DeutschesFachbuch.de : Differential- und Integralrechnung Bd. 2 Von Gregor M. Fichtenholz

Inhalt

VIII.

Die Stammfunktion (Das unbestimmte Integral)

§ 1.

Das unbestimmte Integral und die einfachsten Verfahren zu seiner Berechnung

263.	Der Begriff der Stammfunktion (und des unbestimmten Integrals).	13
264.	Das Integral und die Bestimmung des Flächeninhalts.	16
265.	Tabelle der Grundintegrale.	18
266.	Die einfachsten Integrationsregeln.	19
267.	Beispiele.	20
268.	Integration durch Substitution der Veränderlichen.	24
269.	Beispiele.	27
270.	Partielle Integration.	31
271.	Beispiele.	32

§ 2.

Die Integration rationaler Ausdrücke.

272.	Problemstellung der Integration in geschlossener Form.	35
273.	Partialbrüche und ihre Integration.	36
274.	Die Zerlegung von echten Brüchen in Partialbrüche.	38
275.	Bestimmung der Koeffizienten. Die Integration von Partialbrüchen.	41
276.	Abtrennung des rationalen Teils eines Integrals.	42
277.	Beispiele.	45

§ 3.

Integration von Wurzelausdrücken.

278.	Integration von Ausdrücken der Form R(x,^m√(αx+β/γx+δ). Beispiele.	48
279.	Integration von binomischen Differentialen. Beispiele.	49
280.	Rekursionsformeln.	51
281.	Integration von Ausdrücken der Form R(x,√ax²+bx+c). Die Eulerschen Substitutionen.	54
282.	Geometrische Behandlung der Eulerschen Substitutionen.	56
283.	Beispiele.	57
284.	Andere Verfahren zur Berechnung eines Integrals der Gestalt (4).	62
286.	Beispiele.	68

§ 4.

Integration von trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktionen.

286.	Integration von Ausdrücken der Form R(sin x, cos x) dx.	70
287.	Integration von Ausdrücken der Form sin x cos^µ x.	72
288.	Beispiele.	74
289.	Überblicke über die anderen Fälle.	78

§ 5.

Elliptische Integrale.

290.	Allgemeine Bemerkungen und Definitionen.	79
291.	Hilfstransformationen.	81
292.	Reduktion auf die Normalform.	83
293.	Elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Gattung.	85
IX.	Das bestimmte Integral

§ 1.

Definition und Bedingungen für die Existenz des bestimmten Integrals.

294.	Ein anderer Weg zur Bestimmung des Flächeninhalts.	89
295.	Definition.	90
296.	Die Darbouxschen Summen.	92
297.	Bedingung für die Existenz des bestimmten Integrals.	94
298.	Klassen integrierbarer Funktionen.	95
299.	Eigenschaften integrierbarer Funktionen.	97
300.	Beispiele und Ergänzungen.	98
301.	Das untere und das obere Integral als Grenzwert.	100

§ 2.

Eigenschaften der bestimmten Integrale.

101

302.	Das Integral über ein orientiertes Intervall.	101
303.	Eigenschaften, die sich in Gleichungen ausdrücken.	102
304.	Eigenschaften, die sich in Ungleichungen ausdrücken.	103
305.	Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Grenze.	107
306.	Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung.	109

§ 3.

Berechnung und Darstellung bestimmter Integrale.

111

307.	Berechnung mit Hilfe der Integralsummen.	111
308.	Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.	115
309.	Beispiele.	116
310.	Eine andere Herleitung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.	119
311.	Rekursionsformeln.	120
312.	Beispiele.	121
313.	Die Substitution der Veränderlichen im bestimmten Integral.	124
314.	Beispiele.	125
315.	Die Gaußsche Formel. Die Landensche Transformation.	131
316.	Eine andere Herleitung der Formel für die Substitution der Veränderlichen.	133

§ 4.

Einige Anwendungen der bestimmten Integrale.

