Vorwort zur 4. Auflage
Dieses Buch wendet sich an alle, die sich ernsthaft mit Mathematik beschäftigen wollen, ganz besonders aber an Studienanfänger. Es soll Freude am logischen Aufbau der Mathematik und der Technik des Beweisens wecken, an Dingen also, die im Schulalltag meistens zu kurz kommen. Das geht nicht ohne schulische Vorkenntnisse. Allerdings genügt ein Grundkurs in Mathematik, und ein paar Erinnerungslücken seien dem Leser auch gestattet. Das Buch fordert vor allem zum Mitdenken auf und öffnet damit die Tür zu neuen Welten. Jeder, der sich darauf einlassen will, ist herzlich willkommen. Er wird erleben, dass Mathematik auch Spaß machen kann.
Anlass für mich, die erste Auflage dieses Buches zu schreiben, war ein Brückenkurs mit dem Titel "Mathematik für Mathematiker", den ich 1992 und 1993 an der Universität Wuppertal gehalten habe. Schülerinnen und Schülern mit Fachoberschulreife sollten genügend Kenntnisse vermittelt werden, um ihnen die fachgebundene Hochschulreife für ein Studium der Mathematik bestätigen zu können. Inzwischen gibt es keine Brückenkurse mehr, es wurde ein Vorkurs für Studienanfänger daraus, so wie es sie an vielen Hochschulen gab und weiterhin gibt. Das Buch umfasst allerdings weit mehr als das, was in einem solchen Vorkurs behandelt werden kann. Es hat sich deshalb in den letzten Jahren auch als hilfreicher Begleiter in den Stürmen des ersten Semesters erwiesen.
Früher begann die erste Mathematikvorlesung gerne mit den Worten "Vergessen Sie alles, was Sie bisher gelernt haben! Wir fangen noch einmal ganz von vorne an." Das war natürlich glatt gelogen. Auch wenn für die Anfänger das Gebäude der Mathematik von Grund auf neu errichtet wird, so bliebe doch alles ohne die Erfahrungen aus der Schule unverständlich. In diesem Sinne setze ich auch ein paar Kenntnisse voraus. Beherrschen sollte man den Umgang mit algebraischen Termen, das Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen, das Rechnen mit Potenzen und Wurzeln. Die euklidische Geometrie (Pythagoras, Kongruenzsätze), die Winkelfunktionen und die elementare analytische Geometrie (Koordinaten und Gleichungen für Geraden und Kreise) sollten keine Fremdwörter sein. Aus der Oberstufe wären einige Erinnerungen an reelle Zahlen und Funktionen hilfreich, noch wichtiger ist aber die in dieser Phase erworbene Fähigkeit zum abstrakten Denken. Ist alles Genannte vorhanden, so kann ich darauf aufbauend Teile des Oberstufenstoffs und einiges mehr vermitteln. Dies geschieht hier mit den Methoden der Hochschulmathematik. Damit biete ich wahrscheinlich den meisten etwas Neues und darüber hinaus eine Hilfe, den Erstsemester-Schock besser zu verkraften.
Die vierte Auflage unterscheidet sich inhaltlich nicht allzu sehr von der vorigen, neu hinzugekommen sind Lösungen zu den meisten Übungsaufgaben. Vor allem aber wurde das Layout verändert und damit ein didaktisches Konzept eingesetzt, das sich schon an anderer Stelle bewährt hat.
Jedes Kapitel ist in Unterabschnitte mit eigenen Titeln gegliedert. Einzelne Aufgaben begleiten den Text und helfen bei der Vertiefung. Am Ende des Kapitels ist häufig ein Ergänzungsteil untergebracht, mit zusätzlichen, eventuell anspruchsvolleren Inhalten. Dann folgt ein Tutorium, mit vielen zusätzlichen Aufgaben, Kommentaren und hilfreichen Tipps. Den Schluss bildet jeweils ein Abschnitt mit den Lösungen der nummerierten Aufgaben.
Nun zum Inhalt im Einzelnen:
Am Anfang stehen Logik und Mengenlehre, also eine Einführung in die Sprache der modernen Mathematik. Ich versuche, Vertrauen in die Fundamente der mathematischen Wissenschaft zu erzeugen, lasse aber auch Raum für ein bisschen Skepsis. Im nächsten Schritt führe ich die reellen Zahlen und ihre Teilbereiche ein. Besonderes Gewicht liegt auf der Behandlung der natürlichen und ganzen Zahlen, der Induktion, elementarer Kombinatorik und Teilbarkeitslehre. Nach einer kurzen Betrachtung der rationalen Zahlen wird das Vollständigkeitsprinzip erarbeitet, vor allem an Hand von Folgen und ihrer Konvergenz. Danach erst führe ich den Abbildungsbegriff ein, und als wichtigstes Beispiel kann ich sofort die reellen Funktionen vorstellen. Polynome, rationale Funktionen, allgemeine Potenzen und Logarithmen sind dabei besonders zu nennen.
