DeutschesFachbuch.de : Prüfungstrainer Lineare Algebra 500 Fragen und Antworten für Bachelor und Vordiplom Von Rolf Busam, Thomas Epp

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Inhaltsverzeichnis
1 Algebraische Grundlagen 1
1.1 Der Begriff der Gruppe 1
1.2 Abbildungen zwischen Gruppen, Untergruppen 9
1.3 Der Signum-Homomorphismus 18
1.4 Ringe und Körper 21
1.5 Polynomringe 28
2 Vektorräume 36
2.1 Grundbegriffe 36
2.2 Basis und Dimension 43
2.3 Summen von Vektorräumen 49
3 Lineare Abbildungen und Matrizen 52
3.1 Grundbegriffe 53
3.2 Quotientenvektorräume und affine Unterräume 61
3.3 Matrizen 66
3.4 Matrizenringe 73
3.5 Koordinatenisomorphismen und Basiswechselformalismus 79
3.6 Das Gauß'sche Eliminationsverfahren 86
3.7 Lineare Gleichungssysteme Teil 1 92
3.8 Der Dualraum 97
4 Determinanten 103
4.1 Alternierende Multilinearformen 104
4.2 Determinanten von Matrizen und Endomorphismen 107
5 Normalformentheorie 117
5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren 117
5.2 Das charakteristische Polynom 123
5.3 Einsetzen von Matrizen und Endomorphismen in Polynome 130
5.4 Die Jordan'sche Normalform 135
6 Euklidische und unitäre Vektorräume 144
6.1 Bilinearformen und Skalarprodukte 144
6.2 Normierte Räume 151
6.3 Orthonormalbasen und das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt 158
6.4 Lineare Gleichungssysteme Teil 2 167
6.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 170
6.6 Die adjungierte Abbildung 176
6.7 Selbstadjungierte Endomorphismen 181
7 Anwendungen in der Geometrie 188
7.1 Affine Räume 188
7.2 Affine Abbildungen und Koordinaten 195
7.3 Projektive Räume 201
7.4 Projektive Abbildungen und Koordinaten 206
7.5 Invarianten von Projektivitäten 211
7.6 Projektive Quadriken 219
7.7 Affine Quadriken 230
Literatur 235
Symbolverzeichnis 236
Namen- und Sachverzeichnis 241
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Namen- und Sachverzeichnis
AAbbildung, 1
adjungierte, 176-181
affine, 195
- duale, 100, 101
- lineare, 52
- orthogonale, 170
- projektive, 206
- selbstadjungierte, 181-187
- unitäre, 170
ABEL, Nils Henrik (1802-1829), 1
abelsch, 1
Abstandsfunktion, 153
adjungierte Abbildung, 177, 178
Adjunkte, 115
ähnlich, 119, 125
äquivalent
affin, 224, 230
- geometrisch, 224
Äquivalenz
affiner Quadriken, 230
- Matrizen, 79
- projektiver Quadriken, 224
- von Matrizen, 78
- von Normen, 153
Äquivalenzrelation, 119
affin unabhängig, 197
affine Ebene, 61
affine Gerade, 61
affine Hülle, 190
affiner Anteil, 220
affiner Raum, 188
affiner Unterraum, 61
Affinität, 195
Affinkombination, 198
algebraischer Abschluss, 24
alternierend, 104, 105
alternierende k-Form, 104, 106
alternierende Gruppe, 20, 21
Annulator, 99
antisymmetrisch, 104
Assoziativgesetz, 1 assoziiert, 32
Automorphismengruppe, 4
Automorphismus, 9, 53
B BANACH, Stefan (1892-1945), 152
Banachraum, 152
Basis, 44
- affine, 197
- duale, 98
- eines Vektorraums, 44
- orthonormale, 163
- projektive, 207
Basisauswahlsatz, 45
Basisbildersatz, 57, 66
Basisergänzungssatz, 45
Basiswechselformalismus, 85
Basiswechselmatrix, 84, 85
Begleitmatrix, 125
Bild, 56
- einer linearen Abbildung, 56
Bilinearform, 144
- alternierende, 144
- symmetrische, 144
Blockmatrix, 113 BRIANCHON, Charles Julien, 219
C CAUCHY, Augustin (1789-1857), 154
Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung, 154 CAYLEY, Arthur (1821-1895), 17, 133
Cayley-Hamilton, Satz von, 133
Charakteristik eines Körpers, 24
charakteristisches Polynom, 123, 124
CRAMER, Gabriel (1704-1752), 109
Cramer 'sche Regel, 109, 110
D DESARGUES, Gérard (1591-1661), 215
DESCARTES, René (1596-1650), 226
Determinante
- einer Matrix, 107-109
- eines Endomorphismus, 111
- Rechenregeln, 108, 110
- Transpositionsinvarianz, 112
Determinantenform, 104
Determinantenmultiplikationssatz, 110
diagonalisierbar, 117, 121, 122
Diagonalmatrix, 108
Dimension, 47
- affine, 189
- eines affinen Unterraums, 61, 190
- projektive, 201
Dimensionsformel
- für den Verbindungsraum, 193
- für lineare Abbildungen, 59
- für projektive Unterräume, 202
- für Untervektorräume, 49
direktes Produkt von Gruppen, 4
Distributivgesetze, 22
Doppelverhältnis, 212
Drehung, 71, 73
Drei-Zyklus, 21
Dreiecksungleichung, 153
Dualität, 218
Dualraum, 98
Durchschnitt
- affiner Unterräume, 190
- linearer Unterräume, 39
- projektiver Unterräume, 202
EEbene, 190
Eigenraum, 117-119
Eigenvektor, 117-119
Eigenwert, 117-119
Einschränkung, 64
Einsetzungshomomorphismus, 30, 130, 131
Elementarabbildungen, 82
Elementarmatrix, 89
Ellipse, 233
Ellipsoid, 233
elliptisches Paraboloid, 229
endlich erzeugt, 41
Endomorphismus, 9, 53
- normaler, 182
- selbstadjungierter, 181-187
Entwicklungssatz von Laplace, 115
Epimorphismus, 9, 53
Erweiterungskörper, 38
Erzeugendensystem, 41
Erzeugnis, 41
EUKLID, (etwa 365-300 v. Chr.), 146
euklidischer Ring, 30
Ff-invariant, 117
Faktorisierungssatz, 64
Faser, 63
Fehlstand, 18
FERMAT, Pierre de (1607-1655), 14
Funktionenraum, 152
GGauß-Jordan'sche Normalform, 77
GAUSS, Carl Friedrich (1777-1855), 86
Gauß'sches Eliminationsverfahren, 88
Gerade, 190
größter gemeinsamer Teiler, 34
Grad eines Polynoms, 29 GRAM, Jorgen (1850-1916), 163
Gruppe, 1
- abelsche, 1, 6
- allgemeine lineare, 4, 77
- orthogonale, 172
- spezielle lineare, 17, 111
- spezielle orthogonale, 172
- symmetrische, 4
- unitäre, 172
- zyklische, 8
H HAMILTON, Sir William (1805-1865), 133
HAMILTON, William Rowan (1805-1865), 23
Hauptachsentransformation, 183, 184, 224
Hauptraum, 137
Hauptraumzerlegung, 140
HERMITE, Charles (1822-1901), 145
hermitesche Form, 145
HILBERT, David (1862-1943), 152
Hilbertraum, 152
Homomorphiesatz
- für Gruppen, 16
- für Ringe, 27
- für Vektorräume, 64
Homomorphismus, 9, 53
Hyperbel, 233
Hyperboloid
- einschaliges, 233
- zweischaliges, 229, 233
Hyperebene, 61, 194, 220
IIdeal, 25
identische Abbildung, 53
Index einer Untergruppe, 13
Inklusionsabbildung, 54
Integritätsring, 23, 29
Invarianzsatz für äquivalente Matrizen, 79
inverses Element, 1, 2
invertierbar, 76
Invertierbarkeitskriterium, 77, 109, 110
irreduzibel, 32
Isometrie, 170
isomorph, 9
Isomorphismus, 9, 11, 53
J JORDAN, Camille (1838-1922), 117, 141
Jordan'sche Normalform, 117, 141
KK-Algebra, 74
Körper, 21, 22
kanonische Projektion, 10, 15
Kegel, 233
Kern
- einer linearen Abbildung, 56
- eines Gruppenhomomorphismus, 11
Kern eines Homomorphismus, 11, 12
Klassifikationstheorem
- für affine Quadriken, 231
- für projektive Quadriken, 227
kleiner Fermat 'scher Satz, 14
K-linear, 53
kollinear, 196
Kollineation, 200
kommutativ, 1
Komplement
- orthogonales, 160
Komplement eines Unterraums, 50
komplexe Konjugation, 54
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