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Die Zahlentheorie ist die "Königin" der Mathematik. Sie vermag mehr zu faszinieren als jedes andere Teilgebiet. Die Kostproben sind ein opulentes Mahl: Der Autor schreibt über wesentliche, interessante, überraschende und verblüffende Ergebnisse der Zahlenlehre, deren Aussagen und Vermutungen, empirische Ergebnisse und Beweise. Viele Bereiche der Zahlentheorie werden ausführlich behandelt: Primzahlen, ganze Zahlen (vollkommene, befreundete Zahlen, ...), Modulrechnung, komplexe Zahlen, Dezimalbr... [weiter lesen] |
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Inhaltsverzeichnis
1 Von Mathophilen und Mathophoben. 1
2 Der Mathematiker als Homo ludens. 5
3 Die Primzahlen - Thema seit 2300 Jahren. 11
4 Vorsicht bei Verallgemeinerungen!23
5 Furor mathematicus. 32
6 Die Antike hatte es mit den ganzen Zahlen. 36
7 Früchte vom Baum der Kombinatorik. 48
8 Last und Lust des Teilens. 62
9 Diophantische Gleichungen. 73
10 Intermezzo: Die Taylor'sche Reihe. 85
11 Imaginäre Zahlen: Wozu?93
12 Was ist an einem Dezimalbruch Interessantes?99
13 Irrational und doch vernünftig. 109
14Über Kettenbrüche. 120
15 Die harmonische Reihe und einiges drum herum. 130
16 Oft für eine Überraschung gut: Die Rekursion. 145
17π hat nicht nur mit dem Kreis zu tun. 157
18 Jagd auf hohe Primzahlen. 171
19 Schmerzfreies Wurzelziehen. 183
20 Logarithmisches. 191
21Über Schachtel-Ausdrucke. 199
22 Eine Sonderrolle der 5?204
23 Die Addition - kontinuierlich betrieben. 215
24 Im Zahlen-Universum. 232
Anhang: Mathematische Symbole. 245
Literatur. 248
Aktuelle Informationen im Internet. 250
Personen- und Sachregister. 251
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Personen- und Sachregister
A
Ableitung, Differenzialquotient 86, 189, 221
abundante Zahlen 205
abzählbar 117
abzählende Funktion 82
ADAMS, J.C. 32
Additionstheorem der trigonometrischen Funktionen 96, 160 f., 192
additive Zahlentheorie; additive Zerlegung von Zahlen 9, 44, 80
additives System 36, 207
AL-BANNA 41
algebraische Zahl 116, 118
APPLEGATE, D. 48
Approximation 117, 120, 124, 157, 189, 208
ARCHIMEDES 38, 47, 158
arcsin-Funktion 168, 185
arctan-Funktion 159
arctan-Funktion; -Reihe 1, 124
arithmetische Reihe; arithmetische Folge 18, 20, 44, 68, 145, 175
asymptotische Reihe 226
B
Basis, bei Potenzen bzw. Logarithmen 88, 110, 191, 195
- eines Stellenwertsystems 1, 36 f., 105, 120, 124
befreundete Zahlen 40, 47
Bernoulli-Zahlen 164, 220
Bildungsgesetz 145, 199, 201, 210, 212
- von Folgen 25, 155
Binomialkoeffizienten 45, 52, 54, 90
binomischer Satz; binomische Reihe 23, 50, 63, 65, 69, 86, 90, 96, 167, 186, 196, 233
BRIGGS, H. 192
BROUNCKER, W. 124
C
CANTOR, G. 118
CAUCHY, A. L. 44
Chaos-Theorie 152
CHEIN, J. E. Z. 40
chinesische Primzahlen 178
Codierung 179
cos-Funktion 90 f., 95, 112, 146, 192
D
defiziente Zahlen 205
DESCARTES, R. 42, 89
Dezimalbrüche 99, 113, 120 f.
Dezimalbruchreste 115, 195, 238
Dezimalsystem 8, 36, 207
Dichte, von bestimmten Zahlen im Zahlenraum 15, 29, 40, 165, 232
Differenzialquotient, Ableitung 86, 189, 221
Differenzialrechnung, Regeln 88 f.
