| INHALTSVERZEICHNIS | öffnen |
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Ein Beispiel aus der Gruppentheorie 2
1.2 Ein Beispiel aus der Theorie der Äquivalenzrelationen 4
1.3 Eine erste Analyse 5
1.4 Ausblick 7
2 Syntax der Sprachen erster Stufe 9
2.1 Alphabete 9
2.2 Das Alphabet einer Sprache erster Stufe 12
2.3 Terme und Ausdrücke in Sprachen erster Stufe 13
2.4 Induktion im Term- und im Ausdruckskalkül 17
2.5 Freie Variablen und Sätze 24
3 Semantik der Sprachen erster Stufe 27
3.1 Strukturen und Interpretationen 28
3.2 Eine Normierung der umgangssprachlichen Junktoren 31
3.3 Die Modellbeziehung 33
3.4 Die Folgerungsbeziehung 34
3.5 Zwei Lemmata über die Modellbeziehung 41
3.6 Einige einfache Symbolisierungen 46
3.7 Fragen zur Symbolisierbarkeit 50
3.8 Substitution 54
4 Ein Sequenzenkalkül 61
4.1 Sequenzenregeln 62
4.2 Grund- und Junktorenregeln 64
4.3 Ableitbare Junktorenregeln 66
4.4 Quantoren- und Gleichheitsregeln 68
4.5 Weitere ableitbare Regeln 70
4.6 Eine Zusammenfassung. Ein Beispiel 72
4.7 Widerspruchsfreiheit 74
5 Der Vollständigkeitssatz 79
5.1 Der Satz von Henkin 79
5.2 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen (abzählbarer Fall)84
5.3 Erfüllbarkeit widerspruchsfreier Ausdrucksmengen (allgemeiner Fall)87
5.4 Der Vollständigkeitssatz 90
6 Löwenheim und Skolem und der Endlichkeitssatz 91
6.1 Der Satz von Löwenheim und Skolem 91
6.2 Der Endlichkeitssatz 93
6.3 Elementare Klassen 95
6.4 Elementar äquivalente Strukturen 99
7 Zur Tragweite der ersten Stufe 105
7.1 Der formale Beweisbegriff 106
7.2 Mathematik im Rahmen der ersten Stufe 109
7.3 Das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem der Mengenlehre 114
7.4 Bemerkungen zum mengentheoretischen Aufbau der Mathematik 118
8 Syntaktische Interpretationen und Normalformen 123
8.1 Termreduzierte Ausdrücke und relationale Symbolmengen 123
8.2 Syntaktische Interpretationen 126
8.3 Definitionserweiterungen 134
8.4 Normalformen 137
9 Erweiterungen der Logik erster Stufe 145
9.1 Die Logik zweiter Stufe 146
9.2 Das System Lw 1,w 151
9.3 Das System LQ 157
10 Grenzen der formalen Methode 159
10.1 Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit 160
10.2 Registermaschinen 165
10.3 Das Halteproblem für Registermaschinen 172
10.4 Die Unentscheidbarkeit der Logik erster Stufe 177
10.5 Der Satz von Trachtenbrot und die Unvollständigkeit der Logik zweiter Stufe 180
10.6 Theorien und Entscheidbarkeit 183
10.7 Selbstbezügliche Aussagen und die Gödelschen Unvollständigkeitssätze 191
11 Freie Modelle und Logik-Programmierung 199
11.1 Der Satz von Herbrand 200
11.2 Freie Modelle und universelle Hornausdrücke 203
11.3 Herbrandstrukturen 209
11.4 Aussagenlogik 212
11.5 Aussagenlogische Resolution 218
11.6 Resolution in der ersten Stufe (ohne Unifikation)230
11.7 Logik-Programmierung 239
[weiter lesen] |
|
|
|
|
| REGISTER | öffnen |
Sach- und Personenverzeichnis
Aableitbar, 64
- H- 228
- UH- 249
Ableitung, 14
abzählbar, 10
- höchstens, 10
Adäquatheit des Sequenzenkalküls, 90
Adjunktion, 15
Algorithmus, 161
allgemeiner Unifikator, 242
allgemeingültig, 35, 213, 275
- im Endlichen, 180
Alphabet, 9, 161
- einer Sprache, 12
Antezedens, 63
Antinomie vom Lügner, 193
Äquijunktion, 15
äquivalent, logisch, 35, 36, 213, 274 Äquivalenzrelation, 4, 46
Äquivalenzstruktur, 4, 96
Aristoteles, 1, 90
Arithmetik, 29, 183, 185
- Nichtstandardmodell der, 101
- Peano- 183
- Satz von der
- Unentscheidbarkeit der, 186
- Wahrheit in der, 195
arithmetisch, 191
aufzählbar, 159, 163
- Register- 169
aufzählen, 169
Aufzählungsverfahren, 163
Ausdruck, 6, 15
- All- 44
- atomarer, 15
- aussagenlogischer, 212
