DeutschesFachbuch.de : Funktionentheorie 1 Mit Lösungshinweisen zu 420 Übungsaufgaben Von Eberhard Freitag, Rolf Busam

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Inhalt
EinleitungXIII/XX
Kapitel I. Differentialrechnung im Komplexen 1
1.Komplexe Zahlen 1
2.Konvergente Folgen und Reihen 16
3.Stetigkeit 28
4.Komplexe Ableitung 34
5.Die Cauchy-Riemann'schen Differentialgleichungen 40
Kapitel II. Integralrechnung im Komplexen 61
1.Komplexe Kurvenintegrale 62
2.Der Cauchy'sche Integralsatz 70
3.Die Cauchy'sche Integralformel 86
Kapitel III. Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz 97
1.Gleichmäßige Approximation 99
2.Potenzreihen 104
3.Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen 119
4.Singularitäten analytischer Funktionen 130
5.Laurentzerlegung 140
Anhang zu §4 und §5. Der Begriff der meromorphen Funktion 153
6.Der Residuensatz 161
7.Anwendungen des Residuensatzes 170
Kapitel IV. Konstruktion analytischer Funktionen 193
1.Die Gammafunktion 194
2.Der Weierstraß'sche Produktsatz 213
3.Der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler 222
4.Der kleine Riemann'sche Abbildungssatz 227
Anhang A. Die Homotopieversion des Cauchy'schen Integralsatzes 237
Anhang B. Eine Homologieversion des Cauchy'schen Integralsatzes 243
Anhang C. Charakterisierungen von Elementargebieten 248
Kapitel V. Elliptische Funktionen 255
1.Die Liouville'schen Sätze 256
2.Die Weierstraß'sche pFunktion 266
3.Der Körper der elliptischen Funktionen 273
Anhang zu §3. Der Torus als algebraische Kurve 277
4.Das Additionstheorem 285
5.Elliptische Integrale 291
6.Das Abel'sche Theorem 298
7.Die elliptische Modulgruppe 309
8.Die Modulfunktion j 317
Kapitel VI. Elliptische Modulformen 325
1.Die Modulgruppe und ihr Fundamentalbereich 326
2.Die k/12-Formel und die Injektivität der j-Funktion 334
3.Die Algebra der Modulformen 343
4.Modulformen und Thetareihen 347
5.Modulformen zu Kongruenzgruppen 361
Anhang zu §5. Die Thetagruppe 373
6.Ein Ring von Thetafunktionen 380
Kapitel VII. Analytische Zahlentheorie 391
1.Summen von vier und acht Quadraten 392
2.Dirichletreihen 410
3.Dirichletreihen mit Funktionalgleichungen 418
4.Die Riemann'sche s-Funktion und Primzahlen 432
5.Die analytische Fortsetzung der s-Funktion 440
6.Ein Taubersatz 448
Lösungen der Übungsaufgaben 463
Literatur 525
Symbolverzeichnis 535
Index 537
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Index
AAbbildungseigenschaften 119 ff
Abel, N.H. (1802-1829) 26, 255, 299, 306
abelsche Gruppe 384
Abel'sche Identität 439
- partielle Summation 26
- Relation 299
Abel'sches Theorem 299, 347
abgeschlossen 31 f
abgeschlossene Hülle 33
Ableitung der Gammafunktion 195
absolute Invariante 314 ff, 320, 322, 325, 341 f, 408
absolut konvergent 18, 117, 410
- konvergentes Produkt 200
Additionstheorem 255
- der elliptischen Funktionen 290
- Exponentialfunktion 19
- p-Funktion 286
Additionstheoreme der hyperbolischen Funktionen 24
- Winkelfunktionen 7, 20
Additionstheorem für p' 290
Aerodynamik 59
affine Kurve 389
affiner Raum 280
Algebra der Modulformen 343, 346
algebraische Differentialgleichung 276
- der p-Funktion 276, 284
- - Kurve 277
allgemeine Cauchy'sche Integralformel 244
- - Version des Residuensatzes 248
analytisch 45
analytische Fortsetzung 120, 440
- Landschaft 56, 438
- Quadratwurzel 249
analytischer Logarithmus 249
--Zweig des Logarithmus 79
analytisches Gebirge 56
analytische Zahlentheorie 391
Anschmiegungssatz von Mittag
- Leffler 226
Anzahl der Nullstellen 170
Anzahlformel für Null- und Polstellen 171
Apery, R. (1916-1994) 187
äquivalente Gitter 309
Äquivalenzklassen von Gittern 309, 313
Argument 7
Argumentprinzip 172
Assoziativgesetz 2
Äußeres einer geschlossenen Kurve 163
außerwesentliche Singularität 131, 155
außerwesentlich singulär in i∞ 334
Automorphiefaktor 364
Automorphismengruppe 127, 236
- - der Einheitskreisscheibe 127
- oberen Halbebene 317
- Zahlenebene 159
- Zahlkugel 159
- - eines Gebietes 228
BBabylonische Identität 355
Berechnung der Umlaufzahl 253