135

317.	Die Wallissche Formel.	135
318.	Die Tayloreche Formel mit Restglied.	135
319.	Die Transzendenz der Zahl e.	136
320.	Die Legendreschen Polynome.	138
321.	Ungleichungen zwischen Integralen.	140

§ 5.

Näherungsweise Berechnung von Integralen.

142

322.	Problemstellung. Rechteckformel und Trapezformel.	142
323.	Parabolische Interpolation.	145
324.	Die Zerlegung des Integrationsintervalls.	147
325.	Der Fehler bei der Rechteckformel.	148
326.	Der Fehler bei der Trapezformel.	150
327.	Der Fehler bei der Simpsonschen Regel.	151
328.	Beispiele.	152
X.	Anwendungen der Integralrechnung in Geometrie, Mechanik und Physik

§ 1.

Die Länge einer Kurve.

157

329.	Berechnung der Länge einer Kurve.	157
330.	Ein anderer Weg zur Definition und zur Berechnung der Länge einer Kurve.	159
331.	Beispiele.	161
332.	Die natürliche Gleichung einer ebenen Kurve.	168
333.	Beispiele.	170
334.	Die Bogenlänge einer Baumkurve.	173

§ 2.

Flächeninhalte und Volumina.

174

335.	Definition des Flächeninhalts und seine Additivität.	174
336.	Der Flächeninhalt als Grenzwert.	175
337.	Klassen quadrierbarer Gebiete.	177
338.	Die Darstellung des Flächeninhalts durch ein Integral.	178
339.	Beispiele.	181
340.	Definition des Volumens. Seine Eigenschaften.	188
341.	Die Klassen der Körper, die ein Volumen besitzen.	189
342.	Die Berechnung des Volumens mit Hilfe eines Integrals.	191
343.	Beispiele.	194
344.	Der Inhalt einer Rotationsfläche.	199
345.	Beispiele.	202
346.	Der Inhalt einer Zylinderfläche.	204
347.	Beispiele.	205

§ 3.

Die Berechnung mechanischer und physikalischer Größen.

208

348.	Die Anwendung des bestimmten Integrals.	208
349.	Die Berechnung des statischen Moments und des Schwerpunktes einer mit Masse belegten Kurve.	211
350.	Beispiele.	213
351.	Berechnung des statischen Moments und des Schwerpunktes einer ebenen Figur.	214
352.	Beispiele.	216
353.	Der Begriff der mechanischen Arbeit.	217
354.	Beispiele.	218
355.	Die Arbeit der Reibungskraft in einem flachen Zapfen.	220
356.	Aufgaben zur Summierung unendlich kleiner Größen.	223

§ 4.

Die einfachsten Differentialgleichungen.

228

357.	Grundbegriffe. Differentialgleichungen erster Ordnung.	228
358.	Differentialgleichungen ersten Grades. Trennung der Veränderlichen.	229
359.	Aufgaben.	232
360.	Bemerkungen zur Aufstellung von Differentialgleichungen.	237
361.	Aufgaben.	238
XI.	Unendliche Reihen mit konstanten Gliedern

§ 1.

Einführung.

242

362.	Grundbegriffe.	242
363.	Beispiele.	243
364.	Hauptsätze.	245

§ 2.

Die Konvergenz positiver Reihen.

247

365.	Bedingung für die Konvergenz, einer positiven Reihe.	247
366.	Vergleichskriterien.	248
367.	Beispiele.	250
368.	Das Cauchysche und das d'Alembertsche Kriterium.	254
369.	Das Raabesche Kriterium.	256
370.	Beispiele.	258
371.	Das Kummersche Kriterium.	260
372.	Das Gaußsche Kriterium.	262
373.	Das Maclaurin-Cauchysche Integralkriterium.	264
374.	Das Ermakoffsche Kriterium.	268
375.	Ergänzungen.	270

§ 3.

Die Konvergenz beliebiger Reihen.

