VORWORT
ZUR DEUTSCHEN ÜBERSETZUNG

DIE ersten Anfänge der nachfolgend dargestellten Überlegungen liegen nun schon viele Jahre zurück. Öffentlich sprach ich darüber erstmals in einem "Rathausvortrag" in Zürich unter dem Titel "Geometrische Darstellung einer Gedankenkette" im Jahre 1917, dann in einem Vortrag in Bern im Jahre 1931 vor dem Verein Schweizerischer Mathematiklehrer unter dem Titel: "Wie sucht man die Lösung mathematischer Aufgaben?" Den letzteren Titel wählte ich auch für die Vorlesungen, die ich im Sommer 1931 und Winter 1933/34 an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich über den Gegenstand hielt.

Die vorliegende Darstellung wendet sich in erster Linie an junge Menschen mit ernsthaftem Interesse am mathematischen Denken, aber ohne besondere Vorkenntnisse, sowie an Lehrer der Mathematik aller Stufen. Daher werden die einfachsten Beispiele bevorzugt und alles in möglichst bescheidenem Tone hervorgebracht. Dies macht jedoch vielleicht notwendig, hier darauf hinzuweisen, daß die Ziele der dargelegten Überlegungen keineswegs bescheiden sind. Das Buch enthält relevante Beispiele und wesentliche Ansätze zur "Heuristik" oder "Logik der Erfindung" sowie auch zur "Logik des plausiblen Schließens". Diese Beispiele und Ansätze sind kurz und ohne zudringliche Reklame dargelegt unter der Devise: "sapienti sat".

Der vorliegenden deutschen Übersetzung liegt der fünfte, etwas erweiterte Abdruck des englischen Originaltextes "How to Solve It" zugrunde. Die Übersetzung benötigte eine teilweise Umstellung des Textes und die nicht leichte Neubearbeitung verschiedener Einzelheiten. Ich bin der Übersetzerin, Frau Elisabeth Behnke, für ihre verständnisvolle und hingebende Arbeit zu großem Danke verpflichtet. Auch Herrn Prof. Dr. Heinrich Behnke an der Universität Münster in Westfalen möchte ich gerne meinen Dank für seine freundliche Hilfe ausdrücken.

VORWORT

DIE Lösung eines großen Problems stellt eine große Entdeckung dar, doch in der Lösung eines jeden Problems steckt etwas von einer Entdeckung. Deine Aufgabe mag noch so bescheiden sein; wenn sie jedoch dein Interesse weckt, wenn deine Erfindungsgabe angeregt wird und du die Aufgabe aus dir selbst heraus löst, so wirst du die Spannung und den Triumph eines Entdeckers erfahren. Wenn solche Erfahrungen in einem Alter, das für Eindrücke empfänglich ist, gemacht werden, so mag das den Sinn für geistige Arbeit hervorrufen und seinen Stempel auf Geist und Charakter für das ganze Leben einprägen.

So hat der Lehrer der Mathematik eine große Chance. Wenn er die ihm zur Verfügung stehende Zeit damit ausfüllt, seine Schüler in eingeübten Verfahren zu drillen, mindert er ihr Interesse und hemmt ihre geistige Entwicklung; dann nutzt er seine Chance schlecht. Aber wenn er den Wissensdrang seiner Schüler weckt, indem er ihnen Aufgaben stellt, die ihren Kenntnissen angepaßt sind, und ihnen durch geschickte Fragen hilft, die Aufgaben zu lösen, so wird er den Geschmack an selbständigem Denken in ihnen entwikkeln und ihnen Wege dazu aufzeigen.

Auch der Schüler, dessen Studienplan Mathematik umfaßt, hat eine einzigartige günstige Gelegenheit. Diese Gelegenheit ist natürlich verpaßt, wenn er die Mathematik als ein Fach betrachtet, in dem er sich eine bestimmte Note verdienen muß und das er nach dem Schlußexamen so schnell wie möglich vergessen kann. Die Gelegenheit mag sogar verpaßt sein, wenn der Schüler eine natürliche Begabung für Mathematik hat, denn, wie in jedem Falle, muß er seine Begabungen und Neigungen ja erst entdecken; er kann nicht wissen, ob er bayrische Knödel liebt, wenn er sie niemals gegessen hat. Er mag etwa zu der Feststellung kommen, daß ein mathematisches Problem so viel Vergnügen bereiten kann wie ein Kreuzworträtsel, oder daß eine intensive geistige Arbeit so angenehm wie eine Tennispartie sein kann. Wenn er einmal die Freude an der Mathematik gekostet hat, wird er sie nicht leicht wieder verlieren, und das ist dann die Chance, daß die Mathematik eine Bedeutung für ihn bekommt: vielleicht wird sie sein Steckenpferd, vielleicht ein Werkzeug für seinen Beruf, oder sein Beruf selbst, oder gar eine große Leidenschaft.

