DeutschesFachbuch.de : Numerik für Ingenieure, Physiker und Informatiker für Bachelor und Diplom Von Günter Bärwolff

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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung 1
1.1 Zahldarstellung und Fehlertypen bei numerischen Rechnungen 2
1.2 Fehlerverstärkung und -fortpflanzung bei Rechenoperationen 8
1.3 Hilfsmittel der linearen Algebra zur Fehlerabschätzung 12
1.4 Fehlerabschätzungen bei linearen Gleichungssystemen 15
1.5 Fehlerverstärkung bei Funktionen mit mehreren Einflussgrößen 17
1.6 Relative Kondition und Konditionszahl einer Matrix A 19
1.7 Aufgaben 19
2 Direkte Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 21
2.1 Vorbemerkungen 22
2.2 Das Gauß'sche Eliminationsverfahren 22
2.3 Matrixzerlegungen 26
2.4 Gleichungssysteme mit tridiagonalen Matrizen 35
2.5 Programmpakete zur Lösung linearer Gleichungssysteme 38
2.6 Aufgaben 39
3Überbestimmte lineare Gleichungssysteme 41
3.1 Vorbemerkungen 42
3.2 Die QR-Zerlegung 43
3.3 Allgemeine lineare Ausgleichsprobleme 50
3.4 Aufgaben 58
4 Matrix-Eigenwertprobleme 59
4.1 Problembeschreibung und algebraische Grundlagen 60
4.29 Von-Mises-Vektoriteration 64
4.3 QR-Verfahren 69
4.4 Transformation auf Hessenbergbzw. Tridiagonalform 72
4.5 Anwendung des QRVerfahrens auf Hessenberg-Matrizen 75
4.6 Aufwand und Stabilität der Berechnungsmethoden 79
4.7 Aufgaben 81
5 Interpolation und numerische Differentiation 83
5.1 Vorbemerkungen 84
5.2 Polynominterpolation 85
5.3 Extrapolation, Taylor-Polynome und Hermite-Interpolation 96
5.4 Numerische Differentiation 101
5.5 Spline-Interpolation 105
5.6 Diskrete Fourier-Analyse 112
5.7 Aufgaben 118
6 Numerische Integration 119
6.1 Trapez- und Kepler'sche Fassregel 120
6.2 Newton-Cotes-Quadraturformeln 123
6.3 Gauß-Quadraturen 130
6.4 Approximierende Quadraturformeln 140
6.5 Aufgaben 140
7 Iterative Verfahren zur Lösung von Gleichungen 143
7.1 Banach'scher Fixpunktsatz 144
7.2 Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungen 151
7.3 Sekantenverfahren - Regula falsi 153
7.4 Newton-Verfahren für Gleichungssysteme 157
7.5 Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme 159
7.6 Aufgaben 174
8 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen 177
8.1 Einschrittverfahren 178
8.2 Mehrschrittverfahren 194
8.3 Stabilität von Lösungsverfahren 201
8.4 Steife Differentialgleichungen 206
8.5 Zweipunkt-Randwertprobleme 211
8.6 Aufgaben 221
9 Numerische Lösung partieller Differentialgleichungen 223
9.1 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung 224
9.2 Numerische Lösung elliptischer Randwertprobleme 230
9.3 Numerische Lösung parabolischer Differentialgleichungen 266
9.4 Nichtlineare Probleme 273
9.5 Abschließende Bemerkungen zur numerischen Lösung partieller Differentialgle...
9.6 Aufgaben 276
Schlussbemerkungen 279
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Index
AA-posteriori-Abschätzung, 146
A-priori-Abschätzung, 146
Ableitung, verallgemeinerte, 248
abschneiden, 4
Adams-Bashforth-Moulton-Verfahren, ' Adams-Bashforth-Verfahren, 195
Adams-Moulton-V 196
Ansatz, logarithmisch linearer, 53
Ausgleichsproblem, lineares, 41, 50, 52
Auslöschung, 9
Auslöschungsfehler, 9
BBanach'scher Fixpunktsatz, 144
Bandbreite, 39
Bandmatrix, 39
Bandstruktur, 39
Basis der Zahldarstellung, 2
BDF-Verfahren, 205
Bernstein-Formel, 100
Bernstein-Polynom, 100
Bestapproximation, 55
Bilinearform, 249
Binärzahl, 2
Bit, 6
BLAS, 38
Buchhaitungsvektor, 31
CCauchy-Schwarz'sche Ungleichung, 12
CG-Verfahren, 171
Cholesky-Zerlegung, 33
DDarstellungsfehler, 5
relativer, 10
Defektvektor, 54
Deflation, 67, 68
Dezimalzahl, 2
- Differentialgleichung
- elliptische, 226
- fastlineare, 224
- homogene, 225
- hyperbolische, 226
