DeutschesFachbuch.de : Mathematik für Physiker 1 Grundlagen aus Analysis und Linearer Algebra Von Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz

Inhaltsverzeichnis

Benutzerhinweise			XIII


Teil I Analysis in einer reellen Variablen

1	Reelle und komplexe Zahlen		3
	A.	Mengen, Funktionen, Körper	3
	B.	Anordnung, Betrag, Induktion	8
	C.	Das Supremumsaxiom	12
	D.	Der Körper der komplexen Zahlen	14
	E.	Wurzeln algebraischer Gleichungen	17
	F.	Elementare Funktionen (Formelsammlung)	19
	Ergänzungen		25
	Aufgaben		31

2	Differenziation in R		35
	A.	Reelle Zahlenfolgen	35
	B.	Stetigkeit in R	38
	C.	Ableitung von Funktionen einer Variablen	42
	D.	Mittelwertsatz und TAYLOR-formel	46
	E.	Die Regeln vonDE L'HOSPITAL	49
	F.	Elementare Funktionen II (Formelsammlung)	52
	Ergänzungen		54
	Aufgaben		62

3	Integration in 1		67
	A.	Eigenschaften des RIEMANN-Integrals	67
	B.	Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung	70
	C.	Integrationsmethoden	72
	Ergänzungen		74
	Aufgaben		80

4	Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen		85
	A.	Differenzialgleichungen 1. Ordnung	86
	B.	Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung	90
	C.	Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten	93
	D.	Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung mit der Methode der Variation der Konstanten	98
	Ergänzungen		100
	Aufgaben		108


Teil II Lineare Algebra und lineare Differenzialgleichungen

5	Vektoren, Matrizen, Determinanten		113
	A.	Vektoren und Matrizen	113
	B.	Lineare Gleichungssysteme und GAUSS-Elimination	118
	C.	Determinanten und Permutationen	123
	D.	Die inverse Matrix	131
	E.	Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Rang	133
	Ergänzungen		136
	Aufgaben		138

6	Vektorräume		143
	A.	Dimension und Basis eines Vektorraumes	143
	B.	Norm und Skalarprodukt	149
	C.	Das Vektorprodukt im R³	155
	Ergänzungen		157
	Aufgaben		160

7	Lineare Abbildungen		165
	A.	Definition und einfache Eigenschaften linearer Abbildungen	165
	B.	Die Matrix einer linearen Abbildung	169
	C.	Eigenwerte linearer Abbildungen	172
	D.	Lineare Abbildungen im Prähilbertraum	175
	E.	Unitäre und orthogonale Gruppen	180
	Ergänzungen		185
	Aufgaben		190

8	Lineare Differenzialgleichungssysteme		197
	A.	Allgemeine lineare Differenzialgleichungssysteme 1. Ordnung	197
	B.	Homogene Differenzialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten	203
	C.	Spezialfälle	207
	Ergänzungen		209
	Aufgaben		214

Teil III Analysis in mehreren reellen Variablen

9	Differenziation in Rⁿ		219
	A.	Kurven in Rⁿ	219
	B.	Partielle Ableitungen	223
	C.	Totale Differenzierbarkeit	228
	D.	Die Kettenregel	230
	E.	Höhere Ableitungen	232
	F.	Die TAYLOR-Formel	235
	G.	Extremwertprobleme	237
	Ergänzungen		240
	Aufgaben		247

10	Ausbau der Differenzialrechnung: Implizite Funktionen und Vektoranalysis		253
	A.	Inverse und implizite Funktionen	253
	B.	Vektorfelder und Potenziale	257
	C.	Kurvenintegrale von Vektorfeldern	260
	D.	Krummlinige Koordinaten	265
	E.	Die Feldoperationen in Kugel- und Zylinderkoordinaten (Formelsammlung)	269
	Ergänzungen		273
	Aufgaben		284

11	Integration im Rⁿ		289
	A.	Definition des RIEMANN-Integrals	289
	B.	Eigenschaften des RIEMANN-Integrals	293
	C.	Iterierte Integrale	298
	D.	Die Transformationsformel	303
	Ergänzungen		308
	Aufgaben		317

12	Integralsätze		323
	A.	Flächen im R³	323
	B.	Flächenintegrale	327
	C.	Der GREEN'sche Satz in der Ebene	329
	D.	Integralsatz vonGAUSS	331
	E.	Integralsatz vonSTOKES	336
	Ergänzungen		338
	Aufgaben		344

Teil IV Grenzprozesse

13	Konvergenz		349
	A.	Metrische Räume	349
	B.	Konvergenz von Folgen	351
	C.	Kompaktheit und Vollständigkeit	355
	D.	Konvergenz von unendlichen Reihen	357
	E.	Konvergenzkriterien	361
	Ergänzungen		363
	Aufgaben		371

14	Stetigkeit		375
	A.	Definition der Stetigkeit	375
	B.	eitere Eigenschaften stetiger Funktionen	378
	C.	Fixpunktsatz vonBANACH	379
	D.	Funktionenfolgen und -reihen	381
	E.	Differenziation und Integration von Folgen und Reihen	386
	Ergänzungen		388
	Aufgaben		391

15	Uneigentliche Integrale und Integrale mit Parameter		395
	A.	Uneigentliche Integrale in R	395
	B.	Parameterabhängige Integrale	398
	C.	Mehrdimensionale uneigentliche Integrale	401
	D.	Die EULER'sche Gammafunktion	407
	Ergänzungen		408
	Aufgaben		412

Literaturverzeichnis			417

Sachverzeichnis			419