Vorwort

Ich gebe zu, dass alles und jedes in seinem Zustand verharrt, solange es keinen Grund zur Veränderung gibt. (Leibniz)

Die Notwendigkeit für eine Reform der Mathematikausbildung

Die Ausbildung in Mathematik muss nun, da wir in ein neues Jahrtausend schreiten, reformiert werden. Diese Überzeugung teilen wir mit einer schnell wachsenden Zahl von Forschern und Lehrern sowohl der Mathematik als auch natur- und ingenieurwissenschaftlicher Disziplinen, die auf mathematischen Modellen aufbauen. Dies hat natürlich seine Ursache in der Revolution der elektronischen Datenverarbeitung, die grundlegend die Möglichkeiten für den Einsatz mathematischer und rechnergestützter Techniken in der Modellbildung, Simulation und der Steuerung realer Vorgänge verändert hat. Neue Produkte können mit Hilfe von Computersimulationen in Zeitspannen und zu Kosten entwickelt und getestet werden, die um Größenordnungen kleiner sind als mit traditionellen Methoden, die auf ausgedehnten Laborversuchen, Berechnungen von Hand und Versuchszyklen basieren.

Von zentraler Bedeutung für die neuen Simulationstechniken sind die neuen Disziplinen des so genannten Computational Mathematical Modeling (CMM) wie die rechnergestützte Mechanik, Physik, Strömungsmechanik, Elektromagnetik und Chemie. Sie alle beruhen auf der Kombination von Lösungen von Differentialgleichungen auf Rechnern und geometrischer Modellierung/Computer Aided Design (CAD). Rechnergestützte Modellierung eröffnet auch neue revolutionäre Anwendungen in der Biologie, Medizin, den Ökowissenschaften, Wirtschaftswissenschaften und auf Finanzmärkten.

Die Ausbildung in Mathematik legt die Grundlage für die natur- und ingenieurwissenschaftliche Ausbildung an Hochschulen und Universitäten, da diese Disziplinen weitgehend auf mathematischen Modellen aufbauen. Das Niveau und die Qualität der mathematischen Ausbildung bestimmt daher maßgeblich das Ausbildungsniveau im Ganzen. Die neuen CMM/CAD Techniken überschreiten die Grenze zwischen traditionellen Ingenieurwissenschaften und Schulen und erzwingen die Modernisierung der Ausbildung in den Ingenieurwissenschaften in Inhalt und Form sowohl bei den Grundlagen als auch bei weiterführenden Studien.

Unser Reformprogramm

Unser Reformprogramm begann vor etwa 20 Jahren in Kursen in CMM für fortgeschrittene Studierende. Es hat über die Jahre erfolgreich die Grundlagenausbildung in Infinitesimalrechnung und linearer Algebra beeinflusst. Unser Ziel wurde der Aufbau eines vollständigen Lehrangebots für die mathematische Ausbildung in natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen, angefangen bei Studierenden in den Anfangssemestern bis hin zu Graduierten. Bis jetzt umfasst unser Programm folgende Bücher:

• Computational Differential Equations, {CDE)

• Angewandte Mathematik: Body & Soul I-III, {AM I-III)

• Applied Mathematics: Body & Soul IV-, {AM IV-).

Das vorliegende Buch AM I-III behandelt in drei Bänden I-III die Grundlagen der Infinitesimalrechnung und der linearen Algebra. AM IV erscheint ab 2003 als Fortsetzungsreihe, die speziellen Anwendungsbereichen gewidmet ist, wie Dynamical Systems (IV), Fluid Mechanics (V), Solid Mechanics (VI) und Eleetromagneties (VII). Das 1996 erschienene Buch CDE kann als erste Version des Gesamtprojekts Applied Mathematics: Body & Soul angesehen werden.

Außerdem beinhaltet unser Lehrangebot verschiedene Software (gesammelt im mathematischen Labor) und ergänzendes Material mit schrittweisen Einführungen für Selbststudien, Aufgaben mit Lösungen und Projekten. Die Website dieses Buches ermöglicht freien Zugang dazu. Unser Ehrgeiz besteht darin eine "Box" mit einem Satz von Büchern, Software und Zusatzmaterial anzubieten, die als Grundlage für ein vollständiges Studium, angefangen bei den ersten Semestern bis zu graduierten Studien, in angewandter Mathematik in natur- und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen dienen kann. Natürlich hoffen wir, dass dieses Projekt durch ständig neu hinzugefügtes Material schrittweise ergänzt wird.

