DeutschesFachbuch.de : Differential- und Integralrechnung Bd. 2 Von Gregor M. Fichtenholz

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Inhalt
VIII.Die Stammfunktion (Das unbestimmte Integral)
§ 1.Das unbestimmte Integral und die einfachsten Verfahren zu seiner Berechnung 13
263.Der Begriff der Stammfunktion (und des unbestimmten Integrals).13
264.Das Integral und die Bestimmung des Flächeninhalts. 16
265.Tabelle der Grundintegrale. 18
266.Die einfachsten Integrationsregeln. 19
267.Beispiele. 20
268.Integration durch Substitution der Veränderlichen. 24
269.Beispiele. 27
270.Partielle Integration. 31
271.Beispiele. 32
§ 2.Die Integration rationaler Ausdrücke. 35
272.Problemstellung der Integration in geschlossener Form. 35
273.Partialbrüche und ihre Integration. 36
274.Die Zerlegung von echten Brüchen in Partialbrüche. 38
275.Bestimmung der Koeffizienten. Die Integration von Partialbrüchen. 41
276.Abtrennung des rationalen Teils eines Integrals. 42
277.Beispiele. 45
§ 3.Integration von Wurzelausdrücken. 48
278.Integration von Ausdrücken der Form R(x,m√(αx+β/γx+δ). ...
279.Integration von binomischen Differentialen. Beispiele. 49
280.Rekursionsformeln. 51
281.Integration von Ausdrücken der Form R(x,√ax 2+bx+c). Die Eulerschen Substit...
282.Geometrische Behandlung der Eulerschen Substitutionen. 56
283.Beispiele. 57
284.Andere Verfahren zur Berechnung eines Integrals der Gestalt (4).62
286.Beispiele. 68
§ 4.Integration von trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen. 70
286.Integration von Ausdrücken der Form R(sin x, cos x) dx. 70
287.Integration von Ausdrücken der Form sin x cosµ x. 72
288.Beispiele. 74
289.Überblicke über die anderen Fälle. 78
§ 5.Elliptische Integrale. 79
290.Allgemeine Bemerkungen und Definitionen. 79
291.Hilfstransformationen. 81
292.Reduktion auf die Normalform. 83
293.Elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Gattung. 85
IX.Das bestimmte Integral
§ 1.Definition und Bedingungen für die Existenz des bestimmten Integrals. 89
294.Ein anderer Weg zur Bestimmung des Flächeninhalts. 89
295.Definition. 90
296.Die Darbouxschen Summen. 92
297.Bedingung für die Existenz des bestimmten Integrals. 94
298.Klassen integrierbarer Funktionen. 95
299.Eigenschaften integrierbarer Funktionen. 97
300.Beispiele und Ergänzungen. 98
301.Das untere und das obere Integral als Grenzwert. 100
§ 2.Eigenschaften der bestimmten Integrale. 101
302.Das Integral über ein orientiertes Intervall. 101
303.Eigenschaften, die sich in Gleichungen ausdrücken. 102
304.Eigenschaften, die sich in Ungleichungen ausdrücken. 103
305.Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze. 107
306.Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung. 109
§ 3.Berechnung und Darstellung bestimmter Integrale. 111
307.Berechnung mit Hilfe der Integralsummen. 111
308.Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 115
309.Beispiele. 116
310.Eine andere Herleitung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung. 11...
311.Rekursionsformeln. 120
312.Beispiele. 121
313.Die Substitution der Veränderlichen im bestimmten Integral. 124
314.Beispiele. 125
315.Die Gaußsche Formel. Die Landensche Transformation. 131
316.Eine andere Herleitung der Formel für die Substitution der Veränderlichen. 133
§ 4.Einige Anwendungen der bestimmten Integrale. 135
317.Die Wallissche Formel. 135
318.Die Tayloreche Formel mit Restglied. 135
319.Die Transzendenz der Zahl e. 136
320.Die Legendreschen Polynome. 138
321.Ungleichungen zwischen Integralen. 140
§ 5.Näherungsweise Berechnung von Integralen. 142
322.Problemstellung. Rechteckformel und Trapezformel. 142
323.Parabolische Interpolation. 145
324.Die Zerlegung des Integrationsintervalls. 147
325.Der Fehler bei der Rechteckformel. 148
326.Der Fehler bei der Trapezformel. 150
327.Der Fehler bei der Simpsonschen Regel. 151
328.Beispiele. 152
X.Anwendungen der Integralrechnung in Geometrie, Mechanik und Physik
§ 1.Die Länge einer Kurve. 157
329.Berechnung der Länge einer Kurve. 157
330.Ein anderer Weg zur Definition und zur Berechnung der Länge einer Kurve. 159
331.Beispiele. 161
332.Die natürliche Gleichung einer ebenen Kurve. 168
333.Beispiele. 170
334.Die Bogenlänge einer Baumkurve. 173
§ 2.Flächeninhalte und Volumina. 174
335.Definition des Flächeninhalts und seine Additivität. 174
336.Der Flächeninhalt als Grenzwert. 175
337.Klassen quadrierbarer Gebiete. 177
338.Die Darstellung des Flächeninhalts durch ein Integral. 178
339.Beispiele. 181
340.Definition des Volumens. Seine Eigenschaften. 188
341.Die Klassen der Körper, die ein Volumen besitzen. 189
342.Die Berechnung des Volumens mit Hilfe eines Integrals. 191
343.Beispiele. 194
344.Der Inhalt einer Rotationsfläche. 199
345.Beispiele. 202
346.Der Inhalt einer Zylinderfläche. 204
347.Beispiele. 205
§ 3.Die Berechnung mechanischer und physikalischer Größen. 208
348.Die Anwendung des bestimmten Integrals. 208
349.Die Berechnung des statischen Moments und des Schwerpunktes einer mit Masse beleg...
