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Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
I Einführung 5
1 Zufall und Wahrscheinlichkeit 5
2 Mathematik des Zufalls 7
II Wahrscheinlichkeit 11
1 Entwicklung der klassischen Wahrscheinlichkeit 11
1.1 Berühmte historische Beispiele und einige interessante Briefwechsel 11
1.2 Aufgaben und Ergänzungen 21
2 Zur geschichtlichen Entwicklung der Stochastik 24
3 Schritte zur Mathematisierung 30
3.1 Zum Modellbildungsprozess 30
3.2 Aufgaben und Ergänzungen 39
4 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume (Teil 1) 40
4.1 Das Axiomensystem von Kolmogoroff 40
4.2 Folgerungen aus dem Axiomensystem - Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 46
4.3 Ein zum Axiomensystem von Kolmogoroff äquivalentes Axiomensystem 56
4.4 Die Laplace-Verteilung (Gleichverteilung) 60
4.5 Aufgaben und Ergänzungen 64
5 Geometrische Wahrscheinlichkeiten 67
5.1 Vier Beispiele: Glücksrad, Zielscheibe, Paradoxon von Bertrand, Nadelproblem von...
5.2 Aufgaben und Ergänzungen 75
6 Kombinatorisches Zählen 75
6.1 Abzählen 76
6.2 Allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik 78
6.3 Kombinatorische Figuren 83
6.3.1 Permutationen ohne Wiederholung - Geordnete (Stich-) Proben ohne Zurücklegen ...
6.3.2 Permutationen mit Wiederholung - Geordnete (Stich-) Proben mit Zurücklegen 8...
6.3.3 Kombinationen ohne Wiederholung - Ungeordnete (Stich-) Proben ohne Zurücklegen...
6.3.4 Kombinationen mit Wiederholung - Ungeordnete (Stich-) Proben mit Zurücklegen ...
6.3.5 Die kombinatorischen Figuren im Überblick 100
6.4 Anwendungen der kombinatorischen Figuren 101
6.4.1 k-stellige Sequenzen mit Wiederholungen bei vorgegebenen Vielfachheiten 101
6.4.2 Permutationen mit Fixpunkten - Rencontre-Problem 103
6.5 Vier-Schritt-Modell zur Lösung von Kombinatorikaufgaben - Ein didaktischer Aspek...
6.6 Aufgaben und Ergänzungen 114
7 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume (Teil 2) 119
7.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit - Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen 119
7.2 Bernoulli-Ketten 141
7.3 Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes 148
7.4 Aufgaben und Ergänzungen 162
III Simulation und Zufallszahlen 169
7.6 Begriffserklärungen und Beispiele 169
7.7 Aufgaben und Ergänzungen 184
IV Zufallsvariable, Erwartungswert und Varianz 187
1 Zufallsvariable und die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 187
2 Kumulative Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen 194
3 Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsvariablen 196
4 Aufgaben und Ergänzungen 204
V Spezielle diskrete Verteilungen 207
1 Binomialverteilung 207
2 Hypergeometrische Verteilung 211
3 Geometrische Verteilung (Pascal-Verteilung) 215
4 Aufgaben und Ergänzungen 219
VI Ungleichung von Tschebyscheff und Schwaches Gesetz der großen Zahlen von Bernoull...
1 Ungleichung von Tschebyscheff 223
2 Schwaches Gesetz der großen Zahlen 228
3 Aufgaben und Ergänzungen 231
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Register
AAbsolute Häufigkeit 43
abstrakter Wahrscheinlichkeitsraum 241
Abzählen 76 f
Additionspfadregel 46
Additionsregel 41, 51, 54, 109
allgemeine Additionsregel 54
allgemeiner Additionssatz 109
allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 233 ff
allgemeines Zählprinzip der Kombinatorik 78 ff, 82
- a posteriori Wahrscheinlichkeit 154
- a priori Wahrscheinlichkeit 154
Approximationssatz von de Moivre/Laplace 271
Astragale 21
Axiomensystem von Kolmogoroff 40 f
- - äquivalentes 56 f
BBaumdiagramm 45 f, 63, 79, 132 ff, 158 ff
- - verkürztes 137 ff
Bayes, Th. 152
bedingte Laplace-Wahrscheinlichkeit 122
bedingte relative Häufigkeit 124
bedingte Wahrscheinlichkeit 125
Berechnungsmöglichkeit 27
Bernoulli, J. 24 f, 141, 228
Bernoulli-Experiment 141
Bernoulli-Kette 143
Bernstein, S.
