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Vorwort Vorwort zur deutschen Ausgabe Eine ganze Generation von Mathematikern ist in der Zeit zwischen dem Erscheinen der ersten Auflage dieses Lehrbuchs und der Veröffentlichung der vierten Auflage, deren Übersetzung Sie in Händen halten, herangewachsen. Dieses Werk ist vielen Menschen vertraut, die entweder dieses Buch als Vorlage für ihr Studium benutzten oder die zugrunde liegenden Vorlesungen besucht haben und nun ihrerseits in Universitäten auf der ganzen Welt lehren. Ich freue mich, dass ...
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Vladimir A. Zorich Analysis II Dieses zweibändige Werk bietet einen ausführlichen und tiefgehenden Einblick in die Anfänge der Analysis: von der Einführung der reellen Zahlen bis hin zu fortgeschrittenen Themen wie Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten, asymptotische Betrachtungen, Fourier-, Laplace- und Legendre-Transformationen, elliptische Funktionen und Distributionen. Besonders hervorzuheben ist dabei die deutliche Ausrichtung auf naturwissenschaftliche Fragestellungen und die det... [weiter lesen] |
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Inhaltsverzeichnis
9 *Stetige Abbildungen (Allgemeine Theorie) 1
9.1 Metrische Räume 1
9.1.1 Definition und Beispiele 1
9.1.2 Offene und abgeschlossene Teilmengen metrischer Räume 5
9.1.3 Unterräume eines metrischen Raumes 7
9.1.4 Das direkte Produkt metrischer Räume 8
9.1.5 Übungen und Aufgaben 9
9.2 Topologische Räume 10
9.2.1 Grundlegende Definitionen 10
9.2.2 Teilräume von topologischen Räumen 14
9.2.3 Das direkte Produkt topologischer Räume 14
9.2.4 Übungen und Aufgaben 15
9.3 Kompakte Mengen 16
9.3.1 Definition und allgemeine Eigenschaften kompakter Mengen 16
9.3.2 Metrische kompakte Mengen 18
9.3.3 Übungen und Aufgaben 20
9.4 Zusammenhängende topologische Räume 20
9.4.1 Übungen und Aufgaben 22
9.5 Vollständige metrische Räume 23
9.5.1 Grundlegende Definitionen und Beispiele 23
9.5.2 Die Vervollständigung eines metrischen Raumes 26
9.5.3 Übungen und Aufgaben 30
9.6 Stetige Abbildungen topologischer Räume 30
9.6.1 Der Grenzwert einer Abbildung 31
9.6.2 Stetige Abbildungen 33
9.6.3 Übungen und Aufgaben 36
9.7 Das Prinzip einer kontrahierenden Abbildung 37
9.7.1 Übungen und Aufgaben 43
10 *Differentialrechnung aus einem allgemeinen Blickwinkel 45
10.1 Normierte Vektorräume 45
10.1.1 Einige Beispiele von Vektorräumen in der Analysis 45
10.1.2 Normen in Vektorräumen 46
10.1.3 Innere Produkte in Vektorräumen 49
10.1.4 Übungen und Aufgaben 52
10.2 Lineare und multilineare Transformationen 53
10.2.1 Definitionen und Beispiele 53
10.2.2 Die Norm einer Transformation 56
10.2.3 Der Raum der stetigen Transformationen 60
10.2.4 Übungen und Aufgaben 64
10.3 Das Differential einer Abbildung 65
10.3.1 In einem Punkt differenzierbare Abbildungen 65
10.3.2 Die allgemeinen Ableitungsregeln 67
10.3.3 Einige Beispiele 68
10.3.4 Die partielle Ableitung einer Abbildung 75
10.3.5 Übungen und Aufgaben 76
10.4 Der Mittelwertsatz mit Anwendungen 78
10.4.1 Der Mittelwertsatz 78
10.4.2 Einige Anwendungen des Mittelwertsatzes 80
10.4.3 Übungen und Aufgaben 84
10.5 Ableitungen höherer Ordnung 84
10.5.1 Definition des n-ten Differentials 84
10.5.2 Ableitung nach einem Vektor 86
10.5.3 Symmetrie der Differentiale höherer Ordnung 87
10.5.4 Einige Anmerkungen 89
10.5.5 Übungen und Aufgaben 91
10.6 Die Taylorsche Formel und die Untersuchung von Extrema 91
10.6.1 Die Taylorsche Formel für Abbildungen 91
10.6.2 Methode zur Untersuchung innerer Extrema 92
10.6.3 Einige Beispiele 94
10.6.4 Übungen und Aufgaben 99
10.7 Der verallgemeinerte Satz zur impliziten Funktion 101
10.7.1 Übungen und Aufgaben 110
11 Mehrfachintegrale 113
11.1 Das Riemannsche Integral über einem n -dimensionalen Intervall 113
11.1.1 Definition des Integrals 113
11.1.2 Das Kriterium nach Lebesgue für die Riemann-Integrierbarkeit 116
11.1.3 Das Kriterium nach Darboux 121
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Sachverzeichnis
AAbbildung
adjungierte, 335
- beschränkte, 31
- differenzierbare, 65-67
- gleichmäßig stetige, 36
- Grenzwert einer, 31
- homöomorphe, 34
- kontrahierende, 37
- lineare, 53
- Oszillation, 32
- schließlich beschränkte, 31
- stetig differenzierbare, 80
- stetige, 33
- Tangential- 360
Abel Dirichlet Konvergenztest, 399, 446
Abelsche Summation, 418
Abelscher Satz zu Potenzreihen, 402