275

376.	Allgemeine Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.	275
377.	Die absolute Konvergenz.	276
378.	Beispiele.	277
379.	Die Potenzreihe und ihr Konvergenzbereich.	279
380.	Der Konvergenzradius in Abhängigkeit von den Koeffizienten.	280
381.	Alternierende Reihen.	282
382.	Beispiele.	283
383.	Die Abelsche partielle Summation.	285
384.	Die Kriterien von ABEL und DIRICHLET.	286
385.	Beispiele.	287

§ 4.

Eigenschaften konvergenter Reihen.

291

386.	Das Assoziativgesetz.	291
387.	Die Umordnungseigenschaft absolut konvergenter Reihen.	293
388.	Nicht-absolut konvergente Reihen.	295
389.	Die Multiplikation von Reihen.	297
390.	Beispiele.	300
391.	Ein allgemeiner Satz aus der Theorie der Grenzwerte.	302
392.	Weitere Sätze über die Multiplikation von Reihen.	304

§ 5.

Zweifache Reihen und Doppelreihen.

305

393.	Zweifache Reihen.	305
394.	Doppelreihen.	308
395.	Beispiele.	313
396.	Potenzreihen in zwei Veränderlichen. Der Konvergenzbereich.	320
397.	Beispiele.	322
398.	Mehrfache Reihen.	324

§ 6.

Unendliche Produkte.

324

399.	Grundbegriffe.	324
400.	Beispiele.	325
401.	Grundlegende Sätze. Der Zusammenhang mit den unendlichen Reihen.	327
402.	Beispiele.	329

§ 7.

Die Entwicklung der elementaren Funktionen.

336

403.	Die Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe. Die Tayloreche Reihe.	336
404.	Die Entwicklung der trigonometrischen Funktionen und anderer Funktionen in eine Potenzreihe.	338
405.	Die logarithmische Reihe.	340
406.	Die Stirlingsche Formel.	341
407.	Die binomische Reihe.	343
408.	Die Zerlegung von Sinus und Kosinus in unendliche Produkte.	346

§ 8.

Näherungsrechnungen mit Hilfe von Reihen. Reihentransformation.

349

409.	Allgemeine Bemerkungen.	349
410.	Berechnung der Zahl π.	350
411.	Berechnung von Logarithmen.	352
412.	Berechnung von Wurzeln.	254
413.	Die Eulersche Reihentransformation.	355
414.	Beispiele.	357
415.	Die Kummerche Reihentransformation.	369
416.	Die Markoffsche Reihentransformation.	362

§ 9.

Summierung divergenter Reihen.

364

417.	Einführung.	364
418.	Die Potenzreihenmethode.	365
419.	Der Taubersche Satz.	368
420.	Die Methode der arithmetischen Mittel.	370
421.	Die Wechselbeziehung zwischen der Abel-Poissonschen und der Cesàroschen Methode.	372
422.	Der Hardy-Landausche Satz.	373
423.	Anwendung der verallgemeinerten Summierung auf die Reihenmultiplikation.	375
424.	Andere Methoden zur verallgemeinerten Summierung von Reihen.	377
425.	Beispiele.	381
426.	Die allgemeine Klasse der linearen und regulären Summierungsmethoden.	384
XII.	Funktionenfolgen und Funktionenreihen

§ 1.

Gleichmäßige Konvergenz.

387

427.	Einleitende Bemerkungen.	387
428.	Gleichmäßige und ungleichmäßige Konvergenz.	388
429.	Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die gleichmäßige Konvergenz.	393
430.	Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz.	394

§ 2.

Eigenschaften der Summe einer Reihe.

397

431.	Die Stetigkeit der Summe einer Reihe.	397
432.	Bemerkung über die quasi-gleichmäßige Konvergenz.	399
433.	Gliedweiser Übergang zum Grenzwert.	400
434.	Gliedweise Integration von Reihen.	401
435.	Gliedweise Differentiation von Reihen.	404
436.	Betrachtung vom Standpunkt der Theorie der Folgen.	406
437.	Die Stetigkeit der Summe einer Potenzreihe.	408
438.	Integration und Differentiation von Potenzreihen.	411

§ 3.

