160, 164, 166, 168, 174
- Spline-Kollokation, 170
Kondition, 32, 206
Konsistenz, 137, 139, 161, 184, 186
- ordnung, 138, 144
Kontraktivität, 42, 155
Kontrollpunkte, 105
Konvektions-Diffusions-Problem, 192
Konvergenz, 139, 161, 184
- beschleunigung, 125
- der Ordnung, 185
- kubische, 79, 85
- lineare, 42, 46
- quadratische, 64, 66, 124
- Super-, 174
- Supra-, 162
- überlineare, 63
Krylov- Teilraum, 55
L
Linearform, 175
Linearisierung, 17, 65, 69, 153, 172
Lipschitz-Stetigkeit, 44, 131, 140
Lumping, 206
M
Matrix
- Band-, 28
- Dreiecks-, 20, 24
- orthogonale, 37
- positiv definite, 23
- positiv semidefinite, 33
- schwach besetzte, 29
- spaltenorthonormale, 35
- strikt diagonaldominante, 23
- symmetrische, 23
- Tridiagonal-, 28
Mehrgitterverfahren, 198
- kaskadisches, 200
Mehrschrittverfahren, 140, 142
- explizites, 143, 150
- implizites, 143, 150
- lineares, 143
- Zweischritt-, 143
Methode
- der Stromliniendiffusion, 192
- des gewichteten Residuums, 167
- Fourier-, 203
- Galerkin-, 186
- Linien-, 204
- Matrix-, 203
- Rothe-, 204
- spektrale, 169
Monitorfunktion, 173
N
Nitsche-Trick, 188
Norm, 30, 31, 55, 203
O
Orthogonalisierung
- Gram-Schmidt-, 35, 36
- Householder-, 37, 39
- von Polynomen, 113
Ostrowski-Theorem, 60
P
Parameterschätzung, 34, 110
Pivotisierung, 23
Poisson- Gleichung, 184
Polynome, 88
- Bernstein-, 103
- charakteristische, 73
- Legendre-, 116, 129, 169
- orthogonale, 113, 169
- trigonometrische, 115, 169
- Tschebyscheff-, 116, 130, 169
Prolongation, 199
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