350.Beispiele. 213
351.Berechnung des statischen Moments und des Schwerpunktes einer ebenen Figur. 214
352.Beispiele. 216
353.Der Begriff der mechanischen Arbeit. 217
354.Beispiele. 218
355.Die Arbeit der Reibungskraft in einem flachen Zapfen. 220
356.Aufgaben zur Summierung unendlich kleiner Größen. 223
§ 4.Die einfachsten Differentialgleichungen. 228
357.Grundbegriffe. Differentialgleichungen erster Ordnung. 228
358.Differentialgleichungen ersten Grades. Trennung der Veränderlichen. 229
359.Aufgaben. 232
360.Bemerkungen zur Aufstellung von Differentialgleichungen. 237
361.Aufgaben. 238
XI.Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern
§ 1.Einführung. 242
362.Grundbegriffe. 242
363.Beispiele. 243
364.Hauptsätze. 245
§ 2.Die Konvergenz positiver Reihen. 247
365.Bedingung für die Konvergenz, einer positiven Reihe. 247
366.Vergleichskriterien. 248
367.Beispiele. 250
368.Das Cauchysche und das d'Alembertsche Kriterium. 254
369.Das Raabesche Kriterium. 256
370.Beispiele. 258
371.Das Kummersche Kriterium. 260
372.Das Gaußsche Kriterium. 262
373.Das Maclaurin-Cauchysche Integralkriterium. 264
374.Das Ermakoffsche Kriterium. 268
375.Ergänzungen. 270
§ 3.Die Konvergenz beliebiger Reihen. 275
376.Allgemeine Bedingung für die Konvergenz einer Reihe. 275
377.Die absolute Konvergenz. 276
378.Beispiele. 277
379.Die Potenzreihe und ihr Konvergenzbereich. 279
380.Der Konvergenzradius in Abhängigkeit von den Koeffizienten. 280
381.Alternierende Reihen. 282
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Namen- und Sachverzeichnis
A
ABEL, N. H. 65, 237, 272, 367, 484
Abel-Poissonsche Methode 367
Abelsche Integrale 80
- Sätze 305, 330, 411, 474
- Substitution 65
- partielle Summation 285
-s Kriterium für die Konvergenz eines Integrals 517
-s - - - - einer Reihe 272, 286
-s - für die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe 396
Abkühlungsgesetz 232
Abspaltung der Singularitäten 585, 589
Abtrennung des rationalen Teils eines Integrals 42
Achse, imaginäre 468
-, reelle 468
Additivität des Flächeninhalts 175
- des Volumens 189
D'ALEMBERT, J. LE ROND 254
d'Alembertsche Zahlenfolge 255
-s Kriterium 255, 262, 277, 471
amplitudo 236
Anfangsbedingungen 228
Anfangswert 15
Anomalie eines Planeten 466
Arbeit, mechanische 217
ARCHIMEDES 186
Archimedische Spirale 163, 186
Arkussinus; Hauptwert 483
-; Potenzreihe 420, 424, 462
Arkustangens; Hauptwert 481
-; Potenzreihe 340, 420, 482
ARZELÀ, C. 399, 404
-; Sätze 399, 676, 677
Assoziativgesetz 291
Astroide 162, 172, 202
asymptotische Reihe siehe Entwickhing, asymptotische
Ausschaltstrom 233
Ausschaltvorgang 233
B
BARROW, I. 17
BERNOULLI, JAKOB 456
BERNOULLI, JOHANN 90, 313
Bernoullische Zahlen 454, 456, 497
-s Paradoxon 313
BERTRAND, J. 2 G 2
Bertrandsche Zahlenfolge 262
-s Kriterium 262
BESSEL, F. W. 427
Besselfunktionen 320, 427, 431, 645
Besselsche Differentialgleichung 431, 614
- -, allgemeine 431
Betafunktion 682
-; Rekursionsformel 683
-; Zusammenhang mit der Gammafunktion 687
Betrag, absoluter, einer komplexen Zahl 468
Bezout, E. 39
Binomialkoeffizienten 343
binomisches Differential 49
BIOT, J. B. 227
Biot-Savartsches Gesetz 227
Bogenlänge 168
- der Ellipse 164
- der Lemniskate 166
BOLZANO, B. 106, 275, 440
BONNET, P. O. 110
Bonnetsche Formel 110
BOREL, E. 380
Boreische Methode 380
BOYLE, R. 219
Boyle-Mariottesches Gesetz 219
BUNJAKOWSKI, V. J. 142
Bunjakowskische Ungleichung 142
C
CANTOR, G. 95
Cartesisches Blatt 187
CARTESIUS, R. 187