Kapitel 6 bietet eine wenig bekannte axiomatische Einführung in die ebene Geometrie, die auf den vorher bereitgestellten Begriffen (Mengen, reelle Zahlen, Abbildungen) aufbaut, sich aber an dem Vorgehen in der Schule orientiert. Die ganze Theorie ruht auf fünf Axiomen, von denen die ersten drei (Inzidenz-, Parallelen- und Dimensionsaxiom) zum Standard gehören. Dazu kommt die Forderung nach der Existenz von "Linealen", deren Skalen sich mit Hilfe von affin-linearen Ausdrücken der Gestalt ax+b ineinander umrechnen lassen. Das kennt jeder aus dem Alltag (Rechnen mit Maßstäben, Vergleich von physikalischen Einheiten). Die Skalen lassen sich mittels Parallel-Projektion von einer Geraden auf andere übertragen. Das entspricht den Erfahrungen, die jeder beim Konstruieren mit Lineal und Geo-Dreieck gemacht hat. Der Umgang mit Streckenverhältnissen wird nun zum Kinderspiel, und die Strahlensätze beweisen sich fast von selbst. Das Konzept der Parallel-Projektion ermöglicht frühzeitig die Einführung von kartesischen Koordinaten, die zunächst noch nicht einmal rechtwinklig zu sein brauchen. Dann aber ergibt sich ein interessanter Zugang zum Begriff der Orthogonalität, und auf ganz natürliche Weise taucht derjenige Ausdruck auf, dem man später in der Vektorrechnung in der Gestalt des Skalarproduktes wieder begegnen wird.
Die Winkel-Messung wird erst in Kapitel 7 eingeführt, ihr folgt die ebene Trigonometrie, ein kurzer Abschnitt über die Ellipse und eine Einführung in die euklidischen Bewegungen. So ergibt sich ein natürlicher Übergang zu Kapitel 8. Dort führe ich den Vektorbegriff axiomatisch ein, motiviert durch den Begriff der Translation in der Ebene. Nach einigen abstrakten Untersuchungen liegt der Schwerpunkt auf Geraden und Ebenen im 2- und 3-dimensionalen Raum. Außerdem wird das GaußVerfahren als Lösungsmethode für lineare Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten vorgestellt und die Lösungsmenge untersucht.
In dem Kapitel über Differentialrechnung wird zunächst Stetigkeit und Differenzierbarkeit vorgestellt und dann über die Bestimmung und Untersuchung von Extremwerten und Wendepunkten gesprochen. Im neunten Kapitel führe ich zunächst das Riemannsche Integral als Flächenfunktion ein (der Beweis der Integrierbarkeit stetiger Funktionen ist nur der Vollständigkeit halber eingefügt und sollte in einem Kurs sicher übergangen werden), dann leite ich den Fundamentalsatz der Analysis her und erkläre das Integrieren mit Hilfe von Stammfunktionen. Wegen des Verzichts auf Reihen kann ich erst an dieser Stelle die Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus exakt einführen.
Der letzte Abschnitt hat komplexe Zahlen und Quaternionen zum Thema. Das ist als ein zusätzliches "Schmankerl" zu verstehen, um den Interessierten einen ersten Ausblick auf weitere Themenkreise zu bieten. Dementsprechend werden hier die Beweise etwas sparsamer und die Schilderungen historischer Zusammenhänge ausführlicher. Als Höhepunkt findet sich in diesem Kapitel ein vollständiger Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.
Ich hoffe, dass dieser Überblick auch einigen interessierten Laien oder Kollegen aus anderen Fachbereichen Appetit gemacht hat, und ganz besonders würde es mich freuen, wenn viele Lehrer, die ja an der Entscheidung ihrer Schüler für das Mathematikstudium mitwirken, unter meinen Lesern wären.
Das Buch bietet nicht nur einen systematischen Einstieg in die Mathematik, sondern auch viel historischen Hintergrund, Anekdoten und Übungsaufgaben, die meisten davon mit vollständigen Lösungen.
Ein paar persönliche Bemerkungen seien noch gestattet: Mein Stil mag manchem zu locker erscheinen, aber ich wende mich ja vor allem an Schüler und junge Studenten. Meine Freunde Wolfgang und Helmut, die gelegentlich zu Wort kommen, sind überspitzt dargestellte Charaktere von lieben Freunden aus meiner Studienzeit. Vielleicht erkennt sich der eine oder andere ja wieder.
Das Manuskript zur ersten Auflage wurde auf einem Atari erstellt, später habe ich es auf einem PC und auf einer Sun-Workstation weiter bearbeitet. Möglich war das mit dem genialen Buchsatz-Programm TEX von Donald E. Knuth und dem darauf aufbauenden LATEX-System. Keine andere Software (und schon gar keins der handelsüblichen Office-Programme) funktioniert so zuverlässig und kann zugleich auf allen gängigen Rechnern eingesetzt werden. Über die Jahre ist ein umfangreiches Macro-Paket entstanden, das bei der Erzeugung der Grafiken und vor allem der zweifarbigen Version sehr nützlich war. Wer sich dafür interessiert, findet Einzelheiten dazu auf meiner Homepage (zu erreichen über die Website der Fachgruppe Mathematik der Universität Wuppertal).
Zum Schluss möchte ich mich bei Barbara Lühker und Andreas Rüdinger vom Verlag Spektrum-Elsevier bedanken, die mir wie immer mit viel Geduld und konstruktiver Kritik geholfen haben.
Wuppertal, im Januar 2007
Klaus Fritzsche