Basierend auf AM I-III haben wir seit Ende 1999 das Studium in angewandter Mathematik für angehende Chemieingenieure beginnend mit Erstsemesterstudierenden an der Chalmers Universität angeboten und Teile des Materials von AM IV in Studiengängen für fortgeschrittene Studierende und frisch Graduierte eingesetzt.

Schwerpunkte des Lehrangebots:

• Das Angebot basiert auf einer Synthese von Mathematik, Datenverarbeitung und Anwendung.

• Das Lehrangebot basiert auf neuer Literatur und gibt damit von Anfang an eine einheitliche Darstellung, die auf konstruktiven mathematischen Methoden unter Einbeziehung von Berechnungsmethoden für Differentialgleichungen basiert.

• Das Lehrangebot enthält als integrierten Bestandteil Software unterschiedlicher Komplexität.

• Die Studierenden erarbeiten sich fundierte Fähigkeiten, um in Matlab Berechnungsmethoden umzusetzen und Anwendungen und Software zu entwickeln.

• Die Synthese von Mathematik und Datenverarbeitung eröffnet Anwendungen für die Ausbildung in Mathematik und legt die Grundlage für den effektiven Gebrauch moderner mathematischer Methoden in der Mechanik, Physik, Chemie und angewandten Disziplinen.

• Die Synthese, die auf praktischer Mathematik aufbaut, setzt Synergien frei, die es schon in einem frühen Stadium der Ausbildung erlauben, komplexe Zusammenhänge zu untersuchen, wie etwa Grundlagenmodelle mechanischer Systeme, Wärmeleitung, Wellenausbreitung, Elastizität, Strömungen, Elektromagnetismus, Diffusionsprozesse, molekulare Dynamik sowie auch damit zusammenhängende Multi-Physics Probleme.

• Das Lehrangebot erhöht die Motivation der Studierenden dadurch, dass bereits von Anfang an mathematische Methoden auf interessante und wichtige praktische Probleme angewendet werden.

• Schwerpunkte können auf Problemlösungen, Projektarbeit und Präsentationen gelegt werden.

• Das Lehrangebot vermittelt theoretische und rechnergestützte Werkzeuge und baut Vertrauen auf.

• Das Lehrangebot enthält einen Großteil des traditionellen Materials aus Grundlagenkursen in Analysis und linearer Algebra.

• Das Lehrangebot schließt vieles ein, das ansonsten oft in traditionellen Programmen vernachlässigt wird, wie konstruktive Beweise aller grundlegenden Sätze in Analysis und linearer Algebra und fortgeschrittener Themen sowie nicht lineare Systeme algebraischer Gleichungen bzw. Differentialgleichungen.

• Studierenden soll ein tiefes Verständnis grundlegender mathematischer Konzepte, wie das der reellen Zahlen, Cauchy-Folgen, Lipschitz-Stetigkeit und konstruktiver Werkzeuge für die Lösung algebraischer Gleichungen bzw. Differentialgleichungen, zusammen mit der Anwendung dieser Werkzeuge in fortgeschrittenen Anwendungen wie etwa der molekularen Dynamik, vermittelt werden.

• Das Lehrangebot lässt sich mit unterschiedlicher Schwerpunktssetzung sowohl in mathematischer Analysis als auch in elektronischer Datenverarbeitung umsetzen, ohne dabei den gemeinsamen Kern zu verlieren.

AM I-III in Kurzfassung

Allgemein formuliert, enthält AM I-III eine Synthese der Infinitesimalrechnung, linearer Algebra, Berechnungsmethoden und eine Vielzahl von Anwendungen. Rechnergestützte/praktische Methoden werden verstärkt behandelt mit dem doppelten Ziel, die Mathematik sowohl verständlich als auch benutzbar zu machen. Unser Ehrgeiz liegt darin, Studierende früh (verglichen zur traditionellen Ausbildung) mit fortgeschrittenen mathematischen Konzepten (wie Lipschitz-Stetigkeit, Cauchy-Folgen, kontrahierende Operatoren, Anfangswertprobleme für Differentialgleichungssysteme) und fortgeschrittenen Anwendungen wie Lagrange-Mechanik, Vielteilchen-Systeme, Bevölkerungsmodelle, Elastizität und Stromkreise bekannt zu machen, wobei die Herangehensweise auf praktische/rechner gestützte Methoden aufbaut.

