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Inhaltsverzeichnis
Vorwortei
Einleitungix
1 Vektoralgebra 1
1.1 Grundbegriffe 1
1.1.1 Maßzahlkollektive 1
1.1.2 Betrag und Einsvektor 2
1.1.3 Vergleiche 3
1.2 Elementare Operationen 4
1.2.1 Geometrische Addition und Subtraktion 4
1.2.2 Teilvektor und Richtungskosinus 7
1.2.3 Spaltenvektor 8
1.2.4 Analytische Addition und Subtraktion 9
1.2.5 Ortsvektor 10
1.2.6 Multiplikation mit Skalaren 12
1.2.7 Anwendungen in der Planimetrie 13
2 Produkte aus Vektoren 15
2.1 Punktprodukt 15
2.1.1 Definition 15
2.1.2 Merkmale 17
2.1.3 Anwendungen in der ebenen Trigonometrie 17
2.2 Kreuzprodukt 19
2.2.1 Definition 19
2.2.2 Merkmale 22
2.2.3 Anwendung in der Goniometrie 22
2.3 Elementare Vektorgleichungen 23
2.3.1 Auflösung nach Vektoren 23
2.3.2 Auflösung nach Skalaren 23
2.4 Spatprodukt 25
2.4.1 Definition .25
2.4.2 Merkmale 26
2.4.3 Reziproke Dreibeine 27
2.4.4 Anwendung in der Algebra .29
2.5 Mehrfache Kreuzprodukte 30
2.5.1 Kreuz-Kreuz-Produkt 30
2.5.2 Kreuz-Punkt-Kreuz-Produkt 32
2.5.3 Kreuz-Kreuz-Kreuz-Produkt 34
3 Analytische Geometrie 35
3.1 Gerade 35
3.1.1 Abstand Gerade-Punkt 36
3.1.2 Abstand zweier Geraden 37
3.1.3 Schnittpunkt zweier Geraden 38
3.2 Ebene 39
3.2.1 Schnittpunkt von Gerade und Ebene 41
3.2.2 Schnittgerade zweier Ebenen 42
3.2.3 Schnittpunkt dreier Ebenen 43
3.3 Kegelschnitte 43
3.4 Lineare Transformationen kartesischer Koordinaten 45
3.4.1 Translation 45
3.4.2 Drehung 46
3.4.3 Anwendung auf Kegelschnitte 47
4 Vektoranalysis 49
4.1 Einführung 49
4.1.1 Vektorielle Funktionen 49
4.1.2 Ableitungsregeln 50
4.2Örtliche Differenzialoperationen 1. Ordnung 52
4.2.1 Gradient 52
4.2.2 Divergenz 54
4.2.3 Rotor 56
4.2.4 Besondere Vektorfelder .57
4.2.5 Nabla-Operator 58
4.2.6 Nabla-Kalkül 60
4.3 Anwendungen in Mathematik und Physik 64
4.3.1 Orthogonaltrajektorien 64
4.3.2 Einhüllende 65
4.3.3 Taylorsche Reihe 66
4.3.4 Energiesatz der klassischen Dynamik 67
4.3.5 Poyntingscher Satz der Elektrodynamik 69
4.3.6 Grundlagen der Hydrodynamik 69
4.4Örtliche Differenzialoperationen 2. Ordnung 70
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Stichwortverzeichnis
AAbbild, sphärisches, 93
Abbildung
affine, 174
- isometrische, 95-97
Abel, Niels Henrik, 47
abelsche Gruppe, 47
Ableitungsregeln, 50
- Kettenregel, 51, 59
- Produktregel, 51
- Quotientenregel, 51
- d'Alembert, Jean le Rond, 292
- d'alembertscher Operator, 292
Ampère, André Marie, 126
ampèresches Durchflutungsgesetz, 126
Apollonius von Pergä, 206
- Kreis des Apollonius, 206
Arbeit, 68, 112, 168
Archimedes von Syrakus, 120
Assoziativität
- der Addition, 6
- der Multiplikation mit Skalaren, 12
- des Kreuz-Kreuz-Produkts, 31
- des Kreuzprodukts, 22
- des Punktprodukts, 17
Astroide (Sternkurve), 243
Auftrieb, 132
BBahn, 50, 77, 153
Bernoulli, Daniel L, 70
bernoullische Gleichung, 70
Bernoulli, Jakob, 44, 159
Bernoulli, Johann, 35, 70, 159
Bessel, Friedrich Wilhelm, 132
Bezugssystem
- kartesisches, 99, 180
- krummliniges, 180
- Linkssystem, 26
- n-dimensionales, 182
- Rechtsschraube, 20
- Korkenzieherregel, 20
- Rechtssystem, 20, 26, 81, 100
Rechte-Hand-Regel, 20
Binet, Jacques-Philippe-Marie, 119
binetsche Gleichungen, 254
Binomischer Satz, 17
Binormalenvektor, 81
Biot, Jean Baptiste, 35, 143
biot-savartsches Gesetz, 143
Böschungslinie, 245
Bolyai, Janos, x Br achist ochrone, 159, 167
CCartesius (René Descartes), 7, 35, 165
Cauchy, Augustin-Louis, 73, 137
cauchy-riemannsche Differenzialgleichungen, 73, 74
cauchyscher Integralsatz, 132
Cay ley, Arthur, 173
Clairaut, Alexis Claude, 77
Coriolis, Gustave-Gaspard, 254
Coriolis-Beschleunigung, 254
Coulomb, Charles Augustin de, 68
coulombsches Potenzial, 139
