| INHALTSVERZEICHNIS | öffnen |
Inhaltsverzeichnis
EinleitungV
InhaltsverzeichnisVI
1 Homologie 1
1.1 Die Axiome einer Homologietheorie. 1
1.2 Folgerungen aus den Axiomen. 3
1.3 Elementare Berechnungen. 10
1.4 Elementare Anwendungen. 14
1.5 Aufgaben. 17
2 Singuläre Homologie 19
2.1 Kettenkomplexe. 19
2.2 Konstruktion der singulären Homologie. 21
2.3 Beweis der Homotopieinvarianz für singuläre Homologie. 24
2.4 Beweis der Ausschneidung für singuläre Homologie. 27
2.5 Skizze der Konstruktion von Bordismustheorie. 30
2.6 Die erste singuläre Homologie und die Fundamentalgruppe. 32
2.7 Aufgaben. 34
3 CW-Komplexe 35
3.1 CW-Komplexe. 35
3.2 Abbildungen zwischen Sphären und ihre Abbildungsgrade. 43
3.3 Der zelluläre Kettenkomplex assoziiert zu einer Homologietheorie. 45
3.4 Homologische Berechnungen mit Hilfe des zellulären Kettenkomplexes 50
3.5 Eindeutigkeit der Homologie für CW-Komplexe. 56
3.6 Simpliziale Komplexe und simpliziale Homologie. 61
3.7 Aufgaben. 64
4 Euler-Charakteristik und Lefschetz-Zahlen 66
4.1 Euler-Charakteristik für endliche Kettenkomplexe. 66
4.2 Euler-Charakteristik für endliche CW-Komplexe. 68
4.3 Die universelle Eigenschaft der Euler-Charakteristik. 70
4.4 Lefschetz-Zahlen für endliche Kettenkomplexe. 71
4.5 Lefschetz-Zahlen für endliche CW-Komplexe. 74
4.6 Lefschetz-Zahlen und Euler-Charakteristiken auf Mannigfaltigkeiten. 76
4.7 Aufgaben. 77
5 Kohomologie 78
5.1 Die Axiome einer Kohomologietheorie. 78
5.2 Singuläre und zelluläre Kohomologie. 81
5.3 Die Axiome einer multiplikativen Struktur. 83
5.4 Der Kohomologiering projektiver Räume. 86
5.5 Das Cup-Produkt für CW-Komplexe. 91
5.6 Aufgaben. 93
6 Homologische Algebra 95
6.1 Der Fundamentalsatz der homologischen Algebra. 95
6.2 Der Tor-Funktor. 96
6.3 Der Ext-Funktor. 102
6.4 Das universelle Koeffiziententheorem für Homologie. 105
6.5 Das universelle Koeffiziententheorem für Kohomologie. 107
6.6 Die Künneth-Formel für Homologie. 109
6.7 Der Satz von Eilenberg und Zilber. 110
6.8 Die Künneth-Formel für Kohomologie. 111
6.9 Die Bockstein-Sequenz. 112
6.10 Direkte Systeme und direkte Limiten. 113
6.11 Inverse Systeme und inverse Limiten. 115
6.12 Homologie und Ausschöpfungen. 118
6.13 Kohomologie und Ausschöpfungen. 119
6.14 Aufgaben. 121
7 Produkte 123
7.1 Liste der verschiedenen Produkte. 123
7.2 Natürlichkeit. 124
7.3 Assoziativität. 124
7.4 Kommutativität. 124
7.5 Eins-Elemente. 124
7.6 Verträglichkeit mit Randoperatoren. 125
7.7 Relationen zwischen den Produkten. 125
7.8 Konstruktion der Produkte. 126
7.9 Die Hopf-Invariante. 127
7.10 Der Satz von Borsuk-Ulam. 130
7.11 Aufgaben. 131
8 Dualität 132
8.1 Orientierung. 132
8.2 Der Abbildungsgrad. 139
8.3 Kohomologie mit kompaktem Träger. 142
8.4 Poincaré-Dualität. 144
8.5 Poincaré-Dualität und die Euler-Charakteristik. 150
8.6 Schnittformen. 151
8.7 Jordanscher Trennungsatz. 154
8.8 Aufgaben. 156
9 Glatte Mannigfaltigkeiten und ihre Tangentialbündel 158
9.1 Glatte Strukturen. 158
9.2 Der Tangentialraum. 163
9.3 Vektorraumbündel. 170
9.4 Das Tangentialbündel. 174
9.5 Aufgaben. 175
10 Elementare Lineare Algebra 177
10.1 Konstruktionen von Vektorräumen. 177
10.2 Das Dach-Produkt von alternierenden Multilinearformen. 180
10.3 Kanonische Isomorphismen. 182
10.4 Determinante und Spur. 184
10.5 Skalarprodukte und Orientierungen. 185
10.6 Spezielle Basen. 186
10.7 Aufgaben. 187
11 Parametrisierte Lineare Algebra 190
11.1 Konstruktionen von Vektorraumbündeln. 190
11.2 Riemannsche Metriken und Orientierungen. 193
