Vorwort

Angewandte Mathematik, Modellbildung (Modellierung) und Informatik - was ist das eigentlich? Dahinter steckt in gewisser Weise die alte Vorlesung Numerik für Lehramtskandidaten, die unter diesem (oder ähnlichem) Titel an unseren Hochschulen für Studierende des Lehramtes angeboten wird. Allerdings macht es wenig Sinn, gerade wenn man an die Schulen denkt, Numerische Mathematik als Selbstzweck zu präsentieren. Wo ist der Sinn von Interpolation, Approximation und der Lösung linearer Systeme, wenn ich gar nicht weiß, in welch vielfältigen Problemen diese Techniken anwendbar sind? Bei der Suche nach Anwendungen stößt man selbstverständlich auf die Modellierung technischer, ökonomischer und biologischer Fragen. Desweiteren muss das Modell in irgendeiner Form auf einen Rechner abgebildet werden, wozu man einige Kenntnisse aus der Informatik benötigt. Bei dieser Implementierung des Modells spielen natürlich Algorithmen der Numerischen Mathematik eine zentrale Rolle. Damit ist der etwas längliche Titel dieser Vorlesung vollständig erklärt und die Vorlesung inhaltlich abgesteckt.

Der Abschluss eines jeden Modellierungszyklus besteht in der Implementierung eines Simulationsprogramms auf einem Computer. Dazu muss man das numerische Modell in einer Programmiersprache in eine für die Maschine verarbeitbare Form bringen. Wir haben an dieser Stelle unsere Wahl - Java - zu rechtfertigen. Wenn Sie schon etwas Erfahrung haben, werden Sie wissen, dass es sehr viele Programmiersprachen gibt: FORTRAN, Pascal, C und wie sie alle heißen. FORTRAN (von FORmula TRANslator) ist eine uralte Sprache, deren Wurzeln bis in die 50er Jahre zurückreichen, die sich aber nach wie vor einiger (abnehmender) Beliebtheit in Ingenieurskreisen erfreut. Das Konkurrenzprodukt hieß damals ALGOL (von ALGOrithmic Language), war aber nur für geringe Zeit wirklich erfolgreich und ist heute tot. Pascal ist eine hübsche kleine, vom Schweizer Niklaus Wirth in den siebziger Jahren entwickelte Sprache, die man sehr schön zur Erlernung der strukturierten Programmierung verwenden konnte. Aus diesem Grund war sie (und ist(?)) an Schulen sehr beliebt. Die Sprache C ist ebenfalls alt. Sie wurde im Zuge des Betriebssystems Unix entwickelt und ist eine harte Sprache. Ihr Sprachumfang ist zwar sehr klein, aber ein gutes C-Programm verwendet das Konzept von Zeigern (pointern) und kann dadurch äußerst komplexe Operationen durchführen, aber auch schnell unübersichtlich werden. In unserer Zeit hat es sich durchgesetzt, objektorientierte Programmiersprachen zu verwenden. Die Idee der Objektorientierung ist zwar ebenfalls nicht neu, aber erst heute sind unsere Computer und die auf ihnen laufenden Werkzeuge mächtig genug, um diese Idee in die Tat umzusetzen. Ein Objekt besteht dabei im wesentlich aus Daten und Methoden, die gemeinsam in Form einer sogenannten Klasse implementiert werden. Eine in der Praxis häufig verwendete Sprache ist C++ ("Zeh plus plus"), die so entwickelt wurde, dass ein C-Programmierer jederzeit den Umstieg wagen kann. Noch moderner - und vermutlich in der Zukunft die Sprache der Wahl - ist Java ("Dschawa", nicht "Jawa"!). Java basiert ebenfalls auf C, ist aber bedingungsloser der Objektorientierung gewidmet als C++. Ein Programm selbst ist bereits eine Klasse! Wir haben uns für Java entschieden, weil Sie damit eine moderne, zukunftsträchtige Sprache kennenlernen, die auf PCs unter Windows ebenso verfügbar ist wie auf Unix-Rechnern oder Großrechnern. Die Chance, als PC-Benutzer an Java vorbeizukommen, ist äußerst gering, zumal Java die Sprache des Internets ist. Java kommt mit einer eigenen Graphik, mit sogenannten Applets lassen sich bewegte Bilder erzeugen, die im Browser laufen, etc., etc. Bei der heutigen PC-Ausstattung der Schulen ist es sicher, dass Java vorhanden ist, was man von keiner der anderen Sprachen sagen kann. Wir können (und wollen(!)) Ihnen die gesamte Sprache gar nicht zeigen und es würde auch mehr verwirren als erhellen. Wenn Sie unsere Programme nur passiv ausprobieren möchten, benötigen Sie lediglich einen funktionsfähigen Java-Interpreter. Sollten Sie mehr über die Sprache wissen wollen, dann verweise ich Sie auf eine inzwischen unüberschaubar gewordene Anzahl von Lehrbüchern. Uns hat am besten das Buch [7] von Richard Davies gefallen, da es sich wirklich mit der Umsetzung mathematischer Algorithmen beschäftigt. Auch das Buch [20] aus der Schaum-Reihe ist empfehlenswert. Das Buch [18] von Norman Hendrich ist eine sehr schöne Einführung in die Sprache. Aus der "... für Dummies"-Reihe stammt [22]. Hier geht es deutlich mehr um das Schreiben von Applets (lustige bunte Männchen laufen über den Bildschirm), aber das ist ja schließlich auch ein wichtiger Bestandteil von Java. Eine Standard-Referenz ist sicher das Werk [11] von David Flanagan. Hier sollte sich kein Anfänger versuchen! Die Information ist so dicht gepackt, dass ein zweiter Band [12] nötig war, um die Programmierbeispiele aufzunehmen. Die Standard-Referenz ist wohl das Buch [19], sozusagen die von den Erfindern (der Firma SUN) abgesegnete Bibel. Bei 742 Seiten versteht es sich aber von selbst, dass hier nur noch echte Java-Freaks ins Schwärmen geraten.