- existentieller, 45
- gleichheitsfreier, 209
- Horn- 41, 49
- positiver, 34
- universeller, 44
ausdrucksstark, gleich, 274
ausdrucksstärker als, 274
Aussage, 5
Anzahl- 47
- selbstbezügliche, 193
Aussagenlogik, 175, 212
- Sprache der, 212
Aussagenvariable, 212
Automorphismus, 45
axiomatische Methode, 198
axiomatisierbar
- endlich, 184
- Register- 184
Axiomensystem, 5, 98
- unabhängiges, 98
BBeispiele enthalten, 82
Belegung, 30
- aussagenlogische, 212
- zweiter Stufe, 146
berechenbar, 165
- Register- 170
- ß-Funktion, 187
Beth, Definierbarkeitssatz von, 285
Beweis, 2, 5, 7, 35
beweisbar, 5
- formal, 64, 73
Beweisbegriff, 61, 64, 73, 105
Bolzano, 41
Boole, 1
CCantor, 117, 150, 260
CH, 150
charakterisieren bis auf Isomorphie, 53, 99
Charakteristik eines Körpers, 96
Church, 170, 179
Churchsche These, 170, 176
Cobham, 176
Cohen, 118
DDedekind, Satz von, 53
Definition, 135
- explizite, 284
- implizite, 284
Definitionserweiterungen Satz über, 136
deklarativ, 208
- Δ-elementare Klasse, 95
Diagonalargument, 176
direktes Produkt, 31, 40
Disjunktion, 15, 152
disjunktive Normalform, 139, 215, 217
DNF, siehe disjunktive Normalform
Druckanweisung, 166
EEdmonds, 176
effektives Verfahren, 161
Ehrenfeucht, Satz von, 272
Ehrenfeucht-Spiel, 271
einbettbar, 262
endlich, 261
- partiell, 262
Einheit in einem Ring, 127
elementar äquivalent, 99, 258
elementar definierbar, 45
elementare Klasse, 95
endlich axiomatisierbar, 184
endlich einbettbar, 261
endlich isomorph, 259
Endlichkeitssatz, 93, 101, 148, 151, 153
- Barwisescher, 154
- der Aussagenlogik, 215
- LQ- 58
entscheidbar, 160, 161
- Register- 169
entscheiden, 169
Entscheidungsproblem, 179
Entscheidungsverfahren, 161
erfüllbar, 35, 275
- Ausdruck, 36
- Ausdrucksmenge, 36
- aussagenlogisch, 234
- aussagenlogischer Ausdruck, 213
- im Endlichen, 180
- Klausel, 223
- Klauselmenge, 223
erfüllbarkeitsäquivalent, 141
erfüllen, 33, 212
Erkenntnistheorie, 2, 109
erste Stufe, 8 es gibt, 12, 33
Expansion, 39
extensional, 32
FFaktorstruktur, 238
finit, 197
Folgerungsbeziehung, 3, 6, 34, 41, 213 formal beweisbar, 62, 64
FORTRAN, 170
Fraenkel, 115
Fraisse, Satz von, 262
Frege, 1, 17 freies Modell, 204, 205
freies Vorkommen, 24
Funktion, 28
- arithmetische, 191
- partielle, 50
funktional vollständig, 218
Funktionssymbol, 12
Funktionsvariable, 147
für alle, 12, 33, 36
Gganze Zahlen, 127
gebundenes Vorkommen, 24
gelten, 33
genau dann wenn, 12, 36
Gleichheit, 12, 147
Gleichheitsaxiome, 238
gleichmächtig, 117
Gleichung, 207
Gödel, 90, 118, 182, 187, 191
Gödelisierung, 172, 193
Gödelnummer, 172
Gödelscher Unvollständigkeitssatz
- erster, 195
- zweiter, 119, 197
Gödelscher Vollständigkeitssatz, 7, 90, 105, 121
Graph, 49, 96, 231
- einer Funktion, 50, 112
gerichteter, 49
- zusammenhängender, 97, 152, 269
Grundbereich, 29
Grundinstanz, 233, 247
Grundklausel, 245
Gruppe, 2, 96, 126
- einfache, 156
- freie, 207
- freie abelsche, 207
- Torsions- 52, 97, 152
Gruppe der Einheiten, 128
Gruppentheorie, 2, 159
HHalteproblem, 173
Henkin, 90
- Satz von, 83
Her-Eigenschaft, 259
Herbrand, Satz von, 202
Herbrandmodell, 211
- minimales, 211
Herbrandstruktur, 210
Hilbert, 1, 165
Hilbertsches Problem, 10., 165
Hilbertsches Programm, 1, 119, 197
Hin-Eigenschaft, 259
Homomorphismus, 204
Hornausdruck, 41, 49
- aussagenlogischer, 219
- negativer, 220, 236
- positiver, 220, 236
- universeller, 180, 205
Iidentitas indiscernibilium, 147
Implikation, 15
Induktion
- über den Aufbau der Ausdrücke, 18
- über den Aufbau der Terme, 18
- über einen Kalkül, 18
Induktionsaxiom, 52, 101
Induktionsschema, 184
induktive Definition
- über den Aufbau der Ausdrücke, 22
[weiter lesen] |
|
|
|