DeutschesFachbuch.de : Mathematik für Physiker 1 Grundlagen aus Analysis und Linearer Algebra Von Karl-Heinz Goldhorn, Hans-Peter Heinz

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Inhaltsverzeichnis
BenutzerhinweiseXIII
Teil I Analysis in einer reellen Variablen
1 Reelle und komplexe Zahlen 3
A.Mengen, Funktionen, Körper 3
B.Anordnung, Betrag, Induktion 8
C.Das Supremumsaxiom 12
D.Der Körper der komplexen Zahlen 14
E.Wurzeln algebraischer Gleichungen 17
F.Elementare Funktionen (Formelsammlung)19
Ergänzungen 25
Aufgaben 31
2 Differenziation in R 35
A.Reelle Zahlenfolgen 35
B.Stetigkeit in R 38
C.Ableitung von Funktionen einer Variablen 42
D.Mittelwertsatz und TAYLOR-formel 46
E.Die Regeln vonDE L'HOSPITAL 49
F.Elementare Funktionen II (Formelsammlung)52
Ergänzungen 54
Aufgaben 62
3 Integration in 167
A.Eigenschaften des RIEMANN-Integrals 67
B.Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 70
C.Integrationsmethoden 72
Ergänzungen 74
Aufgaben 80
4 Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen 85
A.Differenzialgleichungen 1. Ordnung 86
B.Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung 90
C.Homogene lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizient...
D.Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung mit...
Ergänzungen 100
Aufgaben 108
Teil II Lineare Algebra und lineare Differenzialgleichungen
5 Vektoren, Matrizen, Determinanten 113
A.Vektoren und Matrizen 113
B.Lineare Gleichungssysteme und GAUSS-Elimination 118
C.Determinanten und Permutationen 123
D.Die inverse Matrix 131
E.Lineare Gleichungssysteme, Determinanten und Rang 133
Ergänzungen 136
Aufgaben 138
6 Vektorräume 143
A.Dimension und Basis eines Vektorraumes 143
B.Norm und Skalarprodukt 149
C.Das Vektorprodukt im R 3 155
Ergänzungen 157
Aufgaben 160
7 Lineare Abbildungen 165
A.Definition und einfache Eigenschaften linearer Abbildungen 165
B.Die Matrix einer linearen Abbildung 169
C.Eigenwerte linearer Abbildungen 172
D.Lineare Abbildungen im Prähilbertraum 175
E.Unitäre und orthogonale Gruppen 180
Ergänzungen 185
Aufgaben 190
8 Lineare Differenzialgleichungssysteme 197
A.Allgemeine lineare Differenzialgleichungssysteme 1. Ordnung 197
B.Homogene Differenzialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten 203
C.Spezialfälle 207
Ergänzungen 209
Aufgaben 214
Teil III Analysis in mehreren reellen Variablen
9 Differenziation in Rn 219
A.Kurven in Rn 219
B.Partielle Ableitungen 223
C.Totale Differenzierbarkeit 228
D.Die Kettenregel 230
E.Höhere Ableitungen 232
F.Die TAYLOR-Formel 235
G.Extremwertprobleme 237
Ergänzungen 240
Aufgaben 247
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Sachverzeichnis
AAbbildung, 5
- stetige 375
ABEL'sche Gruppe, 7
abgeschlossen, 351
Ableitung, 42
- einer Vektorfunktion 220
- höhere 47, 232
- linksseitige 43
- rechtsseitige 43
- totale 228
Abschluss, 224, 350
absolut integrierbar, 397, 402
absolut konvergent, 357, 397
absolut summierbar, 368
Abstandsfunktion, 349
Addition, 14, 115
Additionstheoreme, 19, 23
adjungierte Abbildung, 176
adjungierte Matrix, 115
Adjunkte, 130
- Ähnlichkeit (von Matrizen), 171 Ähnlichkeitstransformation, 171
Äquivalenz (von Normen), 354
affine Transformationen, 303
affiner Teilraum, 321
algebraische Gleichung, 17
algebraische Vielfachheit, 175
allgemeine Lösung, 86, 92
- eines homogenen Systems von Differenzialgleichungen 201
- eines inhomogenen Systems von Differenzialgleichungen 201
alternierende Reihe, 360
Anfangsbedingung, 86, 91, 198
Anfangspunkt (einer Kurve), 221
Anfangswertaufgabe, 86, 198
angeordneter Körper, 9
Arcus-Cosinus, 20
Arcus-Cotangens, 20
Arcus-Sinus, 20
Arcus-Tangens, 20
Area Cosinus hyperbolicus, 24
Area Sinus hyperbolicus, 24
Area Tangens hyperbolicus, 24
Argument, 16
Assoziativgesetz, 7
Aussagen, 3
Ausschöpfung, 367, 402