Anwendungen.

414

439.	Beispiele für die Stetigkeit der Summe einer Reihe und für den gliedweisen Übergang zum Grenzwert.	414
440.	Beispiele für die gliedweise Integration von Reihen.	420
441.	Beispiele für die gliedweise Differentiation von Reihen.	430
422.	Die Methode der sukzessiven Approximation in der Theorie der impliziten Funktionen.	435
443.	Analytische Definition der trigonometrischen Funktionen.	437
444.	Beispiel einer stetigen Funktion ohne Ableitung.	440

§ 4.

Ergänzende Ausführungen über Potenzreihen.

442

445.	Operationen mit Potenzreihen.	442
446.	Substitution einer Reihe in eine andere.	445
447.	Beispiele.	447
448.	Division von Potenzreihen.	451
449.	Die Bernoullischen Zahlen. Entwicklungen, in denen sie auftreten.	454
450.	Das Lösen von Gleichungen mit Hilfe von Reihen.	458
451.	Umkehrung von Potenzreihen.	461
452.	Die Lagrangesche Reihe.	464

§ 5.

Elementare Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

467

453.	Komplexe Zahlen.	467
454.	Die komplexe Zahlenfolge und ihr Grenzwert.	470
455.	Funktionen einer komplexen Veränderlichen.	472
456.	Potenzreihen.	473
457.	Die Exponentialfunktion.	476
458.	Die logarithmische Funktion.	478
459.	Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen.	480
460.	Die Potenzfunktion.	483
461.	Beispiele.	484

§ 6.

Asymptotische Reihen. Die Eulersche Summenformel.

488

462.	Beispiele.	488
463.	Definitionen.	490
464.	Die grundlegenden Eigenschaften asymptotischer Entwicklungen.	492
465.	Die Herleitung der Eulerschen Summenformel.	496
466.	Untersuchung des Restgliedes.	498
467.	Beispiele für die Anwendung der Eulerschen Summenformel.	500
468.	Eine andere Gestalt der Eulerschen Summenformel.	503
469.	Stirlingsche Formel und Stirlingsche Reihe.	505
XII.	Uneigentliche Integrale

§ 1.

Uneigentliche Integrale mit unendlichen Grenzen.

507

470.	Definition des Integrals mit unendlichen Grenzen.	507
471.	Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.	509
472.	Beispiele.	509
473.	Die Analogie zu Reihen. Die einfachsten Sätze.	512
474.	Die Konvergenz eines Integrals im Fall einer positiven Funktion.	513
475.	Allgemeine Konvergenzkriterien.	515
476.	Das Abelsche und das Dirichletsche Kriterium.	517
477.	Zurückführung eines uneigentlichen Integrals auf eine unendliche Reihe.	519
478.	Beispiele.	522

§ 2.

Uneigentliche Integrale nichtbeschränkter Funktionen.

529

479.	Definition des Integrals einer nichtbeschränkten Funktion.	529
480.	Eine Bemerkung über die singulären Stellen.	532
481.	Anwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung. Beispiele.	533
482.	Bedingungen und Kriterien für die Existenz eines Integrals.	534
483.	Beispiele.	537
484.	Die Hauptwerte uneigentlicher Integrale.	541
485.	Eine Bemerkung über verallgemeinerte Werte divergenter Integrale.	544

§ 3.

Eigenschaften und Umformung uneigentlicher Integrale.

546

486.	Die einfachsten Eigenschaften.	546
487.	Mittelwertsätze.	548
488.	Partielle Integration bei uneigentlichen Integralen.	550
489.	Beispiele.	550
490.	Variablensubstitution in uneigentlichen Integralen.	553
491.	Beispiele.	553

§ 4.

