DeutschesFachbuch.de : Zahlentheorie Eine Einführung in die Algebra Von A. Leutbecher

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Inhaltsverzeichnis
Einleitung. 1
Häufig verwendete Abkürzungen. 9
1 Der Fundamentalsatz der Arithmetik. 11
1.1 Die natürlichen Zahlen. 11
1.2 Der größte gemeinsame Teiler. 12
1.3 Vier Regeln zum größten gemeinsamen Teiler. 15
1.4Über die Primzahlen. 18
1.5 Kanonische Zerlegung und Teiler. 20
1.6 Die Rolle der Primzahlen in Q. 21
Aufgaben. 22
2 Primzahlen und irreduzible Polynome. 25
2.1 Das Sieb des Eratosthenes. 25
2.2Über das Wachstum der Primzahlen. 26
2.3 Der Fundamentalsatz in Polynomringen. 29
2.4Über Nullstellen und größte gemeinsame Teiler. 32
2.5 Polynomfaktorisierung in der linearen Algebra. 34
Aufgaben. 35
3 Die Restklassenringe von Z. 37
3.1 Die Restklassen und ihre Verknüpfungen. 37
3.2 Die Eulersche φ-Funktion. 39
3.3 Der Chinesische Restsatz. 40
3.4 Vielfache und Potenzen. 43
3.5 Anwendung auf die prime Restklassengruppe. 45
Aufgaben. 47
4 Die Struktur endlicher abelscher Gruppen. 49
4.1 Der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen. 49
4.2 Die Struktur der primen Restklassengruppen. 53
Aufgaben. 56
5 Das quadratische Reziprozitätsgesetz. 57
5.1 Beschreibung der Quadrategruppe als Kern. 57
5.2 Einführung des Jacobi-Symbols nach Kronecker. 58
5.3 Vorkehrung zum Beweis des Hauptsatzes. 60
5.4 Das Reziprozitätsgesetz für das Jacobi-Symbol. 63
5.5 Quadrate in der primen Restklassengruppe. 65
Aufgaben. 66
6 Gewöhnliche Kettenbrüche. 69
6.1 Die Halbgruppe des euklidischen Algorithmus. 70
6.2 Möbiustransformationen der projektiven Gerade. 73
6.3 Die Kettenbruchentwicklung der Irrationalzahlen. 75
6.4 Die Approximationsgüte der Näherungsbrüche. 78
6.5 Periodische Kettenbrüche. 81
6.6 Beste Näherungen. 82
6.7 Die Farey-Reihe. 83
Aufgaben. 84
7 Quadratische Zahlkörper. 87
7.1 Teilkörper von C als Vektorräume über Q. 87
7.2 Gitter und ihre Ordnungen. 89
7.3 Der Ganzheitsring und seine Einheitengruppe. 91
7.4 Der Automorphismus quadratischer Zahlkörper. 94
7.5 Grundeinheiten und Kettenbrüche. 95
Aufgaben. 99
8 Teilbarkeit in Integritätsbereichen. 101
8.1 Grundbegriffe der Teilbarkeitslehre. 101
8.2 Faktorielle Ringe. 103
8.3 Hauptidealringe. 105
8.4 Zahlkörper mit euklidischem Algorithmus. 106
8.5 Arithmetik quadratischer Zahlkörper. 110
Aufgaben. 115
9 Die lokalen Körper über Q. 117
9.1 Der Ring der ganzen p-adischen Zahlen. 117
9.2 Der p-Betrag und die ultrametrische Ungleichung. 118
9.3 Der Körper der p-adischen Zahlen. 122
9.4 Polynome mit ganzen p-adischen Koeffizienten. 123
9.5 Die verschiedenen Beträge des Körpers Q. 126
Aufgaben. 129
10 Das Hilbertsche Normenrestsymbol. 131
10.1 Quadratische Erweiterungen p-adischer Körper. 131
10.2 Die Normen-Index-Gleichung. 133
10.3 Das Hilbert-Symbol als Bilinearform. 136
