DeutschesFachbuch.de : Angewandte Mathematik, Modellbildung und, Informatik Eine Einführung für Lehramtsstudenten, Lehrer und Schüler. Mit Java-Übungen im Internet Von Thomas Sonar

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Inhaltsverzeichnis
Vorwort 7
1 Modellbildung oder: Wie hätte Leonardo modelliert?19
1.1 Das konzeptionelle Modell. 21
1.2 Das mathematische Modell. 22
1.3 Das numerische Modell. 22
1.4 Ein Beispiel. 23
1.4.1 Das konzeptionelle Modell. 23
1.4.2 Das mathematische Modell. 24
1.4.3 Das numerische Modell. 26
1.5 Der Modellierungszyklus. 29
2 Wie schnell wächst der Fußpilz?31
2.1 Ein einfaches Modell. 31
2.2 Ein realistischeres Modell. 35
2.3 Weitere diskrete Modelle. 40
2.3.1 Masernepidemien. 40
2.3.2 Ein Alibi zur Mordzeit. 46
3 Wie wirtschaftlich ist mein Betrieb?53
3.1 Modellierung der Geschäftsdaten. 53
3.1.1 Lineare Splines. 55
3.1.2 Nullstellensuche. 57
3.2 Exkurs: Interpolation mit Polynomen. 59
3.2.1 Lagrange-Polynome. 59
3.2.2 Die Algorithmen von Neville und Aitken und das Horner-Schema. 62
3.2.3 Das Newton-Polynom. 67
3.2.4 Dividierte Differenzen auf Javanesisch. 71
3.2.5 Interpolationsfehler. 75
3.2.6 Splines. 78
3.3 Exkurs: Nullstellensuche. 98
3.3.1 Einige wichtige Algorithmen. 99
3.3.2 Theorie der Iterationsverfahren. 107
4 Wie sendet Asterix Geheimbotschaften an Teefax?113
4.1 Ein Verschlüsselungsmodell. 114
4.1.1 Die modulo-Funktion. 116
4.1.2 Javamodulonesisch. 119
4.2 Bemerkungen. 120
5 Was haben Tomographie und Wasserleitungen gemeinsam?123
5.1 Computertomographie. 123
5.2 Ein Rohrleitungsnetz. 128
5.3 Der Gaußsche Algorithmus. 130
5.4 Zurück zur Modellierung. 135
5.5 Iterative Methoden. 137
5.5.1 Das Gauß-Seidel-Verfahren. 139
5.5.2 Problematische Systeme. 141
6 Wie fließt der Straßenverkehr?145
6.1 Eine Frage der Betrachtung. 145
6.2 Das Geschwindigkeitsfeld. 146
6.3 Geschwindigkeit, Verkehrsfluss und Verkehrsdichte. 148
6.3.1 Fluss und Dichte. 148
6.3.2 Der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Fluss und Dichte. 150
6.3.3 Der Satz von der Erhaltung der Autos. 151
6.3.4 Geschwindigkeitsmodelle. 153
6.4 Partielle Differenzialgleichungen. 158
6.4.1 Die Lösung der linearen Differenzialgleichung. 159
6.4.2 Die Ausbreitung linearer Dichtewellen. 162
6.4.3 Einschub: Numerik von Transportgleichungen. 163
6.4.4 Ungleichförmiger Verkehr. 171
6.4.5 Anfahrvorgang an einer grünen Ampel. 173
6.4.6 Unstetige Verkehrsdichte. 176
6.4.7 Anhalten vor einer roten Ampel. 181
7 Dem Zufall keine Chance?185
7.1 Zur Berechnung von Fläche und Volumen. 185
7.2 Die Mathematik des Zufalls. 189
7.3 Numerische Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. 193
7.4 Mehrdimensionaler Zufall. 199
7.5 Wie werde ich zufällig?201
7.5.1 Wie zufällig ist der Zufall?204
7.6 Fortpflanzung und Genetik. 206
8 Wie fängt der Hai die Beute?211
8.1 Das Lotka-Volterra-Modell. 211
8.2 Eine qualitative Analysis. 213
8.3 Numerische Modellierung. 217
8.3.1 Die Taylor-Methode. 219
8.3.2 Die Runge-Kutta-Verfahren. 221
8.4 Ein diskretes Räuber-Beute-Modell. 224
8.4.1 Die Modellannahmen von Wa-Tor. 225
8.4.2 JaWa-Tor. 227
8.5 Mahnende Worte. 227
Literatur 229
Index 233
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Index
3/8-Formel, 197
O, 34
ALGOL, viii
C++, viii
C, viii
FORTRAN, viii
Java, viii
Pascal, viii
RANDU, 203
A
Abhängigkeitsbereich, 165
- numerischer, 166
Abkühlungsgesetz, 47
Abkühlungsmodell, 46
Abschnittspolynome, 68
Ähnlichkeitslösungen, 176
Aitken-Algorithmus, 65
Alphabet, 113
Ampelmodell
- Anfahren, 173