Cramer, Gabriel, 29
cramersche Regel, 29, 249, 286
DDarboux, Gaston, 77
darbouxscher Vektor, 82
Dehnung, 84
Determinante, 21, 26, 30, 38, 57, 185, 186
- Adjunkte, 286, 291
- Entwicklungssatz, 26
Deviationsoder Zentrifugalmo ment, 178
Diagonale, 5
- Flächendiagonale, 6
- Raumdiagonale, 6
Dido, 159
- Problem der Dido, 171
Dirac, Paul Adrien Maurice, 137
diracsche Deltafunktion 2-dimensionale, 137
- 3-dimensionale, 138 (Lejeune) Dirichlet, Peter Gustav, 144
dirichletsches Kreismodell, 144
dirichletsches Kugelmodell, 145
Distribution, 137, 140
Distributivität
der Multiplikation mit Skalaren, 12
des Kreuzprodukts, 22
des Punktprodukts, 17
Divergenz, 54, 102, 106, 110
Drall, 177
Drehfläche, 90
- Meridiane, 90, 254
- Parallelkreise, 90
Drehgeschwindigkeit, 20, 70, 107, 121, 127, 173, 177
Drehmoment, 20
Dreibein, 8
- begleitendes Dreibein, 81
- reziproke Dreibeine, 28, 180, 182, 252, 288
Dreieck, ebenes, 5
- Höhensatz, 19
- Höhenschnittpunkt, 19
- Inkreis, 212
- Inkreismittelpunkt, 25
- Kosinussatz, 18
- Seiten, 13
- Seitenhalbierende (Schwerlinie) , 14
- Sinussatz, 207
- Umkreis, 216
- Umkreismittelpunkt, 19, 39, 216
- Umkreisradius, 216
Dreieck, sphärisches, 32
- Seiten, 32
- Seitenkosinussatz, 33
- Winkelkosinussatz, 34
Dreiecksungleichung, 5, 19
Du Bois-Reymond, Paul, 161
EEbene, 39
- Dreipunktegleichung, 40
- Durchstoßpunkt, 41
- Normale, 38, 52
- Normalen-Einsvektor, 40-42, 212
- Nullpunktsabstand, 41
- Parameterdarstellung, 39
- Schnitt Ebene-Ebene, 42
- Schnitt Ebene-Ebene-Ebene, 43
- Schnitt Gerade-Ebene, 41
- Trägervektoren, 40
Einhüllende, 65
Einstein, Albert, x, 187
- Relativitätsprinzip, 191
- Relativitätstheorie, x, 99, 187
Ellipse, 44
Evolute, 242
- Flächenschwerpunkt, 122
- Gradient, 80
- Hauptachsengleichung, 221
- Inhalt, 115
- Kriterium, 224
- Krümmung, 80
- Krümmungsmittelpunkt, 80
- Normale, 80
- Parameterdarstellung, 115
- Spiegelungsmodell, 225
Ellipsenschar, 64, 79
- Haupt achsengleichung, 64
Ellipsoid (Drehellipsoid), 112
Energie, 68
Energiesatz, 67, 167
Energieträgheit, 293
- kinetische Energie, 68, 167, 192
- potenzielle Energie, 68, 167, 169
Ergiebigkeit, 55, 128, 131, 139, 140
Euklid von Alexandria, 19
- Kathetensatz des Euklid, 19
Euler, Leonhard, 32, 35, 71, 107, 159, 178
eulersche Differenzialgleichung, 160, 161, 163, 164, 170172
eulersche Gerade, 219
eulersche Grundgleichung, 69
eulersche Relation, 278
Satz von Euler, 90
Evolute, 113, 242
Extremale, 159, 161
- singulare Extremale, 168
FFahrstrahl, 78
Faraday, Michael, 49, 156
Feld, 49
Feldlinien, 49
- homogenes Feld, 49
- Skalarfeld, 49
- stationäres Feld, 49
- Vektorfeld, 49
- Drehfeld, 107
- konservatives Feld, 67, 68, 167
- quellenfreies Feld, 58, 72, 74, 133, 136-139, 142, 156, 190
- Wirbelfeld, 57, 136, 156, 189
- wirbelfreies Feld, 57, 67, 70, 72-74, 107, 112, 133, 135, 137-139, 142, 169
Fermät, Pierre de, 35, 53, 164 fermatsches Prinzip, 164
Fläche, 52, 83
Extrema, 53
- mit Nebenbedingungen, 53
Flächenkoordinaten, 84
Flächenkurve, 84-88, 90, 166, 247
Flächenmaß, 83
Flächenrand, 114-117, 124, 125, 136, 137, 144, 156
Flächenteil, 83
Flächentyp, 83
- Normale, 52, 53
- Normalen-Einsvektor, 86
- Tangentialebene, 53
- Verbiegung, 84, 96
Flächengeschwindigkeit, 115, 118
Flächenintegral, 114, 123, 125, 151, 153, 155
Frenet, Jean-Frédéric, 77
frenetsche Formeln, 82
Fresnel, Augustin Jean, 186
Frobenius, Georg, 95
Fundamentalsatz der Vektoranaly
- sis, 142
Funktion, harmonische, 250
Funktionaldeterminante, 101, 106, 110
Funktionentheorie, 10, 73, 132, 145
GGalilei, Galileo, 45, 188
Galilei-Transformation, 45, 188
Gauß, Carl Friedrich, ix, x, 71, 77, 93, 132
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