10.4 Produktformel für die lokalen Hilbertsymbole. 137
Aufgaben. 140
11 Elemente der Gruppentheorie. 141
11.1 Halbgruppen, Monoide und Gruppen. 141
11.2 Torsions-Elemente in abelschen Gruppen. 145
11.3 Freie abelsche Gruppen und ihre Untergruppen. 147
11.4 Die symmetrische Gruppe. 150
11.5 Exkurs über Gruppenaktionen. 152
11.6 Die Sylowschen Sätze. 155
Aufgaben. 156
12 Zahlkörper und ihre Ordnungen. 159
12.1 Die Gitter in algebraischen Zahlkörpern. 159
12.2 Die Dedekindschen Ordnungen. 161
12.3 Die Diskriminante einer Basis. 163
12.4 Die Endlichkeit der Klassenzahl. 164
12.5 Konstruktion von Zahlkörpern aus Polynomen. 166
12.6 Polynome über faktoriellen Ringen. 168
12.7 Biquadratische Zahlkörper. 173
Aufgaben. 175
13 Der Fundamentalsatz in Zahlkörpern. 177
13.1 Die Gruppe der gebrochenen Ideale. 177
13.2 Der allgemeine Chinesische Restsatz. 180
13.3 Die Absolutnorm der Ideale in Zahlkörpern. 182
13.4 Zerlegung der Primzahlen in Zahlkörpern. 184
13.5 Restklassenrechnen im Ganzheitsring. 186
13.6 Relativerweiterungen von Zahlkörpern. 187
13.7 Quadrate in quadratischen Zahlkörpern. 190
Aufgaben. 193
14 Endliche Galois-Erweiterungen. 195
14.1 Adjunktion von Nullstellen eines Polynoms. 195
14.2 Fortsetzung von Körper-Isomorphismen. 197
14.3 Einfache Nullstellen und formale Ableitung. 199
14.4Über Homomorphismen von Körpern. 200
14.5 Der Fixkörper von Automorphismen. 202
14.6 Der Hauptsatz der Galoistheorie. 203
14.7 Polynome in Galoiserweiterungen. 205
14.8 Automorphismen rationaler Funktionenkörper. 208
Aufgaben. 209
15 Anwendungen der Galois-Theorie. 211
15.1 Aktion der Galoisgruppe auf den Wurzeln. 211
15.2 Separable Körpererweiterungen. 212
15.3 Norm, Spur und Hauptpolynom. 213
15.4 Der Verschiebungssatz der Galoistheorie. 216
15.5 Adjunktion von Einheitswurzeln. 217
15.6 Erweiterungen endlicher Körper. 219
15.7 Galoiserweiterungen von Zahlkörpern. 220
15.8 Die Hilbertsche Untergruppenkette. 222
Aufgaben. 224
16 Differente und Diskriminante. 227
16.1 Einführung der Differente eines Zahlkörpers. 227
16.2Über monogene Ordnungen in Zahlkörpern. 230
16.3 Der zweite Dedekindsche Hauptsatz. 232
16.4 Der dritte Dedekindsche Hauptsatz. 234
16.5 Die Resultante zweier Polynome. 237
16.6 Eigenschaften der Resultante. 240
16.7 Die Diskriminante eines normierten Polynoms. 242
Aufgaben. 243
17 Kreisteilungskörper über Q. 245
17.1 Einheitswurzeln von Primzahlpotenzordnung. 246
17.2 Der m-te Kreisteilungskörper. 247
17.3 Ein Satz zur Fermatschen Vermutung. 249
17.4 Zerlegung der Primzahlen in Kreiskörpern. 251
17.5 Der Satz von Kronecker und Weber. 253
Aufgaben. 257
18 Geometrie der Zahlen. 259
18.1 Der Gitterpunktsatz von Minkowski. 259
18.2 Einbettung der Gitter von Zahlkörpern. 263
18.3 Schranken für Normen und Diskriminanten. 265