Die Idee dahinter ist es, Studierende sowohl mit fortgeschrittenen mathematischen Konzepten als auch mit modernen Berechnungsmethoden vertraut zu machen und ihnen so eine Vielzahl von Möglichkeiten zu eröffnen, um Mathematik auf reale Probleme anzuwenden. Das steht im Widerspruch zur traditionellen Ausbildung, bei der normalerweise der Schwerpunkt auf analytische Techniken innerhalb eines eher eingeschränkten konzeptionellen Gebildes gelegt wird. So leiten wir Studierende bereits im zweiten Halbjahr dazu an (in Matlab) einen eigenen Löser für allgemeine Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen auf gesundem mathematischen Boden zu schreiben (hohes Verständnis und Kenntnisse in Datenverarbeitung), wohingegen traditionelle Ausbildung sich oft zur selben Zeit darauf konzentriert, Studierende Kniffe und Techniken der symbolischen Integration zu vermitteln. Solche Kniffe bringen wir Studierenden auch bei, aber unser Ziel ist eigentlich ein anderes.

Praktische Mathematik: Body & Soul

In unserer Arbeit kamen wir zu der Überzeugung, dass praktische Gesichtspunkte der Infinitesimalrechnung und der linearen Algebra stärker betont werden müssen. Natürlich hängen praktische und rechnergestützte Mathematik eng zusammen und die Entwicklungen in der Datenverarbeitung haben die rechnergestützte Mathematik in den letzten Jahren stark vorangetrieben. Zwei Gesichtspunkte gilt es bei der mathematischen Modellierung zu berücksichtigen: Den symbolischen Aspekt und den praktisch numerischen. Dies reflektiert die Dualität zwischen infinit und finit bzw. zwischen kontinuierlich und diskret. Diese beiden Gesichtspunkte waren bei der Entwicklung einer modernen Wissenschaft, angefangen bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung in den Arbeiten von Euler, Lagrange und Gauss bis hin zu den Arbeiten von von Neumann zu unserer Zeit vollständig miteinander verwoben. So findet sich beispielsweise in Laplaces grandiosem fünfbändigen Werk Mecanique Celeste eine symbolische Berechnung eines mathematischen Modells der Gravitation in Form der Laplace-Gleichung zusammen mit ausführlichen numerischen Berechnungen zur Planetenbewegung in unserem Sonnensystem.

Beginnend mit der Suche nach einer exakten und strengen Formulierung der Infinitesimalrechnung im 19. Jahrhundert begannen sich jedoch symbolische und praktische Gesichtspunkte schrittweise zu trennen. Die Trennung beschleunigte sich mit der Erfindung elektronischer Rechenmaschinen ab 1940. Danach wurden praktische Aspekte in die neuen Disziplinen numerische Analysis und Informatik verbannt und hauptsächlich außerhalb mathematischer Institute weiterentwickelt. Als unglückliches Ergebnis zeigt sich heute, dass symbolische reine Mathematik und praktische numerische Mathematik weit voneinander entfernte Disziplinen sind und kaum zusammen gelehrt werden. Typischerweise treffen Studierende zuerst auf die Infinitesimalrechnung in ihrer reinen symbolischen Form und erst viel später, meist in anderem Zusammenhang, auf ihre rechnerische Seite. Dieser Vorgehensweise fehlt jegliche gesunde wissenschaftliche Motivation und sie verursacht schwere Probleme in Vorlesungen der Physik, Mechanik und angewandten Wissenschaften, die auf mathematischen Modellen beruhen.

