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Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 1
0.1 Das Problem der Codierungstheorie. 1
0.2 Der binäre symmetrische Kanal. 3
0.3 Beispiel eines fehlerkorrigierenden Codes. 5
0.4 Satz von Shannon. 6
1 Lineare Codes 13
1.1 Allgemeine Theorie. 13
1.2 Hamming Codes. 18
1.3 Beispiel eines BCH-Codes. 22
1.4 Der duale Code. 25
1.5 Reed-Muller-Codes. 29
2 Spezielle gute Codes 37
2.1 Hadamard Codes. 38
2.2 Binäre Golay-Codes. 42
3 Zyklische Codes 47
3.1 Grundlagen und Definitionen. 47
3.2 Idempotente eines zyklischen Codes. 52
3.3 BCH-Codes. 55
3.4 Codierer für zyklische Codes. 63
3.5 Decodierung von BCH-Codes. 67
4 Reed-Solomon-Codes 73
4.1 RS-Codes. 73
4.2 Interleaving. 79
4.3 Codierung auf Speichermedien. 83
5 Schranken für Codes 89
5.1 Gilbert-Varshamov Schranke. 90
5.2 Obere Schranken. 93
6 Geometrische Codes 103
6.1 Algebraische Kurven. 103
6.2 Definitionen und erste Eigenschaften. 115
6.3 Klassische Goppa-Codes. 119
6.4 Schranken für geometrische Codes. 123
6.5 Kurven mit vielen rationalen Punkten. 126
7 Rationale Punkte auf algebraischen Kurven 145
7.1 Zetafunktion einer algebraischen Kurve. 145
7.2 Rationalität der Zetafunktion. 149
7.3 Riemannsche Vermutung im Kurvenfall. 155
7.4 Schranken für die Anzahl der Punkte. 162
8 Geometrie der algebraischen Kurven 165
8.1 Ebene Kurven. 165
8.1.1 Formen. 166
8.1.2 Multiplizität. 168
8.1.3 Schnittzahl. 172
8.2 Desingularisierung von Kurven. 177
8.2.1 Aufblasungen. 177
8.2.2 Cremona-Transformation. 182
8.2.3 Nichtsinguläre Modelle. 189
8.3 Satz von Riemann-Roch. 196
8.3.1 Formel von Riemann-Roch. 196
8.3.2 Satz von Riernann. 200
8.3.3 Kanonischer Divisor. 202
8.3.4 Beweis des Satzes von Riemann-Roch. 205
8.4 Residuensatz. 207
8.5 Hurwitzsche Geschlechterformel. 214
9 Implementierung von geometrischen Codes 217
9.1 Codierung. 217
9.2 Decodierung nach Skorobogatov und Vladut. 224
9.3 Decodierung nach Feng und Rao. 229
AKommutative Algebra 237
A. 1 Galoistheorie. 237
A. 2 Endliche Körper. 240
A. 3 Ganze Ringerweiterungen. 243
A. 4 Affine Algebren. 251
A. 5 Differentiale. 254
BAlgebraische Geometrie 261
B. 1 Affine Varietäten. 261
B. 2 Varietäten. 266
B. 3 Eigenschaften von Morphismen. 269
Literaturverzeichnis 273
Index 276
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Index
A
Abbildung
- rationale, 190
affine k-Algebra, 251
Aufblasung, 177
- exzeptionelle Gerade, 177
B
Bewertungsring, 249
Bezout
- Satz von, 175
BSC, 4
C
Code, 14
- Äquivalenz, 16
- äußerer, 80
- AG, 115
- Automorphismengruppe, 45
- BCH, 57
- - in engerem Sinne, 57
- - primärer, 57
- Blocklänge, 14
- Codewörter, 14
- Decodierungsregel, 7, 14
- dualer, 26
- erweiterter, 38
- erzeugende Funktion, 27
- Erzeugerpolynom, 48
- fehlerkorrigierender, 14
- Fehlerwahrscheinlichkeit, 7
- geometrischer, 115, 116
- Golay, 42, 60
- Goppa, 115
- Hadamard, 40
- Hamming, 20
- Hamming [7,4], 20
- Hermite, 118
- Informationsrate, 7, 14
- innerer, 80
- klassischer Goppa-Code, 121
- Kontrollpolynom, 49