18.4 Der Dirichletsche Einheitensatz. 268
18.5 Normeuklidische Zahlkörper nach H. W. Lenstra. 272
18.6 Ausnahme-Einheiten. 274
Aufgaben. 276
19 Der Dirichletsche Primzahlsatz. 279
19.1 Charaktere endlicher abelscher Gruppen. 279
19.2 Dirichlet-Reihen. 282
19.3 Logarithmus und unendliche Produkte. 285
19.4 Der Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes. 288
19.5 Die Dedekindsche Zetafunktion. 289
19.6 Die Klassenzahlen quadratischer Zahlkörper. 296
Aufgaben. 301
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Index
A
Abel, N. H. 195
abelsche Gruppen 6, 49-56, 145-150
- direkte Summe, dir. Produkt 49
- elementar-abelsche p-G. 52, 132
- freie a. G. 147, 149, 178, 260
- Primärkomponenten 53, 141, 145, 193
- Torsionsunterg. 145
abelsche Körper(-erweiterungen) 217, 245, 253, 255
Abelsche partielle Summation 283, 297
Abelscher Grenzwertsatz 297
Ableitung 199
Absolutbeträge auf Q 126
- gewöhnlicher A. 117
- p-adische A. 117, 119
Absolutnorm 110, 177, 182
Adjunktion
- eines Elementes 87
- von Nullstellen 166, 184, 195-197
äquivalente
- (Vektorraum-)Normen 308
- Beträge, Bewertungen 127, 308
- Gitter 90, 98, 161
- Irrationalzahlen 100
Aktion der Galoisgruppe auf den
- ganzen Zahlen 211, 220, 222
- Polynomen 205
- Wurzeln 211-212
Aktionen einer Gruppe 152
algebraisch abgeschlossen 31
algebraische Zahlkörper 87, 159-176
- (Definition) 159
Algorithmus
- Determinanten-A. 157
- Diskriminanten-A. 242
- euklidischer A. 16, 23, 106-110
- für das Jacobisymbol 66
- für schnelle Multiplikation 55
alternierende Gruppen 151, 158, 212
- als Galoisgr. 225
angeordnete Körper 327
Annihilator 49
Anordnung der ganzen Zahlen 11
Approximation
- reeller durch rationale Zahlen 82, 84
- reeller Zahlen durch Kettenbrüche 78-80
- von Körperelementen durch Gitterzahlen 164
Approximationssätze 126, 327
archimedische Bewertungen 305, 310
Artin, E. 195
Artin-Schreier-Erweiterungen 210, 226
assoziierte Ringelemente 102
asymptotische Gitterpunktzahlen 294
Ausnahme-Einheiten 259, 275
Ausnahmefolgen 272, 274
Automorphismen 6
B
Bahnen unter Gruppenaktionen 102, 152
Bahnlängenformel 153
Basis
- duale B. 160
- einer freien abelschen Gruppe 147
- einer Körpererweiterung 88, 89, 160, 162-164, 173-174
- eines Gitters 166, 167, 176
- reduzierte B. 97
beste Näherung 82
Beträge 117, 127, 305, 306
- Äquivalenz 127
- trivialer B. 127
Bewertungen 127, 305, 306
- Äquivalenz 308
- archimedische B. 305, 310
- Fortsetzung 315-316
- p-adische 318
- triviale B. 308, 319
- ultrametrische B. 305, 310
Bewertungsideal 310, 319
Bewertungsringe 305, 310, 328
Bilinearformen
- Hilbertsymbol 137
- Spurform 107, 160, 163, 214
binomische Reihe 130
biquadratische Zahlkörper 159, 173-175, 210
Brüche 21, 115, 122, 208
C
Carmichaelzahlen 48
cartesisches Produkt 43, 117
Cauchy-Folgen 117, 306
Cauchy-Produkt 130
Cayley, A.