Spezielle Verfahren zur Berechnung uneigentlicher Integrale.

558

492.	Einige bemerkenswerte Integrale.	558
493.	Berechnung uneigentlicher Integrale mit Hilfe von Integralsummen. Integrale mit endlichen Grenzen.	562
494.	Integrale mit unendlichen Grenzen.	563
495.	Die Frullanischen Integrale.	567
496.	Integrale rationaler Funktionen zwischen unendlichen Grenzen.	569
497.	Beispiele und Übungen.	574

§ 5.

Angenäherte Berechnung uneigentlicher Integrale.

585

498.	Integrale mit endlichen Grenzen. Abspaltung der Singularitäten.	585
499.	Beispiele.	586
500.	Eine Bemerkung zur angenäherten Berechnung "eigentlicher" Integrale.	589
501.	Angenäherte Berechnung uneigentlicher Integrale mit unendlichen Grenzen.	590
502.	Verwendung der asymptotischen Entwicklungen.	593
XIV.	Integrale, die von einem Parameter abhängen

§ 1.

Elementare Theorie.

597

503.	Aufgabenstellung.	597
504.	Gleichmäßige Annäherung an die Grenzfunktion.	597
505.	Vertauschung zweier Grenzübergänge.	600
506.	Grenzübergang unter dem Integralzeichen.	601
507.	Differentiation unter dem Integralzeichen.	603
508.	Integration unter dem Integralzeichen.	605
509.	Übertragung auf den Fall veränderlicher Integrationsgrenzen.	606
510.	Einführung eines nur von x abhängigen Faktors.	608
511.	Beispiele.	610
512.	Einer der vier Gaußschen Beweise für den Fundamentalsatz der Algebra.	619

§ 2.

Gleichmäßige Konvergenz.

621

513.	Die Definition der gleichmäßigen Konvergenz.	621
514.	Ein Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz. Der Zusammenhang mit unendlichen Reihen.	622
515.	Hinreichende Kriterien für die gleichmäßige Konvergenz.	623
516.	Ein anderer Fall von gleichmäßiger Konvergenz.	625
517.	Beispiele.	627

§ 3.

Die Anwendung der gleichmäßigen Konvergenz.

631

518.	Grenzübergang unter dem Integralzeichen.	631
519.	Beispiele.	634
520.	Stetigkeit und Differenzierbarkeit eines Integrals bezüglich des Parameters.	646
521.	Integration eines Integrals nach dem Parameter.	649
522.	Die Berechnung einiger Integrale.	651
523.	Beispiele für die Differentiation unter dem Integralzeichen.	657
524.	Beispiele für die Integration unter dem Integralzeichen.	666

§ 4.

Ergänzungen.

676

525.	Der Satz von ARZELÀ.	676
526.	Der Grenzübergang unter dem Integralzeichen.	677
527.	Die Differentiation unter dem Integralzeichen.	680
528.	Die Integration unter dem Integralzeichen.	681

§ 5.

Die Eulerschen Integrale.

682

529.	Das Eulersche Integral erster Gattung.	682
530.	Das Eulersche Integral zweiter Gattung.	684
531.	Die einfachsten Eigenschaften der Gammafunktion.	685
532.	Die eindeutige Definition der Gammafunktion durch ihre Eigenschaften.	691
533.	Eine andere Funktionaleigenschaft der Gammafunktion.	693
534.	Beispiele.	694
535.	Die logarithmische Ableitung der Gammafunktion.	700
536.	Der Multiplikationssatz für die Gammafunktion.	702
537.	Einige Reihenentwicklungen und Produktzerlegungen.	704
538.	Beispiele und Ergänzungen.	705
539.	Berechnung einiger bestimmter Integrale.	711
540.	Die Stirlingsche Formel.	718
541.	Berechnung der Eulerschen Konstanten.	721
542.	Aufstellung von Tafeln für die dekadischen Logarithmen der Gammafunktion.	722

Namen- und Sachverzeichnis.

724