Durch eine frühe Synthese von praktischer und reiner Mathematik eröffnen sich neue Möglichkeiten, die sich in der Synthese von Body & Soul widerspiegelt: Studierende können mit Hilfe rechnergestützter Verfahren bereits zu Beginn der Infinitesimalrechnung mit nicht-linearen Differentialgleichungssystemen und damit einer Fülle von Anwendungen vertraut gemacht werden. Als weitere Konsequenz werden die Grundlagen der Infinitesimalrechnung, mit ihrer Vorstellung zu reellen Zahlen, Cauchy-Folgen, Konvergenz, Fixpunkt-Iterationen, kontrahierenden Operatoren, aus dem Schrank mathematischer Skurrilitäten in das echte Leben mit praktischen Erfahrungen verschoben. Mit einem Schlag lässt sich die mathematische Ausbildung damit sowohl tiefer als auch breiter und anspruchsvoller gestalten. Diese Idee liegt dem vorliegenden Buch zugrunde, das im Sinne eines Standardlehrbuchs für Ingenieure alle grundlegenden Sätze der Infinitesimalrechnung zusammen mit deren Beweisen enthält, die normalerweise nur in Spezialkursen gelehrt werden, zusammen mit fortgeschrittenen Anwendungen wie nicht-lineare Differentialgleichungssysteme. Wir haben festgestellt, dass dieses scheinbar Unmögliche überraschend gut vermittelt werden kann. Zugegeben, dies ist kaum zu glauben ohne es selbst zu erfahren. Wir hoffen, dass die Leserin/der Leser sich dazu ermutigt fühlt.

Lipschitz-Stetigkeit und Cauchy-Folgen

Die üblichen Definitionen der Grundbegriffe Stetigkeit und Ableitung, die in den meisten modernen Büchern über Infinitesimalrechnung zu finden sind, basieren auf Grenzwerten: Eine reellwertige Funktion f(x) einer reellen Variablen x heißt stetig in x, wenn lim^x-x f(x) = f(x) ist. f(x) heißt ableitbar in x mit der Ableitung f'(x), wenn x-x X - X existiert und gleich f'(x) ist. Wir gebrauchen dafür andere Definitionen, die ohne den störenden Grenzwert auskommen: Eine reellwertige Funktion f(x) heißt Lipschitz-stetig auf einem Intervall [a, b] mit der Lipschitz-Konstanten Lf, falls für alle x, x G [a, b] | f(x)-f(x) | ^f | x-x | gilt. Ferner heißt f(x) bei uns ableitbar in x mit der Ableitung f'(x), wenn eine Konstante Kf(x) existiert, so dass für alle x in der Nähe von x | f(x) - f{x) - f'(x)(x -x) | < K^f (x) | x - x |² gilt. Somit sind unsere Anforderungen an die Stetigkeit und Differenzierbarkeit strenger als üblich; genauer gesagt, wir verlangen quantitative Größen Lf und Kf(x), wohingegen die üblichen Definitionen mit Grenzwerten rein qualitativ arbeiten.

Mit diesen strengeren Definitionen vermeiden wir pathologische Fälle, die Studierende nur verwirren können (besonders am Anfang). Und, wie ausgeführt, vermeiden wir so den (schwierigen) Begriff des Grenzwerts, wo in der Tat keine Grenzwertbildung stattfindet. Somit geben wir Studierenden keine Definitionen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit, die nahe legen, dass die Variable x stets gegen x strebt, d.h. stets ein (merkwürdiger) Grenzprozess stattfindet. Tatsächlich bedeutet Stetigkeit doch, dass die Differenz f(x) - f(x) klein ist, wenn x - x klein ist und Differenzierbarkeit bedeutet, dass f(x) lokal nahezu linear ist. Und um dies auszudrücken, brauchen wir nicht irgendeine Grenzwertbildung zu bemühen.

Diese Beispiele verdeutlichen unsere Philosophie, die Infinitesimalrechnung quantitativ zu formulieren, statt, wie sonst üblich, rein qualitativ. Und wir glauben, dass dies sowohl dem Verständnis als auch der Exaktheit hilft und dass der Preis, der für diese Vorteile zu bezahlen ist, es wert ist bezahlt zu werden, zumal die verloren gegangene allgemeine Gültigkeit nur einige pathologische Fälle von geringerem Interesse beinhaltet. Wir können unsere Definitionen natürlich lockern, zum Beispiel zur Hölder-Stetigkeit, ohne deswegen die quantitative Formulierung aufzugeben, so dass die Ausnahmen noch pathologischer werden.