- Anhalten, 181
Anfangs-Randwertproblem, 26
Anfangsbedingung, 160
Anfangsbedingungen, 25
Anfangswerte, 165
Anfangswertfunktion, 168
Applets, ix
Approximation erster Ordnung, 34
Asterix, 113
Autonome Systeme, 213
B
Basis, 130
Basispolynome, 55
Bestimmtheitsbereich, 165
bijektiv, 114
Binomialverteilung, 192
Bisektionsalgorithmus, 57
Bisektionsverfahren
- Algorithmus, 57
Brune, Gerhard, xiii
Buffonsches Nadelproblem, 199
C
Caesar, Gaius Julius, 113
CFL-Bedingung, 167
Chaos, 39
Charakteristiken, 161
Computertomographie, 123
Courant, Richard, 167
D
Differenz
- dividierte, 68
- - Programmierung, 71
- rückwärts, 169
- vorwärts, 169
- zentrale, 168
Differenzengleichung, 29
- logistische, 36
- System, 209
Differenzenmolekül, 169
Differenzenschema, 70
Differenzenverfahren, 165
- explizit, 165
- implizit, 165
Differenzialgleichung
- gewöhnliche, 31
- lineare, 159
- partielle, 153, 158
Diskretisierung, 23, 124, 217
E
Eliminationsprozess, 132
entier, 117
Erhaltungsform, 158
Erhaltungssätze
- differenzielle, 153
- integrale, 152
Erwartungswert, 191
F
Förster, Frank, xii
Feyerabend, Uwe, xiii
Fixpunktgleichung, 107
Friedrichs, Kurt Otto, 167
Fußpilz, 31
Fundamentaldiagramm, 155
Funktionsdarstellung, 55
G
Gauß, Carl Friedrich, 139, 192
Gauß-Seidel-Verfahren, 139
Gaußklammer, 117
- Programmierung, 119
Gaußsche Quadraturregeln, 198
Gaußscher Algorithmus, 130, 132, 148
Gauß, Carl Friedrich, 198
Genetik, 206
Geschwindigkeitsfeld, 146
Geschwindigkeitsmodelle, 153
Gewichte, 196
Gitterquotient, 166
Gleichungssstem
- lineares unterbestimmtes, 125
Gleichungssystem
- homogenes, 130
- inhomogenes, 130
- lineares, 125, 129
- - Direkte Methoden, 137
- - Iterative Methoden, 137
- - Lösbarkeitsbedingung, 134
- tridiagonales, 90
Gleichverteilung, 188, 191
Grahs, Thorsten, xi, xii
H
Hütchenfunktion, 55
HAL, 115
Homepage, xi
Horner-Schema, 65
I
IBM, 115, 203
Integration, numerische, 194
Interpolation, 56
Interpolationsfehler, 75
Interpolationsproblem, 59
Intervallschachtelung, 57
Isomorphismus, 114
Iteration, 48
Iterationsverfahren
- Theorie, 107
K
Keplersche Fassregel, 196
Kern, 130
Klasse, viii
Koeffizientenschema
- erweitertes, 132
Konvektions-Diffusionsgleichung, 25
Kubrick, Stanley, 115
Kutta, Wilhelm Martin, 221
L
Löwenfangalgorithmus, 57
Lagrange-Polynome, 195
Lagrange-Polynome (s.a. Basispolynome), 59
Laplace-Operator, 25
Leonardo da Vinci, 19
Lewy, Hans, 167
Lineare-Kongruenz-Methoden, 202
Lotka-Volterra-Modell, 213
M
Masernepedemie, 40
Matrix
- Kern einer, 130
- Rang einer, 134
- Vandermonde, 62, 141
Messungen
- Vergleich mit, 30
Modell
- deterministisches, 185
- konzeptionelles, 21, 23
- mathematisches, 22, 24
- - diskretes, 23
- - kontinuierliches, 23
- numerisches, 22, 26
Modellierungszyklus, 29
modulo, 116
- Definition, 117
- Programmierung, 120
Monte-Carlo-Methoden, 189
N
Netzgenerierung, 26
Neville-Algorithmus, 64
Neville-Lemma, 63
Newton-Cotes-Formeln, 197
Newton-Polynom, 67
- Auswertung, 74
Newton-Verfahren, 105
- Algorithmus, 106
Normalverteilung, 192
Nullstellen, 54
Nullstellensuche, 57, 98
O
Obelix, 113
Objektorientierung, viii
Occams Rasierer, xii
Ort-Zeit-Zusammenhang, 146
P
Partikel, 145
Poissonverteilung, 192
Populationsdynamik, 31
- Differenzengleichung, 34
- Differenzialgleichung, 31
- Verbessertes Modell, 35
Pulcherrima, 197
Q
Quadratur, 194
Quadraturfehler, 198
Quasilineare Form, 158
R
Räuber-Beute-Modelle, 211
Rückwärtssubstitution, 134
Randbedingung, 181
Randbedingungen, 25
- natürliche, 86
Rang, 134
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