- inhomogene, 225
- lineare, 224
- parabolische, 226
- quasilineare, 224
Differenz, dividierte, 90
Differenzenoperator, stabiler, 243
Differenzenquotient, 101
- Upwind- 246
- zentraler, 102, 246
Diffusionsgleichung, 228
Dirichlet-Problem, 230
Dirichlet-Randbedingung, 230
Diskretisierungsfehler
- globaler, 181
- lokaler, 180
Diskretisierungsfehler, lokaler, 242
double precision, 6
- Drehmatrizen, 44
Dreiecksungleichung, 12
EEcholon-Form, 24
Eigengleichung, 60
Eigenvektor, 60
- orthogonaler, 63
orthonormierter, 63
Eigenwert, 60
Eigenwertspektrum, 60
Einschrittverfahren, 178
Einzelschrittverfahren, 164
Elementarmatrix, 27
Ersatzarithmetik, 7
Euler-Verfahren, 179
Exponent, 2
- Extrapolation, 97
FFehler
- quadratischer, 42, 51
relativer, 7, 9
Fehlerordnung, 183
Fehlerverstärkungsfaktor, 9
- Feinheit, 256
FEM, 256
FFT, 114
finite Elemente, 256, 257 finite Volumen, 232
Finite-Element-Methode, 256
Finite-Volumen-Methode, 212, 232
Fixpunkt, 144
- abstoßender, 147
- anziehender, 147
Fixpunktgleichung, 144
Fixpunktiteration, 144
Formel, baryzentrische, 88
Formfunktion, 258
Formulierung, schwache, 247, 249
Fortpflanzungsfehler, 10
Fourier-Koeffizienten, komplexe, 114
Fourier-Polynom, spezielles, 113
Fourier-Transformation, diskrete komplexe, 114
Fourier-Transformierte, 114
FVM, 212
GGauß'scher Algorithmus, 22, 24
Gauß-Quadratur, 135
Gauß-Seidel-Verfahren, 164
Gebiet der absoluten Stabilität, 202
Gerschgorin-Kreise, 63
Gesamtfehler, relativer, 10
Gesamtschrittverfahren, 161
Gewichtsfunktion, 130
Ghost-Werte, 233
Gitterfunktion, 213
Givens-Rotation, 76
Gleichungssystem, überbestimmtes, 42
Gleitpunkt-Zahlensystem
- denormalisiertes, 3
- normalisiertes, 3
Gleitpunktzahl, 3
- Grundformat
- doppeltes, 6
- einfaches, 6
HHelmholtz-Gleichung, 228
Hermite-Interpolation, 98
Hermite-Interpolationspolynome, 98
Hessenberg-Matrix, 72
Hexadezimalzahl, 2
- Hilbertraum, 247
Householder-Matrix, 45
Householder-Spiegelung, 45
Householder-Transformation, 45
IIntegrationsgewichte, 123
Integrationsmethode, implizite, 185
Interpolationseigenschaft, 93
Interpolationsfehler, 93
Iterationsmatrix, 160
JJacobi-Verfahren, 161
KKnoten, 105, 257
Koerzitivität, 250
Komplement, orthogonales, 132
Kondition, relative, 18
Konsistenz, 183, 198, 243
Kontinuitätsgleichung, 229
Kontraktion, 145
Konvektions-Diffusions-Gleichung, 231
Konvergenz, lokale, 149
Konvergenzordnung, 149
Kopfelement, 24
Kopfspalte, 24
LLösung, schwache, 249
Lösungsverfahren
- direktes, 21
- iteratives, 21
Lagrange-Interpolation, 86
Lagrange-Polynom, 86
LAPACK, 38
Lastvektor, 251
Lipschitz-Bedingung, 181
Lipschitz-Konstante, 100, 181
Lipschitz-Stetigkeit, 100
LR-Zerlegung, 28
LU-Zerlegung, 28
MMantisse, 2
Maschinengenauigkeit, 5
Maschinenzahl, 3
- Massematrix, 270
Matrix
- ähnliche, 61
- diagonalisierbare, 61
- Hermite'sche, 70
- irreduzible, 163
- orthogonale, 43
- positiv definite, 33
- schwach diagonal dominante, 162
- sparse, 174
- strikt diagonal dominante, 107
- tridiagonale, 35
Matrixnorm, induzierte, 13
Maxwe-H'sche Gleichungen, 229
Mehr schrittverfahren, 194
Methode der kleinsten Quadrate, 51
Methode der konjugierten Gradienten, 171
Methode des Vertreibens, 37
Mittelwertsatz dividierter Differenzen, 96
Multiindex, 247
NNeumann-Problem, 230
Neumann-Randbedingung, 230
Newton-Cotes-Quadraturformel, 125, 128
Newton-Interpolation, 90
Newton-Verfahren, 151, 157, 158
Norm, 12
Normalgleichungssystem, 52
Nullstabilität, 200
OOktalzahl, 2
- Orthogonaltransformation, 61
PPermutationsmatrix, 29
Picard-Iteration, 145
Pivotelement, 23
Pivotisierung, 23
Polygonzugmethode, 179, 184
- verbesserte, 184
Polynom
- charakteristisches, 198
- Legendre'sches, 133
- orthogonales, 132
- trigonometrisches, 112
Polynom, charakteristisches, 60
[weiter lesen]