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Inhaltsverzeichnis
1.Funktionen
1.1 Der Funktionsbegriff 1
1.2 Neue Funktionen aus alten 4
1.3 Notationsfragen 7
1.4 Erste Beispiele von Funktionen 9
1.5 Exponentialfunktion und Logarithmus 11
1.6 Trigonometrische Funktionen 14
1.7 Die Arcusfunktionen 15
1.8Übungsaufgaben 19
2.Die Ableitung
2.1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 21
2.2 Notationsfragen 24
2.3 Ableitungsregeln 25
2.4 Erste Beispiele 28
2.5 Ableitungen elementarer Funktionen 31
2.6 Die Ableitungen der Arcus- und Areafunktionen 35
2.7Übungsaufgaben 39
3.Integration
3.1 Riemann-integrierbare Funktionen 41
3.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 47
3.3 Partielle Integration 51
3.4 Substitution 53
3.5Übungsaufgaben 59
4.Differentialgleichungen erster Ordnung
4.1 Der Begriff der Differentialgleichung erster Ordnung 61
4.2 Drei Musterbeispiele 67
4.3 Ein Eindeutigkeitssatz für Differentialgleichungen erster Ordnung 72
4.4 Getrennte Variable 75
4.5 Homogene und inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 78
4.6 Gekoppelte Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 82
4.7Übungsaufgaben 85
5.Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
5.1 Differentialgleichungen zweiter Ordnung 88
5.2 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung 91
5.3 Konstante Koeffizienten 93
5.4Übungsaufgaben 101
6.Bereiche und Abbildungen in mehreren Variablen
6.1 Beispiele von Bereichen im Rn 103
6.2 Offene, abgeschlossene und kompakte Bereiche 109
6.3 Abbildungen in mehreren Variablen und ihre Veranschaulichung 113
6.4 Stetigkeit 119
6.5Übungsaufgaben 121
7.Partielle Ableitungen und Mehrfachintegrale
7.1 Partielle Ableitungen 123
7.2 Mehrfachintegrale 130
7.3Übungsaufgaben 138
8.Grundbegriffe der linearen Algebra
8.1 Lineare Abbildungen und Matrizen 142
8.2 Untervektorräume des Rn 150
8.3 Lineare Abbildungen zwischen Untervektorräumen. 156
8.4Übungsaufgaben 163
9.Basen und Dimensionen
9.1 Der Begriff der Basis 165
9.2 Basisergänzungssatz und Dimensionsbegriff 172
9.3 Der Rang 177
9.4 Rangbestimmung 181
9.5Übungsaufgaben 184
10.Lineare Approximation in der Analysis
10.1 Die Jacobimatrix 186
10.2 Die Jacobimatrizen von Kurven und Funktionen 192
10.3 Die mehrdimensionalen Ableitungsregeln 198
10.4 Infinitesimale Größen 202
10.4Übungsaufgaben 210
11.Multilineare Abbildungen und die Determinante
11.1 Multilinearität 212
11.2 Symmetrieeigenschaften 217
11.3 Die Determinante 220
11.4Übungsaufgaben 230
12.Quadratische Formen, Skalar- und Kreuzprodukt
12.1 Quadratische Formen 231
12.2 Skalarprodukte 238
12.3 Geometrische Bedeutung der Determinante 246
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Register
AA† 507
Abbildung 105, 113, 515
- zwischen Mengen 158
- injektive 158
- surjektive 159
- bijektive 159
- inverse 159
abelsch 393
abgeschlossene Teilmenge
- X C Rn 111
abgeschlossener Halbstrahl 2 abgeschlossenes Intervall 2
abgeschlossene Menge in einem topologischen Raum 425
Ableitung 21
- elementarer Funktionen 31
- nach der Variablen Xi 123 partielle 124
- einer Funktion längs einer Kurve 200
Ableitungsregeln 25
- für Ck -Funktionen 28
- für Potenzreihen 32 mehrdimensionale 198
Abschluss einer Menge 426
Abstand 107, 415
Additionsregel 25
Additionstheoreme 15
additive Schreibweise 393
Additivität 143
affine Abbildung 192
affiner Teilraum des Rn 154
Aktion einer Gruppe 413
algebraische Vielfachheit 473
allgemeines Intervall 2
allgemeines Rechteck 63
allgemeiner Quader 105
ALS OB 96, 97
Alter einer Flusslinie 296
alternierend 217, 464
Amplitude 100
Anfangsbedingung 64, 310
Anstieg 23
- vektorieller 83
Approximation erster Ordnung 187 Äquivalenzklasse 445 Äquivalenzrelation 445
Areafunktionen 37
Archimedes 14
Arcuscosinus arccos 16
- Nebenzweige arccosk 16
Arcusfunktionen 15
Arcussinus aresin 16
- Nebenzweige arcsink 16
Arcustangens arctan 17
- Nebenzweige arctank 18