- Satz von C.-Hamilton 35, 88, 160
Charaktere 60, 116, 279, 281
- Orthogonalitätsrelationen 280
Charaktergruppe 279
Charakteristik 44, 207, 210, 212, 218, 219, 226, 310, 319, 320
charakteristisches Polynom 87, 91, 131, 160, 162, 197, 214, 299
Chinesischer Restsatz 37, 41, 48, 49, 53, 71
- allgemeine Form 177, 180, 186, 319
CM-Körper 277
Cramersche Regel 336
D
Darstellung 87, 94, 131, 160, 166, 197, 214
Davenport, H. 262, 301
Dedekind, R. 87, 159, 195, 253
- Lemma von D. 200, 218
Dedekindsche
- Differentensätze 228-236
- Ordnungen 161-163
- - (Definition) 91, 161
- Zetafunktion 279, 289-296
- - (Definition) 289
Dedekindscher Diskriminantensatz 227, 235, 254, 266
Derivationen 199
Determinanten 87, 238, 271, 293, 331-337
Deuring, M. 253
Dezimalbrüche 69
dicht 120, 306
Differente
- einer Erweiterung 228
- eines Zahlkörpers 228
- Zahldifferente 232
Differentensätze 228-236
direktes Produkt von
- abelschen Gruppen 49
- Gruppen 144
- Ringen 43, 180
Dirichlet, P. G. L. 159, 259, 268, 279, 301
Dirichletreihen 279, 282-284
Dirichletsche L-Reihen 279, 284, 288, 301-304
Dirichletscher
- Einheitensatz 259, 269
- Primzahlsatz 139, 258, 279, 289
diskrete
- Punktmengen 259
- Topologie 77
- Untergruppen 259
Diskriminante
- Algorithmus 242
- einer Basis 163, 215
- einer Erweiterung 228
- eines Gitters 164
- eines Polynoms 209, 212, 215, 242
- eines Zahlkörpers 107, 164, 228
- Primdiskriminanten 193
Diskriminantensatz von
- Dedekind 227, 235, 254, 266
- Minkowski 254, 256, 266
Diskriminantenschranke 265
- kleine Diskriminanten 274
Division mit Rest 13, 77
- für Polynome 30, 105, 240
Divisionsalgebren 140
Divisionsalgorithmus 16, 23, 75, 77
Dreiecksungleichung 127, 306, 310
duale
- Basis 160
- Gruppe 279
duales Gitter 160, 227
E
Einbettungen
- der Idealgruppe 188
- von Zahlkörpern in C 263, 318
- - reelle, imaginäre 263
einfache
- Körpererweiterungen 213
- Nullstellen 199
Einheiten 43, 93, 96, 185
- Ausnahme-E. 259, 275
Einheitengruppe 6, 53, 97, 100, 101, 120, 123, 259, 268-271
Einheitensatz von Dirichlet 269
Einheitswurzeln 93, 217, 245, 269, 277, 296
- in p-Körpern 125, 320-324
- primitive E. 171, 193, 218, 245
Einsetzungshomomorphismus 32
Eisenstein, G.
- E.-Polynome 170, 171, 176, 236, 246
- Irreduzibilitätskriterium 170, 236, 246
Element
- maximaler Ordnung 46
- primitives E. 213, 230, 233, 271, 317
elementar-abelsche p-Gmppen 52, 132
Elementarmatrizen 73, 108
elementarsymmetrische Polynome 212, 244
Elementarteilerkette 49, 54
- Eindeutigkeit 51
endliche
- Körper 45, 46, 179, 207, 219
- Stellen 318
Endlichkeit der Klassenzahl 164-166
Entwicklungsformel für Determinanten 334
Eratosthenes 25
Ergänzungssätze zum quadr. Reziprozitätsgesetz 60, 138
Erzeugnis 7
Euklid 18
- Satz von E. 25
euklidische Zahlkörper 106, 272, 278
euklidischer Algorithmus 16, 23, 106-110
Euler, L. 45, 57, 69, 277
- Satz von E. 71
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