Der Verfasser erinnert sich der Zeit, da er selbst Student war, und zwar ein einigermaßen ehrgeiziger Student, der danach strebte, etwas von Mathematik und Physik zu verstehen. Er hörte Vorlesungen und las Bücher und versuchte, die dargestellten Lösungen und Tatsachen zu begreifen; aber es gab eine Frage, die ihn immer und immer wieder in Unruhe versetzte: "Gewiß, die Lösung scheint zu gehen, sie scheint richtig zu sein; wie aber ist es möglich, eine solche Lösung zu finden? Dieses Experiment scheint zu klappen, es scheint ein Faktum zu sein; aber wie kann jemand solche Tatsachen entdecken? Und wie könnte ich selbst je so etwas erfinden oder entdecken?" Heute lehrt der Verfasser Mathematik an einer Universität; unter seinen Schülern, so denkt und hofft er, werden manche der eifrigeren ähnliche Fragen stellen, und er versucht, ihren Wissensdrang zu befriedigen. In dem Bemühen, nicht nur die Lösung von diesem oder jenem Problem zu verstehen, sondern auch die Motive und Verfahren der Lösung, und diese dann anderen zu erklären, wurde er schließlich dazu geführt, das vorliegende Buch zu schreiben. Möge es Lehrern nützlich sein, die bei ihren Schülern das Geschick zum Lösen von Aufgaben entwickeln wollen, und möge es Schülern helfen in dem Bestreben, ihre eigenen Fähigkeiten zu entwickeln l

Obgleich das vorliegende Buch den Erfordernissen der Studenten und Lehrer der Mathematik besondere Aufmerksamkeit widmet, wendet es sich auch an jeden, den die Mittel und Wege von Erfindungen und Entdeckungen interessieren. Ein solches Interesse mag weiter verbreitet sein, als man auf den ersten Blick annehmen würde. Der Raum, den populäre Zeitungen jederlei Art Kreuzwort- und anderen Rätseln einräumen, scheint zu zeigen, daß viele Menschen mit der Lösung von Denkaufgaben gerne Zeit verbringen. Hinter dem Wunsch, dieses oder jenes Problem zu lösen, was keinerlei materielle Vorteile bringt, mag ein tieferer Wissensdrang stehen und die Sehnsucht, die Mittel und Wege, die Motive und Verfahren einer Lösung zu begreifen.

Die folgenden Seiten sind ein wenig gedrängt, aber so einfach wie möglich geschrieben; sie beruhen auf einem langen und gründlichen Studium von Lösungsmethoden. Diese Disziplin - manche Schriftsteller nennen sie Heuristik - ist heutzutage nicht in Mode, sie hat aber eine lange Vergangenheit und vielleicht auch einige Zukunft.

Wenn wir die Methoden der Lösung von Aufgaben studieren, nehmen wir ein anderes Gesicht der Mathematik wahr. In der Tat hat die Mathematik zwei Aspekte; sie ist die strenge Wissenschaft Euklids, aber sie ist auch etwas anderes. Nach Euklid dargestellt, erscheint die Mathematik als eine systematische deduktive Wissenschaft; aber die Mathematik im Entstehen erscheint als experimentelle induktive Wissenschaft. Beide Aspekte sind so alt wie die Mathematik selbst. Aber der zweite Aspekt ist in einer Beziehung neu; Mathematik "in statu nascendi", in dem Prozeß des Erfundenwerdens, ist in dieser Art niemals vorher dem Schüler oder dem Lehrer oder dem breiten Publikum dargestellt worden.

Das Gebiet der Heuristik hat mannigfaltige Verknüpfungen zu anderen Wissenschaften; Mathematiker, Logiker, Psychologen, Erziehungswissenschafter, sogar Philosophen mögen sie teilweise als zu ihrem Fachgebiet gehörig in Anspruch nehmen. Der Verfasser kennt sehr wohl die Möglichkeit der Kritik, die von entgegengesetzten Auffassungen ausgeht, und ist sich seiner Grenzen streng bewußt; aber er darf einen Anspruch erheben: er hat etwas Erfahrung in dem Lösen von Aufgaben und in dem Unterricht in Mathematik auf den verschiedensten Stufen.

Der Verfasser hat die Absicht, diesen Gegenstand eingehender in einem ausführlicheren Buche darzustellen, das seiner Vollendung entgegengeht.

Danken möchte der Autor mehreren Freunden und Kollegen für ihre Hilfe und ihren Rat während der vielen Jahre, die er diesem etwas fernerliegenden Gebiet gewidmet hat. Es ist hier nicht möglich, alle Namen aufzuzählen; ein einigermaßen vollständiges Verzeichnis, das hier unverhältnismäßig weitschweifig erscheinen würde, soll in dem ausführlicheren Werk gegeben werden. Der Verfasser möchte jedoch hier schon seinen Dank Herrn Datus C. Smith jr., dem Direktor der Princeton University Press, und Fräulein Gladys Fornell, der Mitarbeiterin des Verlages, für ihre wirksame und verständnisvolle Hilfe aussprechen.

Universität Stanford (Kalifornien), den 1. August 1944.

G. Polya