Dimensionen, höhere 46, 168
diophantische Gleichung 73, 94, 207
-, lineare 73
DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA 73
DIRICHLET, P. G. L. 17, 19, 75, 125
Dirichlet-Satz über Primzahlen 19, 176
Divisionsschnellverfahren 70
Dreieckzahlen 43, 55, 218
Dualsystem; Dualzahlen 8, 36 f., 197
E
e; e-Berechnung 33, 92, 95, 111, 123, 201, 208, 240
e-Funktion 85, 95
EINSTEIN, A. 187
Ellipse 166, 206
Endziffern 17, 63, 69
ERATHOSTENES 22
EUKLID 11, 15, 18, 39, 47, 74, 173
EULER, L. 10, 13, 33, 40, 47, 75, 82, 90, 123 f., 131, 134, 164, 173, 178, 224
Euler-Fermat-Satz 59, 66, 70, 103, 106
Euler-Funktion 66, 103, 234
Euler-Maclaurin'sche Summenformel 218, 220
Euler-Mascheroni'sche Konstante C 109, 133, 201, 225, 234
Exponentialfunktion, höhere 142, 242
Exzentrizität, numerische 166
F
Fünfeckzahlen 43
Faktorisierung (Faktorzerlegung) 174, 178
FALTINGS, G. 47, 76, 80
FERMAT, P. 28, 41 f., 44, 47
Fermat-Satz, großer (Fermats last theorem) 28, 75, 98
- kleiner 59, 65, 101, 178
Fermat-Zahlen 35, 150, 173, 207
Fibonacci-Folge 55, 128, 145, 155, 208
-, Verallgemeinerung 211
figurierte Zahlen 43
Fluxionsrechnung 89
Folgen mit teilerfremden Gliedern 174
FOURIER, J. 87, 92
FRIND, M. 20
Funktionsbegriff 89
G
GAUSS, C.F. 35, 63, 93, 97, 101, 160, 174, 218
Gauß-Klammer 24
geometrische Reihe 13, 38, 57, 82, 111, 132, 159, 175, 190, 229, 236
Gleichungsketten 79
glückliche Zahlen 21
Gogol 242
GOLDBACH, C. 10, 21, 80
Goldbach-Vermutung 27, 80
Goldener Schnitt 126, 212
Grenzwert, gespaltener 139, 142
-, zyklisch durchlaufen 154
größter gemeinsamer Teiler (ggT) 63, 73, 99
GUPTA 84
GUY, R. K. 40
H
HAGIS, P. JR. 40
HARDY, G. H. 4
harmonische Reihe 13, 19, 26, 130, 149, 182, 224
HERMES, J. 35
HERMITE, C. 117
Hexagesimalsystem 37, 127, 205
I
imaginäre Zahlen 92 f.
Induktion, vollständige (Schluss von n auf n+1) 27, 65
inkommensurabel 109, 183
Integralrechnung 89, 133, 135, 159, 162, 167, 215
irrationale Zahlen 76, 86, 105, 109, 113, 123 f., 134, 163, 197, 240
Irrationalitätsbeweis 87, 109, 197
IWANOW, W. 26
J
JOBLING, P. 20
K
KANADA, K. 163
KASNER, E. 242
KEPLER 216
Kettenbrüche 33, 120, 202, 208, 239
-, erweiterte 124
kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) 104
Koch'sche Kurve 30
Kombinationen 48
komplexe Zahlen 93
Kongruenz; Kongruenzrechnung 34, 62, 104, 175, 178 f.
Konstanten, mathematische 95, 109, 133, 138, 182, 201, 241
konstruierbar mit Zirkel und Lineal 34, 174
Konstruktion 47
Konvergenz, bedingte 131
Konvergenzgeschwindigkeit; -beschleunigung 87, 126, 138, 193
Konvergenzkriterien; Anwendung 29, 130, 132, 135, 201, 230
Kreis (Umfang; Inhalt) 92, 157, 167
Kreisteilung 26, 97
KRONECKER, L. 48, 115
KUMMER, E. 75
Kunterbunt-Reinen 155
L
LAGRANGE, J. L. 80, 87, 129
LAMBERT, J. H. 163
LANDRY 173
Leibnitz-Gregory-Reihe 1, 112, 159
LEIBNIZ, G.W. 1, 89, 159, 164
LINDEMANN, F. 47, 117, 163
lineare diophantische Gleichung 20
LIOUVILLE, J. 116
Logarithmen (als Rechenhilfe) 187, 191
Logarithmen (Berechnung) 32, 89, 190, 193
Logarithmus-Funktion 136, 196, 235
Logarithmus-Operator, mehrfache Anwendung 182, 243
LUCAS, E. 39, 179, 212
Ludolph'sche Zahl 163
M
MACHIN, J. 160
Maclaurin-Reihe 87
MACMAHON 84
magische Zahlen 107
Mausefallen-Effekt 6
Maximum-Bestimmung 189
mehrfach vollkommene Zahlen 41
Mersenne-Primzahlen 39
Mersenne-Zahlen 34, 176
Mertens'sches Theorem 137, 234
Midy'scher Satz 108
MILLS, H.W. 24
missing digits 132, 237
Mittelwertmethode 1, 184
Modul 62
Moivre'sche Gleichung 96
MOLS, P.R. 8
Multiplikation geroßer Zahlen 192
N
Näherungsbruch (eines Kettenbruchs) 123, 125 f.
Näherungsverfahren (zur Lösung von Gleichungen) 140, 185, 202, 211
NAPIER, J. 192
n-dimensionale Kugel (Hyperkugel) 167, 170
NEWTON, I. 90, 159, 187
Newton'sches Näherungsverfahren (Tangentenmethode) 184, 211
nicht abzählbar (überabzählbar) 118
O
OMAR KHAYYAM 54
P
Palindrom 7, 207
parametrische Formel 78
Partitionen 82
PASCAL, B. 54
Pascal-Dreieck 52
Pell'sehe Gleichung 128
Periode 33, 58, 86, 91, 95, 106, 121, 153
Periodenlänge 99, 121, 124
Permutationen 27, 48
Phönixzahlen 106
π; π-Berechnung 1, 32, 38, 123, 127, 157, 201, 208, 227
Polygone (Vielecke), regelmäßige 34, 47, 158
Polynom 23 f., 26, 57, 82, 91
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