DeutschesFachbuch.de : Mathematik Von Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel

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Inhaltsverzeichnis
Teil I: Einführung und Grundlagen
1 Mathematik - Wissenschaft und Werkzeug 1
1.1Über dieses Lehrbuch, Mathematiker und Mathematik 2
1.2 Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler 5
1.3 Die didaktischen Elemente dieses Buches 8
1.4 Ratschläge zum Studium der Höheren Mathematik 11
2 Logik, Mengen, Abbildungen die Sprache der Mathematik 13
2.1 Eine beweisende Wissenschaft 14
2.2 Grundbegriffe der Aussagenlogik 15
2.3 Definition, Satz, Beweis 22
2.4 Elementare Mengenlehre 25
2.5 Zahlenmengen 29
2.6 Abbildungen 32
3 Rechentechniken - die Werkzeuge der Mathematik 41
3.1 Terme, Brüche und Potenzen 42
3.2 Gleichungen und Ungleichungen 49
3.3 Von Betrag und Abschätzungen 57
3.4 Summen und Produkte 61
3.5 Die vollständige Induktion 70
4 Elementare Funktionen - Bausteine der Analysis 83
4.1 Reellwertige Funktionen einer Veränderlichen 84
4.2 Polynome 92
4.3 Die Exponentialfunktion 103
4.4 Trigonometrische Funktionen 108
5 Komplexe Zahlen - Rechnen mit imaginären Größen 121
5.1 Die Menge der komplexen Zahlen 122
5.2 Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen 128
5.3 Mengen und Transformationen in der komplexen Ebene 137
Teil II: Analysis einer reellen Variablen
6 Folgen - der Weg ins Unendliche 147
6.1 Der Begriff einer Folge 148
6.2 Elementare Eigenschaften von Zahlenfolgen 151
6.3 Konvergenz 156
6.4 Teilfolgen und Häufungspunkte 164
6.5 Konvergenzkriterien 167
7 Stetige Funktionen - kleine Ursachen haben kleine Wirkungen 177
7.1 Zur Definition von Funktionen 178
7.2 Beschränkte und monotone Funktionen 183
7.3 Die Umkehrfunktion 184
7.4 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit 187
7.5 Kompakte Mengen 193
7.6 Sätze über reellwertige, stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsberei...
8 Reihen - Summieren bis zum Letzten 213
8.1 Die Idee der Reihen 214
8.2 Kriterien für Konvergenz 223
8.3 Absolute Konvergenz 231
8.4 Kriterien für absolute Konvergenz 235
9 Potenzreihen - Alleskönner unter den Funktionen 247
9.1 Definition und Grundlagen 248
9.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen 255
9.3 Die Exponentialfunktion 263
9.4 Trigonometrische Funktionen 266
9.5 Der Logarithmus für komplexe
Argumente 272
10 Differenzialrechnung - Veränderungen kalkulieren 281
10.1 Die Ableitung 282
10.2 Differenziationsregeln 291
10.3 Verhalten differenzierbarer Funktionen 299
10.4 Taylorreihen 314
10.5 Spline-Interpolation 326
11 Integrale - vom Sammeln und Bilanzieren 337
11.1 Das Lebesgue-Integral 338
11.2 Stammfunktionen 347
11.3 Integrale über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen 354
11.4 Geometrische Anwendungen des Integrals 363
11.5 Parameterintegrale 371
12 Integrationstechniken - Tipps, Tricks
und Näherungsverfahren 381
12.1 Grundtechniken 382
12.2 Partielle Integration 385
12.3 Substitutionsmethode 389
12.4 Integration rationaler Funktionen 393
12.5 Numerische Integration 402
13 Differenzialgleichungen - Zusammenspiel von Funktionen und ihren Ableitunge...
13.1 Begriffsbildungen 418
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Index
AAbbildung 32, siehe auch lineare Abbildung
- Bild 32
- konforme 1099
- lineare 560
- Übersicht Rn -> Rm 778
- Verkettung von 33
- zwischen Mengen 32
abgeschlossenes Intervall 30
abgeschlossene Menge 194
Ableitung 283
- distributionelle 1072
- Einführung 282
- einseitige 288
- Euler'sche 795
- linksseitige 288
- materielle 795
- partielle 787
- rechtsseitige 288
- Rn -> Rm 800
- Übersicht 298
- von Parameterintegralen 375, 801
- von Potenzreihen 298
Ableitungsformeln, Frenet-Serret' sche 874
Ableitungsfunktion 287
Abschätzen, sinnvolles 59
Abschluss eines normierten Raums 1059
Absolutbetrag 30
absolute Konvergenz 231
Absorptionsgesetz 39
Abstand 691
- im quadratischen Mittel 1027
- minimaler 684
- orientierter von Punkt-Ebene 646
- Punkt-Gerade 651