N. 130
beschreibende Statistik 1, 10
Beispiele/Probleme (Auswahl)
- Automobilproduktion 269
Blindenschrift 115
Blumenzwiebel 208, 210
- Chuck-a-luck 205
- Das andere Kind 179, 185, 299 f
- defekte Glühbirne 148 f
- dreimaliger Münzwurf 188, 194
- Drei-Türen-Problem 160, 167, 186, 300
- Drei-Würfel-Problem 11
- Force majeure 15
- Füllmengen in Verpackungen 236
- Geburtstagsproblem 87, 116, 176
- genau k Treffer 148
- Gewinnlos 135, 137, 168
- Glücksrad 67, 182
- Hotelzimmerbelegung 97 f
- Kreisflächenberechnung 180
- Lebensdauer einer Glühbirne 259
- Lotto "6 aus 49" 95 ff, 118, 119, 168, 202, 212, 214, 221
- Medizinischer Test 156
- Mehlabfüllung 266, 268
- Mordprozess 154
- Nachtwächter 197, 219
- Nadelproblem von Buffon 72 ff
- Paradoxon des Chevalier de Mere 18
- Paradoxon von Bertrand 69 ff
- Personenauswahl 91 7 r-Bestimmung 73 f, 180
- Qualitätskontrolle 212
- Radioaktives Zerfallsgesetz 5, 62, 259
- Rencontre-Problem 104 f, 185
- Rosinenbrötchen 175, 184
- Roulett 144
- S-Bahn 245
- Schere-Papier-Stein (Knobelspiel) 49 f
- Sicherheitsventile 214
- Speisekarte 79
- Supermarkt 112
- Teilungsproblem (Force majeure) 15
- Tetraederbeispiel von Bernstein 130
- Toto-Ergebniswette 89 f, 118
- Treibjagdproblem 178, 185, 186
- Treize-Spiel 103, 105, 221
- Turmbau 80, 85
- unendliche Folgen von Würfelwürfen 235
- Urnenbeispiel
- o Ziehen mit Zurücklegen 91, 99, 100, 226
o Ziehen ohne Zurücklegen 86, 100, 227
- Verbogene Münze 142
- Wahrscheinlichkeitsmaß auf IN 235
- Warten auf Erfolg 146, 182
- Würfelspiel 198
- Würfelwurf 271
- Ziegenproblem (Drei-Türen-Problem) 160, 167, 186, 300
- Zielscheibe 68
- Ziffernschloss 80
Bertrand, J.
L.
F. 69
Binomialverteilung 148, 207
- Approximation 271
Borel, E. 238
Borelmengen auf IR 239
Buffon, G.
L. 72
CCardano, G. 21, 24
Chevalier de Mere llf, 20, 24
DDichtefunktion 248
Didaktische Hinweise 20, 125 ff, 158 ff, 183, 190, 216, 230
- - Baumdiagramm 45, 63, 79, 132 ff, 137 f, 158 ff
- Vierfeldertafel 158 ff
- Simulation 169 ff
Drei-Türen-Problem 160, 167, 186, 300
EElementarereignis 33
Ereignis (se) 33
Elementar 33
- Gegen 37
- gleiche 37
- Komplementär(siehe Gegen-)
- sicheres 33
- stochastisch unabhängige 129
- unmögliches 33
- unvereinbare 38, 131
Ereignisalgebra 37 f
Ergebnismenge 31
Erwartungswert 196 f, 274
- Binomialverteilung 208
Exponentialverteilung 276
- geometrische Verteilung 216
- hypergeometrische Verteilung 213
- Normalverteilung 277
- Rechteckverteilung 275
- Summe zweier Zufallsvariablen 204
Euler, L. 104
Existenzsatz 238
Exponentialverteilung 258
- - Gedächtnislosigkeit 261
FFermat, R de 17 f, 22, 23, 24 fixpunktfreie Permutationen 105, 106, 107
Formel des Ein- und Ausschließens 109 f Fortsetzungssatz 243
Fundamentalprinzip des Zählens 82
- Fundamentalsatz zu Verteilungsfunktionen 251
GGalilei, G. 22
Gauß, C.
F. 263
Gauß'sche Glockenkurve 263 f
Gauß-Verteilung 263
Gegenereignis 37
geometrische Verteilung 147, 183, 215
geometrische Wahrscheinlichkeit 67 ff
gleichmäßige Verteilung 220
geordnete Proben
- mit Zurücklegen 91, 100
- ohne Zurücklegen 86 f, 89, 100
Gewissheitsgrad 64
HHäufigkeit
- absolute 43
- relative 28, 42, 228
Hubert, D. 28 f
Huygens, Ch. 24
hy per geometrische Verteilung 211
IIndikatorfunktion 220, 230
Kk-stellige Sequenzen mit Wiederholungen bei vorgegebenen Vielfachheiten 102
Klassische Wahrscheinlichkeit (siehe Laplace-Wahrscheinlichkeit)
Kolmogoroff,
A. 8, 29, 40, 43
- Verhältnis zur Erfahrungswelt 43
Kombination
- mit Wiederholung 98 ff
- ohne Wiederholung 93
Kombinatorik 10
Kombinatorisches Zählen 75 ff
- Fundamentalprinzip 82
Kombinatorische Figuren 83 ff
- fixpunktfreie Permutationen 105 ff
Kombination mit Wiederholung 99
Kombination ohne Wiederholung 93
- fc-stellige Sequenz bei vorgegebenen Vielfachheiten 102
- Permutation mit Wiederholung 90 f
- Permutation ohne Wiederholung 84, 86 f
kumulative Vereilungsfunktion 194 f
LLaplace, P.
S. 25 f, 271
Laplace-Wahrscheinlichkeit 25 f, 61
MMathematisierung 8 f, 30
Maximum-Test 184
Messraum von IR 239
Modellbildung 9 f, 30 ff, 70 f, 214
Monte-Carlo-Integration 180
Monte-Carlo-Methode 171
Montmort, P. de 103, 298
Moivre, A. de 25, 271
Multiplikationspfadregel 137
Multiplikationsregel 127
NNadelproblem von Buffon 72 ff
Normalverteilung (Gauß-Verteilung) 263
- - Standard 266
PPacioli, L. 15 f, 22
Paradoxon von Bertrand 69 ff
Pascal, B. 12, 16 f, 18 f, 20, 22 f, 215
Pascal-Verteilung (siehe geometrische
- Verteilung) Permutation
- fixpunktfreie 105, 106, 107
- mit Fixpunkten/Rencontre-Problem 103
- mit fc-Fixpunkten 108
- mit Wiederholung 90 f
- ohne Wiederholung 86 f
Pfadregel (im Baumdiagramm) 46, 64, 137
- Additions 46
- Multiplikations 137
Pokertest 184
Potenzmenge 33
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