Die üblichen Definitionen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit bemühen sich um größtmögliche Allgemeinheit, eine der Tugenden der reinen Mathematik, die jedoch pathologische Nebenwirkungen hat. Bei einer praktisch orientierten Herangehensweise wird die praktische Welt ins Interesse gestellt und maximale Verallgemeinerungen sind an sich nicht so wichtig.

Natürlich werden auch bei uns Grenzwertbildungen behandelt, aber nur in Fällen, in denen der Grenzwert als solches zentral ist. Hervorzuheben ist dabei die Definition einer reellen Zahl als Grenzwert einer Cauchy-Folge rationaler Zahlen und die Lösung einer algebraischen Gleichung oder Differentialgleichung als Grenzwert einer Cauchy-Folge von Näherungslösungen. Cauchy-Folgen spielen bei uns somit eine zentrale Rolle. Aber wir suchen nach einer konstruktiven Annäherung mit möglichst praktischem Bezug, um Cauchy-Folgen zu erzeugen.

In Standardwerken zur Infinitesimalrechnung werden Cauchy-Folgen und Lipschitz-Stetigkeit im Glauben, dass diese Begriffe zu kompliziert für Anfänger seien, nicht behandelt, wohingegen der Begriff der reelle Zahlen Undefiniert bleibt (offensichtlich glaubt man, dass ein Anfänger mit diesem Begriff von Kindesbeinen an vertraut sei, so dass sich jegliche Diskussion erübrige). Im Gegensatz dazu spielen diese Begriffe von Anfang an eine entscheidende Rolle in unserer praktisch orientierten Herangehensweise. Im Besonderen legen wir erhöhten Wert auf die grundlegenden Gesichtspunkte der Erzeugung reeller Zahlen (betrachtet als möglicherweise nie endende dezimale Entwicklung).

Wir betonen, dass eine konstruktive Annäherung das mathematische Leben nicht entscheidend komplizierter macht, wie es oft von Formalisten/Logikern führender mathematischer Schulen betont wird: Alle wichtigen Sätze der Infinitesimalrechnung und der linearen Algebra überleben, möglicherweise mit einigen unwesentlichen Änderungen, um den quantitativen Gesichtspunkt beizubehalten und ihre Beweise strenger führen zu können. Als Folge davon können wir grundlegende Sätze wie den der impliziten Funktionen, den der inversen Funktionen, den Begriff des kontrahierenden Operators, die Konvergenz der Newtonschen Methode in mehreren Variablen mit vollständigen Beweisen als Bestandteil unserer Grundlagen der Infinitesimalrechnung aufnehmen: Sätze, die in Standardwerken als zu schwierig für dieses Niveau eingestuft werden.

Beweise und Sätze

Die meisten Mathematikbücher wie auch die über Infinitesimalrechnung praktizieren den Satz-Beweis Stil, in dem zunächst ein Satz aufgestellt wird, der dann bewiesen wird. Dies wird von Studierenden, die oft ihre Schwierigkeiten mit der Art und Weise der Beweisführung haben, selten geschätzt.

Bei uns wird diese Vorgehensweise normalerweise umgekehrt. Wir formulieren zunächst Gedanken, ziehen Schlussfolgerungen daraus und stellen dann den zugehörigen Satz als Zusammenfassung der Annahme und der Ergebnisse vor. Unsere Vorgehensweise lässt sich daher eher als Beweis-Satz Stil bezeichnen. Wir glauben, dass dies in der Tat oft natürlicher ist als der Satz-Beweis Stil, zumal bei der Entwicklung der Gedanken die notwendigen Ergänzungen, wie Hypothesen, in logischer Reihenfolge hinzugefügt werden können. Der Beweis ähnelt dann jeder ansonsten üblichen Schlussfolgerung, bei der man ausgehend von einer Anfangsbetrachtung unter gewissen Annahmen (Hypothesen) Folgerungen zieht. Wir hoffen, dass diese Vorgehensweise das oft wahrgenommene Mysterium von Beweisen nimmt, ganz einfach schon deswegen, weil die Studierenden gar nicht merken werden, dass ein Beweis geführt wird; es sind einfach logische Folgerungen wie im täglichen Leben auch. Erst wenn die Argumentationslinie abgeschlossen ist wird sie als Beweis bezeichnet und die erzielten Ergebnisse zusammen mit den notwendigen Hypothesen in einem Satz zusammengestellt. Als Folge davon benötigen wir in der Latexfassung dieses Buches die Satzumgebung, aber nicht eine einzige Beweisumgebung; der Beweis ist nur eine logische Gedankenfolge, die einem Satz, der die Annahmen und das Hauptergebnis beinhaltet, vorangestellt wird.