BBANACH-Raum, 353
BAN ACH 'scher Fixpunktsatz, 380
Basis, 143
Basistransformation, 147
bedingt konvergent, 357
Begleitmatrix, 211
Berührpunkt, 350
BERNOULLi'sche Ungleichung, 11
beschränkt, 12, 35, 351, 352
- nach oben 35
- nach unten 35
Betrag, 10, 15
Betrag der Geschwindigkeit, 222
Betragsmetrik, 350
Bewegung, euklidische, 321
bijektiv, 6
Bild
- einer linearen Abbildung 166
- einer Menge 5
eines Elements 5
- Binomialkoeffizient, 10
binomische Formel, 11
Bogenbzw. Flächenelement auf der Einheitssphäre, 404
Bogenelement, 223
Bogenlänge, 223
Bogenlänge des Einheitskreises, 404
CCAUCHY-Folge, 352
CAUCHY-Kriterium, 357
CAUCHY-Kriterium (für Reihen), 359
CAUCHY-Kriterium (für uneigentliche Integrale), 397
charakteristische Funktion, 295
charakteristisches Polynom, 173
Cosinus hyperbolicus, 22
Cotangens hyperbolicus, 23
CRAMER'sche Regel, 133
DDefekt (einer linearen Abbildung), 166
Definitionsbereich, 5
Determinante, 123
Determinanten-Multiplikationssatz, 129
Diagonalmatrix, 172
Diffeomorphismus, 266
Differenz (von Mengen), 4
Differenzial, 228
Differenzialgleichung, 85
- gewöhnliche erster Ordnung 86
- lineare 88, 91
- vom EuLER-CAUCHY-Typ 104
Differenzialoperator, 186
Differenzialtopologie, 277
differenzierbar, 42, 220
- fc-mal 47
- partiell 225, 226
- total 228
Dimension, 144
- unendliche 144
Dimensionsformel, 167
direkte Summe, 154, 159, 187
direkte Zerlegung, 154
disjunkt, 4
divergente Minorante, 361
Divergenz, 257
Divergenzsatz, 332
Dreiecksmatrix, 130
Dreiecksungleichung, 151, 350
Durchmesser (eines mehrdimensionalen
- Intervalls), 290
Durchschnitt, 4
EEigenvektor, 172
Eigenwert, 172
einfach zusammenhängend, 264
Einheitsmatrix, 115
Einheitswurzeln, n-te, 18
Einschränkung (einer Abbildung), 5
Element (einer Menge), 4
elementare Funktionen, 19, 52
elementare Matrixoperationen, 119
Ellipsoid, 321
endliche geometrische Reihe, 11
Endomorphismus, 166
Endpunkt (einer Kurve), 221
Entwicklung einer Determinante nach Zeilen oder Spalten, 130
erweiterte Matrix, 118
euklidische Metrik, 350
euklidische Norm, 151
euklidischer Raum, 149
euklidisches Skalarprodukt, 152
EULER'sche Gamma-Funktion, 407
EULER'sche Winkel, 184
EULER'sche Zahl, 45
Existenz einer Eins (neutrales Element), 7
Existenz eines inversen Elementes, 7
explizite allgemeine Lösung, 87
Exponentialansatz, 203
Exponentialdarstellung (einer komplexen Zahl), 16
Exponentialfunktion, 20
Extremstelle, 237
FFakultät, 10
Feinheit (einer Zerlegung), 68, 291
Fixpunkt, 380
Fixpunktsätze, 380
Flächenelement
- skalares 328
- vektorielles 328
Flächeninhalt, 328
Flächeninhalt der Einheitssphäre, 404
Flächenintegral, 328, 329
Folge, 35, 351
- beschränkte 35, 352
- konvergente 36, 352
monotone 35
Folgenkriterium, 39, 376
Formel von DE MOIVRE, 17
Fortsetzung (einer Abbildung), 5
- FOURIER-Koeffizienten, 153
Fundamentalmatrix, 200
Fundamentalsystem, 91, 200, 211
Funktion, 5
- integrierbare 69, 292
- stetige 39, 225, 375
- (streng) monotone 42
Funktionswert, 5
GGamma-Funktion, 407
ganze Zahlen, 8
- GAUSS'scher Integralsatz, 332
Gebiet, 224
Geometrische Reihe, 358
geometrische Vielfachheit, 175
geordnetes Paar, 5 gestufte Form
- einer Matrix 120
- eines linearen Gleichungssystems 120
gleichmäßig stetig, 379
gleichmäßige CAUCHY-Folge, 383
gleichmäßige Konvergenz, 382
Grad (eines Polynoms), 28
Gradient, 226
Graph, 5
GREEN'sche Formeln, 335
GREEN'scher Bereich, 330, 331
Grenzwert, 36, 39, 219, 225, 352, 357
Gruppe, 7
Gruppenaxiome, 7
- harmonische Funktion, 257
- harmonische Reihe, 358
HHäufungspunkt, 351
Hauptachsentransformation, 180
HERMITE'sch, 177
HESSE'sche Matrix, 238
HILBERT-Raum, 353
hinreichende Bedingung, 3
homogene lineare Differenzialgleichung, 91
homogenes Polynom, 242
Homomorphismus, 165
homotop, 276
Homotopie, 276
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