Nun zu den Inhalten. Im ersten Kapitel diskutieren wir drei grundsätzliche Schritte in der Modellierung, die den Rahmen dieses Buches abstecken. Dann wenden wir uns in Kapitel 2 der Modellierung eines einfachen Wachstumsvorganges zu. Hier ist das Lernziel, dass der Übergang von einem kontinuierlichen mathematischen Modell zu einem diskreten numerischen Modell mit großer Vorsicht durchzuführen ist. Wir begeben uns dabei auf das Gebiet der nichtlinearen Dynamik, die mit dem Stichwort des Chaos verbunden ist. Zwei weitere diskrete Modelle runden das Kapitel ab. In Kapitel 3 geht es um das Problem eines Zirkelherstellers, der um seinen Gewinn fürchtet. Bei der Analyse seiner Verkaufszahlen stoßen wir auf ein Interpolationsproblem, was uns zu den linearen Splines führt. Bei der weiteren Analyse der Verkaufszahlen tritt das Problem der numerischen Nullstellensuche auf, das wir durch das einfache Bisektionsverfahren lösen. Diese einfachen Hilfsmittel erlauben bereits eine befriedigende Lösung des Wirtschaftlichkeitsproblems. Natürlich möchten interessierte Geister nun etwas mehr über die Problemfelder Interpolation und Nullstellensuche erfahren und das erforderliche Material findet sich in zwei Exkursen. Wegen der enormen praktischen Bedeutung gehen wir etwas genauer auf Splines ein. Kapitel 4 befasst sich mit der einfachsten Form, Nachrichten zu verschlüsseln. In diesem Kontext können wir nämlich eine der wichtigsten Hilfsfunktionen in der Numerik - die Modulo-Funktion - einführen. Kapitel 5 ist der Lösung linearer Gleichungssysteme gewidmet. An Hand zweier Modellierungsbeispiele arbeiten wir uns zum Gaußschen Algorithmus vor, mit dessen Hilfe wir konstruktiv alle wichtigen Fragen der Lösbarkeit linearer Systeme beantworten können. Das Gebiet der iterativen Löser ist in den letzten Jahrzehnten förmlich explodiert, so dass ich auf entsprechende Fachliteratur verweisen muss. Wir haben uns auf eine klassische Methode - das Gauß-Seidel-Verfahren - beschränkt. Ein in gewisser Hinsicht zentrales Kapitel ist Kapitel 6 über die Verkehrsmodellierung auf Straßen. Hier gehen wir in der Modellierung tatsächlich bis hin zu nichtlinearen partiellen Differenzialgleichungen! Entgegen ernsten Befürchtungen, die Lehramtskandidaten zu überfordern, erwies sich dieses Kapitel als echter Renner; vielleicht ist das Autofahren heute ja schon eine kulturelle Kollektiv-Ur-Erfahrung? In Kapitel 7 kommt der Zufall zu Wort. In der Numerik spielt der Zufall in Form der Monte-Carlo-Methoden eine immer größer werdende Rolle, aber auch in diskreten Modellen der Diffusion und in zellulären Automaten taucht der Zufall in Form von Markov-Prozessen auf. Noch komplexer wäre eine stochastische Beschreibung der Turbulenz. Alle aufgeführten Beispiele gehen bereits weit über den Rahmen unserer Vorlesung hinaus. Daher habe ich mich auf den zentralen Aspekt der Zufallszahlengeneratoren beschränkt. Bei der Diskussion der Normalverteilung taucht allerdings ein nicht elementar integrierbares Integral auf und ich konnte mir einen Abstecher in die Quadraturverfahren an dieser Stelle nicht verkneifen. Im letzten Kapitel 8 stehen Räuber-Beute-Modelle im Vordergrund. Wir starten mit dem klassischen Lotka-Volterra-Modell, erläutern daran elementare Methoden zur Integration gewöhnlicher Differenzialgleichungen und kontrastieren das kontinuierliche Modell mit dem diskreten Wasserplaneten Wator, auf dem Haie und andere Fische leben. Bei der Beschreibung von Wator begegnen uns an prominenter Stelle die Modulo-Funktion und ein Zufallszahlengenerator, für die wir bereits in früheren Kapiteln vorgearbeitet haben.