Das mathematische Labor

Wir haben unterschiedliche Software entwickelt, um unseren Lehrgang in einer Art mathematischem Labor zu unterstützen. Einiges dieser Software dient der Veranschaulichung mathematischer Begriffe wie die Lösung von Gleichungen, Lipschitz-Stetigkeit, Fixpunkt-Iterationen, Differenzierbarkeit, der Definition des Integrals und der Analysis von Funktionen mehrerer Veränderlichen; anderes ist als Ausgangsmodell für eigene Computerprogramme von Studierenden gedacht; wieder anderes, wie die Löser für Differentialgleichungen, sind für Anwendungen gedacht. Ständig wird neue Software hinzugefügt. Wir wollen außerdem unterschiedliche Multimedia-Dokumente zu verschiedenen Teilen des Stoffes hinzuzufügen.

In unserem Lehrprogramm erhalten Studierende von Anfang an ein Training im Umgang mit MATLAB® als Werkzeug für Berechnungen. Die Entwicklung praktischer mathematischer Gesichtspunkte grundlegender Themen wie reelle Zahlen, Funktionen, Gleichungen, Ableitungen und Integrale geht Hand in Hand mit der Erfahrung, Gleichungen mit Fixpunkt-Iterationen oder der Newtonschen Methode zu lösen, der Quadratur, numerischen Methoden oder Differentialgleichungen. Studierende erkennen aus ihrer eigenen Erfahrung, dass abstrakte symbolische Konzepte tief mit praktischen Berechnungen verwurzelt sind, was ihnen einen direkten Zugang zu Anwendungen in physikalischer Realität vermittelt.

Besuchen sie http://www.phi.chalmers.se/bodysoul/

Das Applied Mathematics: Body & Soul Projekt hat eine eigene Website, die zusätzliches einführendes Material und das mathematische Labor (Mathematics Laboratory) enthält. Wir hoffen, dass diese Website für Studierende zum sinnvollen Helfer wird, der ihnen hilft, den Stoff (selbständig) zu verdauen und durchzugehen. Lehrende mögen durch diese Website angeregt werden. Außerdem hoffen wir, dass diese Website als Austauschforum für Ideen und Erfahrungen im Zusammenhang mit diesem Projekt genutzt wird und wir laden ausdrücklich Studierende und Lehrende ein, sich mit eigenem Material zu beteiligen.

Anerkennung

Die Autoren dieses Buches möchten ihren herzlichen Dank an die folgenden Kollegen und graduierten Studenten für ihre wertvollen Beiträge, Korrekturen und Verbesserungsvorschläge ausdrücken: Rickard Bergström, Niklas Eriksson, Johan Hoffman, Mats Larson, Stig Larsson, Märten Levenstam, Anders Logg, Klas Samuelsson und Nils Svanstedt, die alle aktiv an unserem Reformprojekt teilgenommen haben. Und nochmals vielen Dank allen Studierenden des Studiengangs zum Chemieingenieur an der Chalmers Universität, die damit belastet wurden, neuen, oft unvollständigen Materialien ausgesetzt zu sein und die viel enthusiastische Kritik und Rückmeldung gegeben haben.

Dem MacTutor Archiv für Geschichte der Mathematik verdanken wir die mathematischen Bilder. Einige Bilder wurden aus älteren Exemplaren des Jahresberichts des Schwedischen Technikmuseums, Daedalus, kopiert.

My heart is sad and lonely

for you I sigh, dear, only

Why haven't you seen it

I'm all for you body and soul

(Green, Body and Soul)