Vorwort zur ersten Auflage (2004)
In diesem zweiten Band der Analysis soll die Welt der Grenzwerte, Ableitungen und Integrale weiter untersucht werden. Im Unterschied zum ersten Teil können wir uns nun ganz auf die analytischen Konzepte und Tatsachen konzentrieren, denn die allgemeinen mathematischen Fragen („Wie schreibt man einen Beweis auf?", „Was bedeuten die logischen Symbole?", ...) wurden schon behandelt.
Das Buch besteht aus weiteren vier Kapiteln. Am Ende sollten Sie alles kennen gelernt haben, was heute nach allgemeiner Überzeugung zu den grundlegenden Ideen der Analysis gehört und in Vorlesungen höherer Semester vorausgesetzt wird. In Kurzfassung geht es um die folgenden Themen:
Funktionenräume: Was bedeutet es, wenn eine Funktion eine andere approximiert? Welche Eigenschaften bleiben bei Approximationen erhalten?
Integration: Wie kann das (den meisten aus der Schule bekannte) Integral∫baf(x)dx mathematisch streng definiert werden?
Ausgehend von der Frage, wie man krummlinig begrenzte Flächen messen kann, wird die Integrationstheorie in Kapitel 6 systematisch entwickelt. In Kapitel 7 wird dann gezeigt, dass sich damit viele interessante Folgerungen ergeben. Auch für Fragen, die mit Flächenmessung nichts zu tun haben.
Mehrere Veränderliche: Wie modelliert man Situationen, in denen eine Größe von mehreren Eingangsgrößen abhängt? Wie kann man wieder mit Erfolg „im Kleinen" einfache lineare Approximationen verwenden?
Neben den Standardthemen werden auch Fragen behandelt, die man in anderen Analysisbüchern nicht findet. Warum ist es zum Beispiel auch für die intelligentesten Mathematiker nicht möglich, gewisse Integrale geschlossen auszuwerten?
Das Konzept von Band 1 ist beibehalten worden: Neue Begriffe werden ausführlich motiviert, vor komplizierten Beweisen wird die Struktur erläutert, und man findet im Text und nach jedem Kapitel zahlreiche Verständnisfragen, in denen auf die wichtigsten Punkte noch einmal eingegangen wird.
Auch gab es wieder eine produktive Zusammenarbeit mit einer Gruppe von Studierenden, für die das erste Kennenlernen der Analysis noch nicht lange zurückliegt. Durch das Einarbeiten ihrer Erfahrungen sollten alle Anfängerschwierigkeiten berücksichtigt sein.
Vorwort zur zweiten Auflage
In der zweiten Auflage sind einige Tippfehler verbessert worden. Auch wird das Hauptergebnis von Abschnitt 6.6, dass ex2 nicht geschlossen integriert werden kann, nun etwas ausführlicher dargestellt.
Ehrhard Behrends, Berlin (Frühjahr 2007)