DeutschesFachbuch.de : Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Von Wolfgang Dahmen, Arnold Reusken

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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität 11
2.1 Kondition eines Problems 11
2.1.1 Elementare Beispiele 12
2.1.2 Bemessen, Normen 15
2.1.3 Relative und Absolute Kondition 18
2.1.4 Relative Konditionszahlen skalarwertiger Probleme 19
2.1.5 Operatornormen, Konditionszahlen linearer Abbildungen 26
2.2 Rundungsfehler und Gleitpunktarithmetik 35
2.2.1 Zahlendarstellungen 35
2.2.2 Rundung, Maschinengenauigkeit 37
2.2.3 Gleitpunktarithmetik und Fehlerverstärkung bei elementaren Rechenoperation...
2.3 Stabilität eines Algorithmus 42
2.4Übungen 48
3 Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren 51
3.1 Vorbemerkungen, Beispiele 51
3.2 Kondition und Störungssätze 58
3.2.1 Zeilenskalierung 62
3.3 Wie man es nicht machen sollte 64
3.4 Dreiecksmatrizen, Rückwärtseinsetzen 65
3.5 Gauß-Elimination, LR-Zerlegung 68
3.5.1 Gauß-Elimination mit Spaltenpivotisierung 71
3.5.2 Numerische Durchführung der LR-Zerlegung und Implementierungshinweise 76
3.5.3 Einige Anwendungen der LR-Zeilegung 79
3.6 Cholesky-Zerlegung 82
3.7 Bandmatrizen 88
3.8 Stabilitätsanalyse bei der LR- und Cholesky-Zerlegung 91
3.9 Qß-Zerlegung 92
3.9.1 Givens-Rotationen 95
3.9.2 Householder-Transformationen 101
3.10Übungen 107
4 Lineare Ausgleichsrechnung 117
4.1 Einleitung 117
4.2 Das lineare Ausgleichsproblem 120
4.3 Kondition des linearen Ausgleichsproblems 124
4.4 Numerische Lösung des linearen Ausgleichsproblems 127
4.4.1 Lösung der Normalgleichungen 127
4.4.2 Lösung über QR-Zerlegung 129
4.5 Zum statistischen Hintergrund - lineare Regression 132
4.6 Orthogonale Projektion auf einen Teilraum 135
4.7 Singulärwertzerlegung (SVD) und Pseudoinverse 142
4.7.1 Berechnung von Singulärwerten 148
4.7.2 Rangbestimmung 150
4.7.3 Einige Anwendungshintergründe der SVD 152
4.8Übungen 153
5 Nichtlineare Gleichungssysteme, iterative Lösungs verfahren 159
5.1 Vorbemerkungen 159
5.2 Kondition des Nullstellenproblems einer skalaren Gleichung 162
5.3 Fixpunktiteration 164
5.4 Konvergenzordnung und Fehler Schätzung 175
5.5 Berechnung von Nullstellen von skalaren Gleichungen 180
5.5.1 Bisektion 180
5.5.2 Das Newton-Verfahren 181
5.5.3 Newton-ähnliche Verfahren 186
5.5.4 Zusammenfassende Hinweise zu den Methoden für skalare Gleichungen 190
5.6 Das Newton-Verfahren für Systeme 190
5.6.1 Grundlagen des Newton-Verfahrens 190
5.6.2 Hinweise zur praktischen Durchführung des Newton-Verfahrens 196
5.7 Berechnung von Nullstellen von Polynomen 203
5.8Übungen 207
6 Nichtlineare Ausgleichsrechnung 213
6.1 Problemstellung 213
6.2 Das Gauß-Newton-Verfahren 215
6.2.1 Analyse der Gauß-Newton-Methode 216
6.2.2 Das gedämpfte Gauß-Newton-Verfahren 221
6.3 Levenberg-Marquardt-Verfahren 222
6.4Übungen 224
7 Berechnung von Eigenwerten 227
7.1 Einleitung 227
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Sachverzeichnis
AA-stabil. 444
Abbildung, Reduktions- 37
Abbruchfehler, lokaler, 393
abgebrochene Potenz. 325
Adams-Bashforth, 426
Adams-Moultom 428
adaptiv. 419
Ähnlichkeit von Matrizen, 231
Algorithmus. 4
- Entwurf. 42
- gutartiger. 42
- stabiler, 42
Anfangs-Randwert aufgäbe, 52
Anfangswertaufgabe, 457
- n-ter Ordnung. 379
Anlaufwert, 424
Arithmetik
- Gleitpunkt- 39
- Pseudo-. 39
Assoziativität, Pseudoarithnietik, 40
asymptotisch stabil, 434
asymptotische Entwicklung. 360
Auflösungsvermögen, Rechner, 39
Ausgleichsrechmmg, 120
Auslöschung, 25, 41
BB-Spline, 326
Banachscher Fixpunktsatz. 169
Bandbreite, 89
Bandmatrix, 88
Basis, orthonormale, 140
Bisektion, 180
Block-Tridiagonalmatrix, 472
Butcher-Tableau, 409
CCG. siehe konjugierte Gradienten Charakteristik. 474
charakteristisches Polynom, 230
Cholesky Verfahren, 82, 85
- Zerlegung, 85
Gramer sehe Regel, 64
Crank-Nicolson. 537
DDatenfit, 342
Defekt, 480
definit hermitesch positiv, 83
- symmetrisch positiv, 83
Deflation, 203
Delaunay-Triangulierung, 529
dense Output, 413
Determinante, 64
- Berechnung, 81
Diagonalisierbarkeit
- einer Matrix, 232
Diagonalmatrix, 65
Differentialgleichung, 53
- gewöhnliche, 375
- partielle, 378, 455
- elliptische, 457, 461
- hyperbolische, 461
- parabolische, 461, 463
Differenzen
dividierte, 277
- formel, 470
- quotient, 53
- stern, 470
- verfahren, 469, 470
Diffusionsgleichung, 457
diskrete Fourier-Transformation, 308
diskreter Fourier-Koeffizient, 308
Diskretisierung, Differentialgleichung, 52
Diskretisierungsfehler, 4
Distributivgesetz, 40
dividierte Differenz, 277
Dreiecksmatrix
- obere, 65
- untere, 65
duales Gitter, 530
Dualraum, 495
dünnbesetzt, siehe Matrix, dümibes.