Argument einer komplexen Zahl 534
assoziativ 389 äußere Punkte 425
autonome und nicht autonome DGLn und Systeme 307, 309, 311
BBij(M) 394
Bahn
- einer Kurve 115
- eines Punktes in einem Fluss 292
- unter einer Gruppen aktion 413
Bahnabbildung 413
Balkenfunktion 287
Basis 167, 462
- Entwicklung nach 167
- Koordinaten bezüglich einer 167
- rechtshändige bzw. linkshändige im Rn 246- reziproke 256- verallgemeinerte 543
Basisergänzungssatz 172, 463
Basisisomorphismus 169, 462
beschränkte Funktion 42
beschränkte Teilmenge X C Rn 109
Besselsche Ungleichung 278
bijektiv 159
Bild, Bildmenge 5
- einer Funktion 5
- einer Matrix 152
- einer linearen Abbildung 156
- - eines Gruppenhomo
- morphismus 397
bilinear 214
Bilinearform 231
Bogenlänge 344
CCk (M) 399
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung 241, 478, 503
charakteristische Gleichung 93
charakteristisches Polynom
- eines Differential
- operators 260
- einer 2 x 2-Matrix 320
- einer Matrix 469
- eines Operators 469, 470
Ck -Funktion 22
C∞-Funktion 22
Cr -Funktionen in mehreren Variablen 127
Cosinus cosx 14
Cotangens cotx 15
Dd/dx 24
d(x, y) 107
Darstellung 413
definit 232
Definitionsbereich 1, 114
- natürlicher 113
deformieren (eine Basis in eine andere) 246
Determinante 220, 464
- Bedeutung für Volumenmessung 250
- Berechnung für große Matrizen 229, 464
- Berechnung für kleine Matrizen 223
- Entwicklungsformeln 226, 464
- Leibnizformel 222, 464
Diagonalisierbarkeit 471
- hermitescher Matrizen 510
- hermitescher Operatoren 509
- selbstadjungierter Operatoren 483- simultane 514
- symmetrischer Matrizen 485
Diagonalmatrix 472
Diffeomorphismus 371
Differential dfx 187
Differentialgleichung gewöhnliche erster Ordnung 63- gewöhnliche zweiter bzw. n-ter O...
- zugehöriges System erster Ordnung 88, 307-309- gekoppelte Systeme 82
- Vektorschreibweise 82
- autonome 69 - lineare erster Ordnung 79- inhomogene 79- zugehörige homogene 79
- lineare zweiter Ordnung 91- inhomogene 91
- zugehörige homogene 91 - mit konstanten Koeffizienten 93
- mit getrennten Variablen 75- partielle 129
- Kurzrezept 78
differenzierbare Abbildung 187
Differenzierbarkeit 21, 187 partielle 124
Dimension 173, 463
Dimensionsformel
- für Untervektorräume 176
- für lineare Abbildungen 178
direkte Summe 155
direktes Produkt von Gruppen 395
diskrete Topologie 421
Distributivgesetze 398
Drehsinn beim Phasenportrait 336
Drehungen 394, 481
Dreiecksmatrix 228
Dreiecksungleichung 111, 242, 415
Druckverteilung im Innern eines Sterns 86
dynamische Suszeptibilität 289
dynamisches System 292
Ee-Ansatz 93, 319, 324
e-Funktion 11
Eigenwert, Eigenvektor, Eigenraum
- für 2 x 2-Matrizen 320
- für Operatoren 465
- für Matrizen 468
- Verfahren zur Bestimmung 471
Eindeutigkeitssatz 72
Beweis 523
eingeschwungene Lösung 289
Einheitsmatrix 149
Einheitsvektoren 143, 144, 461
Einschränkung 5
Einsform, 1-Form 351, 352
- dr 355
- exakte 358
- geschlossene 361
- konservative 358
- zugehöriges Vektorfeld 356
elementare Funktionen 18, 33
elementare Umformungen 182
Elementarmatrizen 237
Ellipse 490
Ellipsoid 490
Entwicklung
- nach einer Basis 167
- nach einer ON-Basis 243, 478, 503
Entwicklungsformel 243
Entwicklungskoeffizienten 167
Ergänzungslemma 172, 463
erstes Integral 317
euklidischer Vektorraum 477
Eulerformel 97
Exponentialfunktion 11- allgemeine 13
Funktionalgleichung 11
- expa zur Basis a 13
Ff+, f 60
f-1 : Y -> X 159
F 2 402
Familie 427
Fermi-Funktion 39
Fluss 292
Flussabbildung 292
Flussaxiome 292
Flusslinie 292, 296
- injektive 295
- periodische 295
- stationäre 295
- Alter, Lebensdauer 296
Folge 440
Fourierkoeffizienten einer Funktion 277
Fourierpolynom 266
- best approximierendes 273
Fourierreihe 267
- einer Funktion 277
Fouriertransformierte 536
Fubini 133
für Quader 133
für allgemeinere Integrationsbereiche 137
Fundamentalsatz der Algebra 407
Fundamentalsystem 91
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