Ableitung, 65
auf einer Mannigfaltigkeit, 369
- äußere, 363
- einer Distribution, 492
- einer Faltung, 480
- einer Fourier -Reihe. 572
- einer Potenzreihe, 415
- eines Parameterintegrals, 433-437
- Familie von Funktionen, 412
- höherer Ordnung, 85
- nach einem Parameter, 451 453
- nach einem Vektor, 86
- partielle, 75
Abschluss einer Menge, 7
absolute Konvergenz, 397
- eines uneigentlichen Integrals, 445
Abtastsatz, 619
adjungierte Abbildung, 335
adjungierter Differentialoperator, 514
Algebra
- äußere, 337
- der Formen, 331
- Grassmann- 337
- schief-symmetrischer Formen, 332
- selbstadjungierter Funktionen, 429
- von Funktionen, 426
Alternierung, 332
anti-symmetrische Form, 208
Arbeit, 225
Arbeitsform, 211
Arzelà-Ascoli, Satz von, 421-423
asymptotische Äquivalenz, 631
asymptotische Entwicklung Eindeutigkeit, 637
asymptotische Folge, 635
asymptotische Null, 637
asymptotische Potenzreihe, 641
asymptotische Reihe, 635, 637
Atlas, 172, 186, 339
- äquivalenter, 344, 348
- glatter, 344
- orientierender, 185, 348
Ausschöpfung, 159
äußere Algebra, 337
äußeres Differential, 214, 363, 370
äußeres Produkt, 208
B
Banach, Fixpunktsatz, 38
Banach-Raum, 47
Basis
- einer Topologie, 11
- Orientierung, 181
- von Vektoren, 545
Beschränktheit
- gleichmäßige, 421
- totale, 421
Bessel-Funktion, 416
- Asymptotik, 658
Bessel-Gleichung, 434
Besselsche Ungleichung, 537-538
Betafunktion, 463-464
bilineare Transformation, 53
Boreische Gleichung, 614
Brachystochrone, 97-99
Brouwerscher Fixpunktsatz, 258
CCauchy -Folge, 23
- Konvergenzkriterium für Integrale, 443
Cauchy-Bunjakowski Ungleichung, 50
charakteristische Funktion, 125
Coulombsches Gesetz, 296
DDarboux
- Integral, 122
- Summe, 121-123
Diffeomorphismus einfacher, 149
Differential
- äußeres, 214, 363
- einer Abbildung, 65
- höherer Ordnung, 85
- totales, 75
Differentialform, 208, 210
- 0-ter Ordnung, 215
- Arbeitsform, 211, 274
- auf einer glatten Mannigfaltigkeit, 221
- auf einer Mannigfaltigkeit, 362
der Klasse C(k) 363
der Ordnung k , 208
- exakte, 313, 374
- Flussform, 212, 274
- geschlossene, 313, 374
- Integral einer, 364
- mit kompaktem Träger, 365
- Pfaffsche, 211
- schief-symmetrische, 208, 332-335
Differentialgleichung, 39-41
- separierbare Variable, 547
Differentialoperator, 276, 514
- adjungierter, 514
- selbstadjungierter, 515
Differentiation, siehe Ableitung Dini, Satz von, 409
Dini-Bedingung, 566
direktes Produkt topologischer Räume, 14
Dirichlet-Integral, 452
Dirichlet-Kern, 562
Distribution, 487
- Ableitung, 492
- Fourier-Reihe, 591
- mehrerer Variabler, 512
- reguläre, 491
- singuläre, 491
- temperierte, 626
Divergenz, 216, 295-297
divergenzfreies Feld, 313
Divergenzsatz, 258-261, 294, 517
Dreiecksungleichung, 1
Dualraum, 361
EEigenvektor, 549
Eigenwert, 548
elektrostatisches Feld, 305
Erdelyi-Lemma, 675
euklidischer Raum, 52
Euler, Hydrodynamikgleichung, 325
Euler-Gauss Gleichung, 466
Euler-Lagrange Gleichung, 96
Euler-Poisson Integral, 458, 468
Eulersches Integral, 462-470
Extremum, Bedingungen für ein, 92
FFaltung, 475-498
- Ableitung einer, 480
Fourier-Transformierte, 614
- in Rn , 511
- mehr-dimensionale, 511-512
- Symmetrie, 479
- Translationsinvarianz, 479
Familie von Funktionen, 389
- Cauchysches Konvergenzkriterium, 392
- Differentiation, 412
- gleichgradig stetige, 422
- gleichmäßig beschränkte, 399, 421
- Grenzwert, 389
- Integration, 410
- nicht entartete, 426
- punktweise Konvergenz, 389
- total beschränkte, 421
- Vertauschbarkeit zweier Grenzübergänge, 405
fast überall in einer Menge, 118
Fehlerfunktion, 664
Fejer, Satz von, 569
Feld
- divergenzfreies, 313
- Potential- 304
- solenoidales, 313
- Tensor, 273
- von Formen, 273
Fixpunkt, 37, 41
- Satz von Banach, 38
Fläche
- k -dimensionale, 171
- als Integral einer Form, 242-245
- Atlas, 172
- einer stückweise glatten Mannigfaltigkeit, 245
- einfache, 172
- glatte, 175
- mit Rand, 190
- null-dimensionale, 195
- Oberfläche einer, 197
- orienterbare, 185
- orientierte, 186
- Orientierung, 181
- stückweise glatte, 196
- vom Maß Null, 202
- zweiseitige, 187
Fluss, 228
Flussform, 212
Folge
- asymptotische, 635
- Cauchy- 23
fundamentale, 23
- konvergente, 23
- Konvergenzmenge der, 385
- monotone, von Funktionen, 399
Form, siehe Differentialform Fourier
- Integral, 592-621, 669 - Koeffizienten, 534-550, 572
- Minimaleigenschaft, 539
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