Dyade, 101
EEigenvektor, 227
Eigenwert. 84, 227
- gleichung, 227
Einschrittverfahren, 386, 392
explizites, 392
- implizites. 392
Einzelschritt verfahren. 558
Fliminat iun.
Gauß-.OS. 69
Ellipt i/it äiskonstante. 167
Energie
- abschätzimg, 468
- norm, 500
Entwicklung
- Taylor-. 53
Entwicklungssatz, Laplace, 64
eps (Maschinengenauigkeit), 39
Eul er-Verfahren
explizites, 386
- implizites, 439
- verbessertes, 388
Exponent, 36
Extrapolation, 360, 362, 404
FFaktorisierung Schur-. 232
- komplexe, 232
- reelle, 232
Faltung. 305, 458
Fehler akkuinulation, 42
- Diskretisierungs- 4
- Modell- 4
- Rundungs- 4 absoluter, 38
- relativer, 38
- Verfahrens- 4
- Verstärkung, 39
Fehlerquadratmethode, Gauß, 120
FEM, siehe Finite-Elemente-Methode FFT, 316 fill-in, 543
Finite-Differenzen-Methode, 470
Finite-Elemente
- Methode, 469, 491
- Raum, 503
Finite-Volumen-Methode. 469, 523
Fixpunkt, 166
- abstoßender, 168
- Iteration. 165
Fixpunktsatz, Banachscher, 169 floating point number. 35
- Fourier
- analyse, 478
- koeffizient, 141
Frobenius-Matrix, 70
Fundamentalpolynome.
- Lagrange-. 268
GGalerkin Diskretisierung. 498
- Orthogonalität, 500
- Verfahren, 495
Galerkin-Methode, 304
Gauß
- Elimination, 68, 69
- Fehlerquadrat methode. 120 -Newton-Verfahren, 215 -Quadratur, 355
- Seidel-Verfahren, 558
Genauigkeit, Maschinen-. 37
Gerschgorin-Kreis, 234
Gesamtschrittverfahren. 554
Gitter, 53
- funkt ionen, 470
Givens-Rotation, 95
- schnelle, 101
Gleichungssystem, lineares, 52
Gleitpunkt
- arithmetik, 39
- darstellung, normalisierte, 35
- zahl, 35
globaler Diskretisierungsfehler, 393
Gradient, 21
Gram-Matrix, 83
Grenzschicht, 476
Gronwall-Lemma, 385
gutartiger Algorithmus, 42
HHauptteil eines Operators, 461
Hermite-Interpolation, 286
hermitesch
- positiv definit, 83
Hesse-Matrix, 21
Hubert Matrix, 92
- Raum, 494
Homotopieverfahren, 198
Householder-Transformation, 101
Hutfunktion, 327
IICCG-Methode, 578
Identität, 83
Integralgleichung, 387
Interpolation
- Lagrange- 266
- Polynom- 266
Interpolationsfehler, 280
inverses Problem, 466
irreduzibel, 484
Iteration, 82
- Fixpunkt- 165
Iterationsmatrix, 549
Iterationsverfahren
- lineares, 549
JJacobi-Verfahren, 554
Kk-Schrittverfahren, lineares, 424
Koeffizient
- führender, 276
- Fourier- 141
Kollokationsverfahren, 309
kompakte Speicherung, 90
Komplexität
- iterativer Löser, 554
Kondition, 11, 19, 58
Konditionszahl
- absolute, 15
- relative, 22
Konditionszahl, Matrix, 59
konjugierte Gradienten, 566
Konsistenzfehler, 395, 480
Konsistenzordnung, 396
Kontraktion, 167
Kontraktionszahl, 551
Kontrollvolumen, 524
Konvektions-Diffusionsgleichung, 465
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