11.3 Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten. 196
11.4 Aufgaben. 201
12 Differentialformen 202
12.1 Definition einer Differentialform. 202
12.2 Das Dach-Produkt von Differentialformen. 202
12.3 Die äußere Ableitung. 203
12.4 Integration von Differentialformen. 208
12.5 Die Volumenform. 212
12.6 Aufgaben. 213
13 Der Satz von Stokes 215
13.1 Mannigfaltigkeiten mit Rand. 215
13.2 Der Satz von Stokes. 219
13.3 Anwendungen des Satzes von Stokes. 222
13.4 Aufgaben. 227
14 De Rham-Kohomologie 228
14.1 Definition der de Rham-Kohomologie. 228
14.2 Homotopieinvarianz der de Rham-Kohomologie. 228
14.3 Die Mayer-Vietoris-Sequenz für die de Rham-Kohomologie. 232
14.4 Die multiplikative Struktur auf der de Rham-Kohomologie. 234
14.5 Aufgaben. 234
15 Der Satz von de Rham 236
15.1 Glatte singuläre Koketten. 236
15.2 Glatte Kohomologietheorien. 237
15.3 Die de Rham-Abbildung. 240
15.4 Der Beweis des Satzes von de Rham. 241
15.5 Verträglichkeit mit den multiplikativen Strukturen. 241
15.6 Der Satz von Hodge-de Rham. 241
15.7 Aufgaben. 243
16 Anhang 244
16.1 Topologische Räume. 244
16.2 Die Teilraumtopologie. 245
16.3 Stetige Abbildungen. 245
16.4 Kompaktheit. 245
16.5 Zusammenhang. 246
16.6 Das 2. Abzählbarkeitsaxiom. 246
16.7 Die Summe von topologischen Räumen. 246
16.8 Das Produkt von topologischen Räumen. 247
16.9 Homotopie. 247
16.10 Identifizierungen. 249
16.11 Kategorien. 249
16.12 Funktoren und Transformationen. 251
16.13 Aufgaben. 252
Literaturverzeichnis 254
Index 257
Notation 265
[weiter lesen] |
|
|
|
|
| REGISTER | öffnen |
Index
A
Abbildung
- glatt homotope Abbildungen, 237
- glatt in x, 160
- glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten, 160
- homotope Abbildungen, 247
- stetige, 245
- von R-Kettenkomplexen, 19
- von Vektorraumbündeln, 173
- von Vektorraumbündeln über derselben Basis, 173
Abbildungsgrad, 139
- einer Selbstabbildung von Sn, 43
Abbildungskegel
- einer Abbildung von Räumen, 127
- einer Kettenabbildung, 100
Abbildungszylinder
- einer Kettenabbildung, 100
abgeschlossen, 244
Abschluss
- einer Teilmenge eines topologischen Raums, 245
additive Invariante für endliche CW-Komplexe, 70
- universelle, 70
äußere Ableitung, 207
äußere Potenz, 179
Alexander-Lefschetz-Poincaré-Dualität, 149
Alexander-Whitney-Kettenabbildung, 111
alternierende p-Form, 178
anklebende Abbildung einer Zelle, 36
asphärisch, 162
Atlas, 158, 215
- Bündelatlas, 172
- glatter, 159, 216
- glatter Bündelatlas, 174
- maximaler glatter, 159, 216
Ausblick
- Differentialtopologische und algebraisch topologische Orientierungen, 140
- Alexander-Lefschetz-Poincaré-Dualität, 149
- Ausschöpfungen und Homologietheorien ohne Dimensionsaxiom, 120
- Bordismustheorie, 30
- Charakteristische Klassen von Mannigfaltigkeiten, 171
- CW-Strukturen auf glatten Mannigfaltigkeiten, 40
- Duale Zellenzerlegung, 147
- Euler-Charakteristik und Vektorfelder, 76
- Exotische euklidische Räume, 162
- Exotische Sphären, 162
- Geometrische Schnittpaarung, 154
- Glatte Strukturen auf topologischen Mannigfaltigkeiten, 162
- Homologischer Chern-Charakter, 60
- Hopf-Invariante, 129
- Kohomologischer Chern-Charakter, 82
- Lefschetzsche Fixpunkformel, 76
- Poincaré-Dualität für kompakte Mannigfaltigkeiten mit Rand, 149
- Poincaré-Vermutung, 161
- Simpliziale Fundamentalklasse, 138
- Topologische K-Theorie, 86
Axiom
- 2. Abzählbarkeisaxiom, 246
- Ausschneidung, 2, 79
- Dimensionsaxiom, 2, 79
- Disjunkte Vereinigung, 2, 79
- Homotopieinvarianz, 2, 78, 237