- linearer, 14
- maximal, 49
- MDS, 75
- minimal, 49
- Minimaldistanz, 14
- Paritätscode, 4
- perfekter, 18
- punktierter, 37
- Reed-Muller, 30, 33
- Reed-Solomon, 73, 74, 78
- - in engerem Sinne, 74
- RM, 30
- RS, 73
- selbstdualer, 26
- Spreizung, 79
- Wiederholungscode, 19
- zyklischer, 47, 48
Compact Disc, 3, 84
- Reed-Solomon Code, 77
Cremona-Transformation, 182
- exzellente Position, 183
- exzeptionelle Geraden, 182
- Fundamentalpunkte, 182
- gute Position, 183
- ungeeigneter Punkt, 187
Cross-Interleaving, 80
D
Decodierung
- BCH-Codes, 67
- Decodierungsregel, 14
- geometrischer Codes, 224, 229
- maximum-likelihood, 14
- Reed-Muller-Codes, 33
- unvollständige, 14
- vollständige, 14
Dedekindring, 250
Derivation, 254
Design, 45
Differentialform, 110, 255
- Divisor, 112
- rationale, 111
- reguläre, 110
Divisor, 110
- Äquivalenz, 110
- effektiver, 110
- Form, 181
- Funktion, 199
- Grad, 110
- Hauptdivisor, 110
- kanonischer, 112
- lineares System, 149
- Nullstellen-, 199
- Polstellen-, 199
- Support, 110
Drinfeld-Vladut-Schranke, 163
E
Entropie
- binäre, 9, 10
- q-adische, 90
Errors
- Burst-, 78, 83
- Random-, 83
Erzeugermatrix, 16
- dualer Code, 26
- reduzierte Form, 16
F
Faserprodukt, 268
Fehlervektor, 15
Fehlerwahrscheinlichkeit
- Code, 7
- Codewort, 15
Fixkurve, 270
Form, 166
- adjungierte, 181
- Dimensionsformeln, 170
- Divisor, 181
Formule explicite de Weil, 156
Frobeniusmorphismus, 241
Funktion
- rationale, 105
- reguläre, 105, 264
Funktionenkörper, 192
- nichtsinguläres Modell, 194
Funktionenkörper, 108
G
Galoistheorie
- Fixkörper, 237
- Galoisgruppe, 237
- Hauptsatzsatz, 238
- Kompositum, 239
- Translationssatz, 238
Ganze Ringerweiterung, 243
- affiner Algebren, 254
- Dedekindringe, 250
- Dimension, 248
- ganzer Abschluss, 245, 246
Ganzheitsgleichung, 243
Garbe, 265
- regulärer Funktionen, 265, 267
- relativer Differentialformen, 271
Garcia
- Beispiel, 136
Generatormatrix, 16
geometrisch, 109
Geschlecht
- arithmetisches, 201
- geometrisches, 111
- kombinatorisches, 202
Goppa-Code
- W -Konstruktion, 116
- Decodierung, 227, 235
- klassischer, 121
- residueller, 116
H
Hamming-Distanz, 14
Hamming-Norm, 13
Hasse-Weil
- Satz von, 155
Hermite
- Code, 118
- Kurve, 149
Hilbertscher Basissatz, 251
Hilbertscher Nullstellensatz, 103, 251
Hurwitzsche Geschlechterformel, 114, 215
I
Ideal
- homogenes, 106
- reduziertes, 104
Informationsrate, 14
Informationssymbol, 16
Interleaving, 79
irreduzible Komponente, 263
irreduzible Menge, 263
K
Körper
- endlicher, 240
Körpererweiterung
- galoissche, 237
- Norm, 239
- Spur, 239
Kanal
- BSC, 4
- DMC, 13
- Kapazität, 7
Kontrollmatrix, 16
- dualer Code, 26
Kontrollsymbol, 16
Koordinatenring, 105
Kurve
- affin-algebraische, 105
- arithmetisches Geschlecht, 201
- ebenes Modell, 192
- geometrisches Geschlecht, 111
- Geschlecht, 111, 197, 201
- glatte, 105
- Hermite, 118, 149
- kombinatorisches Geschlecht, 183
- nichtsinguläres Modell, 189, 194
- projektiv-algebraische, 108
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