- - uneigentlicher Integrale 177
Bergsteiger 57
Bernoulli, Jacob (1654-1705) 115
Bernoulli'sche Zahlen 115, 186
Bessel, F.W. (1784-1846) 61, 152
Besselfunktion 118, 152
Bessel'sche Differentialgleichung 152
Bestimmung der Umlaufzahl 163
Betafunktion 211
Betrag 5
Binet, J.P.M. (1786-1856) 151
Binet'sche Formel 151
Binomialreihe 26
binomische Formel 8
Bogenlänge 65
bogenweise zusammenhängend 70
Bohr, H. (1887-1951) 212
Bolzano, B. (1781-1848) 33
Borel 99
Borel, E. (1871-1956) 32
Brücke 418
CCaratheodory, C. (1873-1950) 125
Casorati, F. (1835-1890) 134
Cauchy, A.L. (1789-1857) 11, 19, 24, 61, 77, 87, 106 ff, 110, 117, 164
Cauchyfolge 24
Cauchy-Hadamard'sche Formel 117
Cauchykern 107
Cauchy-Riemann'sche Differentialgleichungen 40, 43, 57, 108
Cauchy-Riemann'scher Zugang zur Funktionentheorie 107
Cauchy'sche Abschätzungsformeln 118, 144
- - Integralformel 87
Cauchy'scher Hauptwert 177, 182, 191
- - Integralsatz 74, 141, 240, 244
- , Homologieversion 244
- , Homotopieversion 240
- für Dreieckswege 74
- für Ringgebiete 141
- - - für Sterngebiete 77
- - Multiplikationssatz für Reihen 19, 110
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung 11
Cayley, A. (1821-1895) 15, 60
Cayleyabbildung 60, 236
Cayley-Zahlen 15
Charakter 58, 365, 384
Charakterisierung der Exponentialfunktion 58
- T-Funktion 198, 210
- Riemann'schen s-Funktion 428 f
- - von dr 399
Charakterrelation 385
Chinesischer Restsatz 378
Clausen, Th. (1801-1885) 28
Conrey, J.B. 459
Cramer'sche Regel 356
Crelle-Journal 28
DDarstellungsanzahlen quadratischer Formen 391
Darstellungssatz 347
Dedekind, R. (1831-1916) 409
Dedekind'sche n-Funktion 409
definierende Relation 388
de la Vallee-Poussin, C. (18661962) 438, 458
- - l'Hospital, G.F.A. (1661-1704) 139
Deligne, P. 359
Determinante 310
dicht 134
Differentialgleichung 48
- - der Besselfunktionen 152
- p-Funktion 255, 276, 284
Dimension des Vektorraums der
- Modulformen 345
Dimensionsformel 345
Dinghas, A. (1908-1974) 253
Dinosaurier 254
Dirichlet, J.G.RL. (1805-1959) 26, 457
Dirichlet-Integral 136
Dirichletreihe 410, 419, 448
- - mit Funktionalgleichung 418
Dirichlet'scher Primzahlsatz 431
diskret 119, 121, 128, 256, 264
Diskriminante 293, 314 ff, 320, 324, 341, 344, 351, 408 f
Distributivgesetz 2
Divisor 372
doppelt periodisch 257 f
Drehstreckung 42, 52, 60, 256, 309
Dreiecksfläche 73
Dreiecksungleichung 5, 11
Dreiecksweg 73
Dritter Liouville'scher Satz 262
EEbene affine Kurve 277, 279
- - projektive Kurve 281
Eindeutigkeit der analytischen
- Fortsetzung 120
- Potenzreihenentwicklung 107
einfacher Pol 133
einfach zusammenhängend 81, 240 f, 249, 254
Einheitengruppe 221
Einheitskreislinie 10, 63
Einheitskreisscheibe 228, 249
Einheitswurzel 8, 332, 364
Eisenstein, F.G.M. (1823-1853) 268, 396
Eisensteinreihe 272, 277, 284, 315, 317 f, 340, 392, 394 f
Elementargebiet 79 f, 161, 227, 236 f, 241, 248 f
elliptisch 332
elliptische Funktion 255, 257, 307
- Kurve 283
- Modulform 325
- Modulgruppe 309, 312, 316, 325 f, 333
elliptischer Fixpunkt 331
elliptisches Integral 255, 291
- erster Gattung 291
Elstrodt, J. 402, 418
endlichdimensional 344
endlicher Index 361
- - Teil 281
Epstein, P. (1871-4939) 460
Epstein'sche s-Funktion 460
Erdös, P. (1913-1996) 459
Ergänzungsformel 286
Ergänzungssatz der F-Funktion 204
Erster Liouville'scher Satz 258
Erzeugende der elliptischen Modulgruppe 316
- - Hauptkongruenzgruppe F[2] 377
- - Thetagruppe 365, 375
Euklid 457
Euler, L. (1707 1783) 187, 194, 202, 204, 211, 295, 410, 414 f, 433, 457
Euler-Mascheroni'sche Konstante 202, 209, 445
Elllerprodukt 433
Euler'sche Betafunktion 211
- Formeln für S (2 fk) 187
- Identität 211
- Produktentwicklung 415
- Produktformel für 1/T 210
Euler'sches Integral erster Gattung 211
- zweiter Gattung 194
- Pentagonalzahlentheorem 410
Euler'sche p-Funktion 439
- Zahlen 118
Existenzsatz für analytische Logarithmen 79
- - - analytische Wurzeln 79
Exponentialfunktion 19 f, 47, 58
Extremalproblem 231
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