- lange exakte Sequenz von Paaren, 2, 78
- Lokale Trivialität, 172
azyklisch, 99
azyklische Modelle, 111
B
Bündelatlas, 172
- glatter, 174
Bündelkarte, 172
baryzentrischer Unterteilungsoperator, 27
Basis
- duale Basis, 186
- einer Topologie, 246
- eines Vektorraumbündels, 172
- für das Tensorprodukt, 186
- für den Raum der alternierenden p-Formen, 187
- für die äußere Potenz, 187
- für die direkte Summe, 186
- orthonormale Basis, 187
- Standardbasis des Rn, 21
Basisraum eines Vektorraumbündels, 172
Bein
- d-Bein, 171
Bockstein-Operator, 112
Bockstein-Sequenz, 112
Bordismustheorie
- orientierte, 31
- unorientierte, 31
Brieskorn-Mannigfaltigkeit, 162
C
charakteristische Abbildung einer Zelle, 36
charakteristische Klasse, 171
Chern-Charakter
- homologisch, 60
- kohomologisch, 82
Cup-Cap-Relation, 126
CW-Komplex, 35
- endlich dimensionaler, 39
- endlicher, 39
- homologisch R-endlicher, 121
- n-dimensionaler, 39
- relativer CW-Komplex, 35
- unendlich dimensionaler, 39
- Unter-CW-Komplex, 39
- vom endlichen Typ, 39
CW-Paar, 39
CW-Struktur
- relative, 35
D
Dach-Produkt
- von alternierenden Formen, 180
- von Differentialformen, 202
de Rham-Abbildung, 240
de Rham-Kokettenabbildung, 240
de Rham-Kokettenkomplex, 228
Deformationsretrakt, 6
Deformationsretraktion, 6
Derivation, 166
Determinante, 184
Diagrammjagd, 3
diffeomorph, 160
Diffeomorphismus, 160
- zwischen offenen Teilmengen des euklidischen Halbraums, 216
Differential
- einer glatten Abbildung, 175
- einer glatten Abbildung in einem Punkt, 167
- eines Kettenkomplexes, 19
Differentialform
- glatt vom Grad p, 202
direkte Summe
- von Kettenkomplexen, 21
- von Vektorräumen, 177
- von Vektorraumbündeln, 190
direktes Produkt
- von Kettenkomplexen, 21
Divergenz, 224
Dualität
- Alexander-Lefschetz-Poincaré-Dualität, 149
- Poincaré-Dualität, 144
- Poincaré-Dualität für kompakte Mannigfaltigkeiten, 147
- Poincaré-Dualität für kompakte Mannigfaltigkeiten mit Rand, 149
Dualraum, 177
E
Eilenberg-MacLane-Raum, 82
Einbettung, 161
Einhängung, 8, 100
Einhängungsisomorphismus
- für Homologie, 9
- für Kohomologie, 80
Einheitskugel
- d-dimensionale, 15
Einschränkung
- eines Vektorraumbündels, 173
euklidischer n-dimensionaler Halbraum, 215
euklidischer Raum, 10
Euler-Charakteristik
- eines endlichen CW-Komplexes, 68
- eines endlichen Kettenkomplexes, 66
- homologische R-Euler-Charakteristik, 121
exakt
- exakte p-Form, 207
- exakte Sequenz, 3
- exakter Funktor, 88
- kurze exakte Sequenz von direkten Systemen, 114
excisive Triade, 5
exotische Sphäre, 162
Exponentialabbildung, 140
F
Fünfer-Lemma, 3
Faser, 172
Figur
- CW-Strukturen auf S 2, 37
- Abbildungskegel, 128
- Baryzentrische Unterteilung, 28
- Baryzentrische Unterteilung und offene Überdeckung, 29
- Beschreibung einer Fläche durch ein Wort, 54
- Bordismus, 31
- Duale Zellenzerlegung, 148
- Euklidischer Halbraum, 215
- Fundamentalgruppe und H 1(X), 33
- Fundamentalklasse auf S 2, 139
- Glockenfunktion, 194
- Homotopie von Abbildungen, 248
- Hopf-Verschlingung, 129
- Kartenwechsel, 159
- Kegel und Einhängung, 9
- Möbius-Band, 199
- Orientierbare Fläche vom Geschlecht g, 55
- Pushout, 6
- Rand vom Standard-2-Simplex, 240
- Satz vom rutschenden d, 222
- Schnittpaarung, 154
- Standard-3-Simplex und seine Seiten, 22
- Standardorientierung auf S 1, 198
- Sternförmige Menge, 231
- Tangente einer Funktion, 164
- Tangentialraum der Sphäre, 164
- Tangentialraum einer Untermannigfaltigkeit, 165
- Tautologische Vektorraumbündel, 174
[weiter lesen] |
|
|
|