CATALAN, E. CH. 156
Catalansche Konstante 156, 423, 667
CAUCHY, A. L. 91, 106, 264, 271, 275, 280, 364, 405, 461
Cauchy-Hadamardscher Satz 280
Cauchysche Formel 701
- Kriterien 254, 271, 514, 535
- Produktreihe 299, 375
Cauchysche Zahlenfolge 255
-r Satz 298
-s Restglied 338
CESÀRO, E. 370
Cesàrosche Methoden 371, 377
CLAPEYRON, E. 240
Clapeyronsche Formel 240
D
DARBOUX, G. 92
Darbouxsche Integrale 94
- - als Grenzwerte 100
- Summen 92
-r Satz 100
Differential 14
-, binomisches 49
Differentialgleichung, Besselsche 431, 614
-, allgemeine Besselsche 431
-, gewöhnliche, erster Ordnung 229
-, - lineare, erster Ordnung 228
-, hypergeometrische 432
Differentiation, gliedweise, bei Reihen 404
- eines Integrals nach dem Parameter 603, 607, 609, 647, 680
- unter dem Integralzeichen 603, 607, 609, 647, 680
DINI, U. 272, 273, 398
-; Satz 398
-; verallgemeinerter Satz 599
DIRICHLET, P. G. L. 271, 286, 577, 688, 698
Dirichletsche Funktion 99
- Reihen 288, 415, 430
-r Diskontinuitätsfaktor 577, 584, 669
-s Kriterium für die Konvergenz eines Integrals 517
-s - - - - einer Reihe 286
-s - für die gleichmäßige Konvergenz einer Reihe 396
Distributivgesetz 246
Divergenz einer unendlichen Reihe 243
Divergenzkriterien 248-249, 254-257, 260 bis 262, 265, 268, 277
Doppelreihe 308, 471
-, absolut konvergente 312
-; Summe 309
E
Ebene, komplexe 468
Einheit, imaginäre 467
Einschaltstrom 234
Einschaltvorgang 233
Ellipse 164, 181, 194, 216
-; Bogenlänge 164
-; Flächeninhalt 184
Ellipsoid 196
-, abgeplattetes 203
-, verlängertes 203
elliptische Integrale siehe Integrale, vollständige elliptische
EMDE, F. 132
Energie, kinetische 218
-, potentielle 511
Entwicklung, asymptotische 491
-, -; Differentiation 496
-, -; Eigenschaften 492 ff.
-, -; Eindeutigkeit 492
-, -; Integration 494
Epizykloide 172
ERMAKOFF, W. P. 268
Ermakoffsches Kriterium 268
EULEK, L. 54, 240, 248, 315, 331, 334, 335, 348, 364, 365, 424, 477, 498, 558, 651, 6...
Euler-Maclaurinsche Formel 498, 503
- -; Restglied 498
- Konstante 504
- Reihe 499, 504
Euler-Poissonsches Integral 559, 654
Eulerache Formeln 477, 485
- Konstante 254, 504, 702, 704, 705, 711, 721, 722
- Reihe 420, 450, 456
- Reihentransformation 355
- Substitutionen 54, 56, 59
- Summenformel 498, 503
- - bei Näherungsrechnungen 500 ff.
- -; Restglied 498
- Summierungsmethode 380
-s Integral erster Gattung 682
-s - zweiter Gattung 684
-s Produkt 689
Evolute; natürliche Gleichung 172
Evolvente 167
- der Kettenlinie 167
Exponentialfunktion 301, 415, 417, 430
-; Potenzreihe 339, 476
- im Komplexen 476
-; Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen 476 f., 480 f.
Exzentrizität einer Planetenbahn 466
F
Fakultät; Zusammenhang mit der Gammafunktion 686
Fakultätenreihe 289
Feder 218
Federkonstante 218
FÉJER, L. 640
Féjersches Integral 640
Figur, quadrierbare 174
Fläche, glatte 190
Flächeninhalt, Bestimmung 89 ff.
- einer Ellipse 184
- einer ebenen Figur 174
- - - -; Additivität 175
Flächeninhalt einer ebenen Figur; Bedingungen für die Existenz 174 ff.
- - - - als Grenzwert 174
- - - -, innerer (äußerer) 174
- - - - als Integral 179
- einer Rotationsfläche 199
- als Stammfunktion 17
- - eines krummlinigen Trapezes 89, 179
- - - - als Grenzwert einer Summe 90
- einer Zylinderfläche 204
Form, positiv definite 318
Formel für die partielle Integration 31, 121
- - - - -, verallgemeinerte 31, 121
FRESNEL, A. J. 656
Fresnelsche Integrale 656
FROBENIUS, G. 370
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