Sie werden schnell feststellen, dass die einzelnen Kapitel sehr unausgewogenen sind. Ich sehe dieses Problem auch! Der Behandlung von Interpolation, Nullstellensuche und Transportgleichungen ist ungleich viel mehr Platz gewidmet als der Lösung linearer Gleichungssysteme, der numerischen Lösung gewöhnlicher Differenzialgleichungen oder der stochastischen Simulation. Die Leserin/der Leser möge mir verzeihen! Dieses Buch versucht lediglich, die Welt der Modellierung für Studierende des Höheren Lehramtes in deutscher Sprache zu erschließen! Die getroffene Auswahl zeigt daher im wesentlichen die Vorlieben des Autors.

Zu jedem Kapitel gibt es Tipps zur Umsetzung in Java-Programme oder vollständige Java-Implementierungen auf der begleitenden Internet-Homepage

http://www.mathematik.tu-bs.de/FA-Workgroup/java/,

die von Thorsten Grahs entwickelt, aufgebaut und gewartet wird. Im Text eingestreut finden Sie Übungsaufgaben, die sich meistens auf das Schreiben von Programmen beziehen. So wie man Schwimmen nur dadurch erlernt, dass man ins Wasser geht und Schwimmen praktiziert, so lernt man den Umgang mit einer Programmiersprache nur durch den Umgang mit dieser Programmiersprache (alte buddhistische Weisheit).

Wenn Sie im Rahmen der Übungsaufgaben die Formulierung Schreiben Sie ein Java-Programm... finden, dann befindet sich ein entsprechendes Programm mit hoher Wahrscheinlichkeit auf unserer obigen Internetseite. Damit können Sie sehr schnell mit den Algorithmen "spielen" und sich einige Java-Implementierungen ansehen und davon lernen. Das sollte Sie jedoch nicht davon abhalten, an Ihrem Rechner eigene Experimente durchzuführen, und dazu gehört auch das eigene Entwerfen und Schreiben von Programmen! Nur dort, wo die Algorithmen etwas kitzlig sind, wie bei der Implementierung der dividierten Differenzen, finden Sie echte Java-Code-Schnipsel im Text.

Danken möchte ich besonders den Herren Prof. Dr. U. Tietze und F. Förster vom Institut für Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik der TU Braunschweig. Beide haben eine allererste Version des Buchmanuskripts kritisch gelesen und durch ihre Bemerkungen haben sich wesentliche Verbesserungen ergeben. Insbesondere verdanke ich ihnen den festen Glauben an das Prinzip von Occams Rasierer, d.h. der bedingungslosen Verwendung der einfachsten Methoden zur ersten Erklärung eines Prinzips. Aus dem Buch [28] von Tietze et al. habe ich viele Anregungen gewonnen; ebenso aus dem von Förster et al. herausgegebenen ISTRON-Band [13].

In wesentlichen Teilen ist dieses Buch aus zwei Vorlesungen an der TU Braunschweig hervorgegangen, die ich in den Sommersemestern 2000 und 2001 gehalten habe. Diese Veranstaltung mit dem Titel Schulbezogene Angewandte Mathematik, Modellierung und Informatik bestand aus drei Semesterwochenstunden Vorlesung und zwei Stunden Übung, die von Thorsten Grahs betreut und im wesentlichen im Computerraum des Instituts für Analysis zugebracht wurde. Wir danken unseren Studierenden dieser beiden Vorlesungen, denn immerhin waren sie unsere Versuchskaninchen!

Danken möchte ich meiner Familie, die mich beim Entwurf der Vorlesung, beim Schreiben des Buches und in den vielen, vielen Stunden, die man in unserer heutigen Zeit als Universitätsprofessor mit Planungen und Verwaltungsarbeit in endlosen Sitzungen verbringt, vermissen musste. Ihr ist daher dieses Buch gewidmet.

In diesem Sinne habe ich auch meinen engsten Mitarbeitern Andrea Bürgel, Steffi Schmidt, Warisa Yomsatieankul, Thorsten Grahs, Asie Jemal Kabir und Ingo Thomas für Ihr Verständnis zu danken, da sie in letzter Zeit häufiger auf mich verzichten mussten. Ganz besonders bedanke ich mich dabei bei der "Mutter" der Arbeitsgruppe, Frau Dorothea Agthe, für ihre nie nachlassende Geduld und die klaglose Übernahme vieler kleiner und großer Tätigkeiten, zu denen sie nie verpflichtet war.

Dank gebührt auch den Lehrern StD Gerhard Brune und StR Uwe Feyerabend des Wilhelm-Gymnasiums in Braunschweig. Von Ihnen habe ich durch ein gemeinsames, von der Volkswagenstiftung gefördertes Schulprojekt, Einblicke in die tägliche Arbeit mit Schülern bekommen, ohne die dieses Buch nicht seine jetzige Form bekommen hätte. Möge es auch für Lehrer und Schüler nützlich sein!

Weiterhin danken möchte ich Frau Schmickler-Hirzebruch vom Verlag Vieweg für die freundliche Aufnahme dieses Buches in das Verlagsprogramm.