- zweier Vektoren 675
Abstiegsrichtung bei Optimierungsproblemen 1205
Abtastfreqeunz 1155
Abtasttheorem von Shannon und Nyquist 1045, 1157
Abtrennregel 39, 21
Abzählbarkeit 37
Achill 156
Achsenlänge, einer Quadrik 711
Adams-Bashforth-Verfahren 435
adaptive finite Elemente 1014
adaptive Verfahren 435
Additionstheoreme 113
- zu sin und cos 113
Adjunkte 550
Affinkombination 632
affin-lineare Funktionen 88
Ähnlichkeitssatz zur Laplacetransformation 1134
aktive Ungleichungsbedingungen 1196
algebraische Funktion 102
algebraische Zahl 39
Algorithmus 181
Algorithmus, genetischer 1212
Allaussage 20
Allelfrequenz 69
allgemeine harmonische Reihe 229
allgemeine Lösung einer Differenzialgleichung 421
allgemeine Potenzfunktion 274, 1093
Allquantor 20
Alternativhypothese 1380
alternierende Reihe 229
Ampère'sches Durchflutungsgesetz 987
Amplitude 112
analytisch 1095
Änderungsrate 287
Änderungsrate, lokale 286
Anfangsrandwertbedingung 989
Anfangswertbedingung 986
Anfangswertproblem 421
Anfangswertproblem, Lösung mit Laplacetransformation 1136 f
Ankathete 108
Annuitätenkredit 260
Ansatz 437
- vom Typ der rechten Seite 446
Anschauungsebene 486
Anschauungsraum 630
Antinomie, Russel'sche 26
A-posteriori-Verteilung 1269
Approximation
- lineare 285
- sukzessive 946, 949
- Übersicht 1192
Approximationssatz, Weierstraß' scher 1059
Approximierbarkeit, lineare, im Mehrdimensionalen 790
A-priori-Abschätzung 947
A-priori-Verteilung 1269
äquidistant 318
Äquipotenzialflächen 806
Äquivalenz 18
Äquivalenzrelation 630, 1027
Äquivalenzumformung 49
archimedische Spirale 865
Arcuskosinus 110
Arcussinus 110
Areakosinus hyperbolicus 106
Areasinus hyperbolicus 106
Argument
- einer Funktion 85
- einer komplexen Zahl 130
- Hauptwert 130
arithmetische Folge 155
arithmetische Summenformel 64
arithmetisches Mittel 312
Assoziativgesetz, für Mengen 27
Astroide 297, 868
asymptotisch stabiler kritischer Punkt 938
asymptotische Entwicklungen 1182
Atomium 655
Auftriebsformel von Kutta 1107
Ausdehnung, bei Erwärmung 101
Ausgleichsgerade 1394
Ausgleichskegelschnitt 725
Ausgleichsproblem, nichtlineares 1211
Ausprägung 1218
Aussage 16
Aussageform 38
Aussagenlogik 15
Auswahl
- mit Berücksichtigung der Reihenfolge 1278
- mit Wiederholungen 1278
autonomes Differenzialgleichungssystem 940
autonomes System 937
Axiome 22
BBalken, gebogener 427
Balkendiagramm 1221
Balkentheorie 427
Banachraum 1058
Banach'scher Fixpunktsatz 949
bandbeschränkt 1157 f
Bandbreiten-Theorem 1162
Barwert 66
Basis 503
- allgemeine, eines Logarithmus 107
- allgemeine, einer Potenzfunktion 107
- duale 735
- einer Potenz 44
- eines Vektorraums 497
- geordnete 572
- kanonische 503
- orthonormierte im R 3 637
- Standard 503
Basistransformationsmatrix 576
Basisvektoren
- kontravariant 884
- kovariant 884
Bayes, Satz von 1270
Bayes-Formel 1268
Bayesianischer Spam-Filter 1276
bedingte Konvergenz 232
bedingte Wahrscheinlichkeit 1267
Beobachtungsgleichung 1400
Bernoulli, Jacob 1202
Bernoulli'sche Differenzialgleichung 440
Bernoulli-Ungleichung 75
- verallgemeinerte 79
Bernoulli-Variable 1318
beschränkte Folge 152
beschränkte Funktion 183
beschränkter Operator 1064
beschränktes Intervall 31
Besetzungszahl 1221
Besselfunktionen, sphärische 1180
Bessel' sche Differenzialgleichung 1169
Bessel'sche Ungleichung 1032
Bestapproximation im quadratischen
- Mittel 1028
Bestimmtheitsmaß 1409
Betafunktion 1182
Betrag 30, 57
Betrag komplexer Zahlen 130
Bewegung, im R 3 656
Bewegungsgleichung 1204
Beweis
- durch vollständige Induktion 73
- durch Widerspruch 23
- indirekter 23
Beziehungszahl 1240
BFGS-Verfahren 1210
Bias 1369
bijektiv 34
Bild
- einer Abbildung 32
- einer Funktion 85, 178, 181
- einer Kurve 860, 1112
Bilinearform
- entartete 699
- nichtentartete 699
- symmetrische 696
Binärdarstellung 31
Binomialkoeffizient 67
- verallgemeinerter 317
Binomialverteilung 1318
- Faustregel für die Normalapproximation 1343
binomische Formel 68
Binormalvektor 873
Bisektionsverfahren 207
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