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VorwortSeit die zehnte Auflage der Linearen Algebra von Gerd Fischer erschienen ist, die als Neuerung gegenüber den älteren Auflagen viele Übungsaufgaben enthält, sind beim Verlag viele Anfragen nach den Lösungen dieser Aufgaben eingegangen. Auf Anregung von Frau Schmickler-Hirzebruch begann im Winter 96/97 die Arbeit an diesem Lösungsbuch. Dennoch stehen wir der Veröffentlichung eines Buches, das nur aus Lösungen zu Übungsaufgaben besteht, skeptisch gegenüber, da die eigene Beschäftigung mit Pr...
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Hannes Stoppel Birgit Griese Übungsbuch zur Linearen AlgebraAufgaben und Lösungen 6. Auflage Dieses Buch ist als Ergänzung zu dem Buch Lineare Algebra von Gerd Fischer (vieweg Studium) gedacht. Die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben, die aus dem Lehrbuch stammen, sind sehr ausführlich dargestellt. Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik, Physik oder verwandter Wissenschaften bei der Vor- und Nachbereitung von Vorlesungen und Prüfungen zur Linearen Algebra. Durch seine reichhaltige Z... [weiter lesen] |
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Über die AutorenBirgit Griese und Hennes Stoppel haben an der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf Mathematik bei Prof. Gerd Fischer studiert und sind nun als Mathematiklehrer tätig. Hannes Stoppel ist außerdem im Bereich der Mathematikdidaktik an der Ruhr-Universität Bochum beschäftigt. [weiter lesen] |
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Inhaltsverzeichnis
I Aufgaben 1
0 Lineare Gleichungssysteme 3
0.3 Ebenen und Geraden im Standardraum R 3 3
0.4 Das Eliminationsverfahren vonGAUSS 4
1 Grundbegriffe 7
1.1 Mengen und Abbildungen 7
1.2 Gruppen 8
1.3 Ringe, Körper und Polynome 10
1.4 Vektorräume 12
1.5 Basis und Dimension 13
1.6 Summen von Vektorräumen*15
2 Lineare Abbildungen 16
2.1 Beispiele und Definitionen 16
2.2 Bild, Fasern und Kern, Quotientenvektorräume*17
2.3 Lineare Gleichungssysteme 18
2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen 20
2.5 Multiplikation von Matrizen 21
2.6 Koordinatentransformationen 24
2.7 Elementarmatrizen und Matrizenumformungen 25
3 Determinanten 28
3.1 Beispiele und Definitionen 28
3.2 Existenz und Eindeutigkeit 30
3.3 Minoren*32
3.4 Determinante eines Endomorphismus und Orientierung*
33
4 Eigenwerte 35
4.1 Beispiele und Definitionen 35
4.2 Das charakteristische Polynom 36
4.3 Diagonalisierung 37
4.4 Trigonalisierung*38
4.5 Potenzen eines Endomorphismus*39
4.6 Die Jordansche Normalform*40
5 Euklidische und unitäre Vektorräume 43
5.1 Das kanonische Skalarprodukt im Rn 43
5.2 Das Vektorprodukt im R 3 46
5.3 Das kanonische Skalarprodukt im Cn 48
5.4 Bilinearformen und Sesquilinearformen 48
5.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 51
5.6 Selbstadjungierte Endomorphismen*52
5.7 Hauptachsentransformation*53
6 Dualität*56
6.1 Dualräume 56
6.2 Dualität und Skalarprodukte 56
6.3 Tensorprodukte*57
6.4 Multilineare Algebra*60
II Lösungen 63
0 Lineare Gleichungssysteme 65
0.3 Ebenen und Geraden im Standardraum R 3 65
0.4 Das Eliminationsverfahren vonGAUSS 68
1 Grundbegriffe 73
1.1 Mengen und Abbildungen 73
1.2 Gruppen 79
1.3 Ringe, Körper und Polynome 84
1.4 Vektorräume 93
1.5 Basis und Dimension 100
1.6 Summen von Vektorräumen*108
2 Lineare Abbildungen 113
2.1 Beispiele und Definitionen 113
2.2 Bild, Fasern und Kern, Quotientenvektorräume*116
2.3 Lineare Gleichungssysteme 120
2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen 124
2.5 Multiplikation von Matrizen 128
2.6 Koordinatentransformationen 139
2.7 Elementarmatrizen und Matrizenumformungen 142
3 Determinanten 146
3.1 Beispiele und Definitionen 146
3.2 Existenz und Eindeutigkeit 153
3.3 Minoren*168
3.4 Determinante eines Endomorphismus und Orientierung*
174
4 Eigenwerte 179
4.1 Beispiele und Definitionen 179
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Sachwortverzeichnis
A
Abbildung, 12
- 2 π-periodische, 12
Ableitungshomomorphismus, 17, 20
Abstand, 44, 45, 57
abzählbar unendlich, 8, 76
Addition von Abbildungen, 12
ähnlich, 41
Algebra, 59, 196, 267
Algebra-Homomorphismus, 196
algebraisch abgeschlossen, 122
algebraische Geometrie, 91, 104, 263
algebraische Kurve, 137
algebraische Varietät, 91
alternierend, 15, 28, 62
anti-selbstadjungiert, 53, 57
antihermitesch, 57
BBasis, 100
Besselsche Ungleichung, 50, 231
binomischer Lehrsatz, 206
CCantorsches Diagonalverfahren
- erstes, 76
- zweites, 76
charakteristisches Polynom, 159
Coprodukt, 270
Cosinussatz, 43
DDarboux-Basis, 50
de Morgansche Regeln, 73
Determinante, 30, 160
diagonalisierbar, 184
Diedergruppe, 9, 81
Differentialform, 279
Differentialgleichung, 31, 35, 37, 179, 195
direktes Produkt, 79
Diskriminante, 29, 32, 150, 167, 182
Drehstreckung, 133
Drehung, 133
EEigenraum, 114
Eigenwert, 114
Einheit, 160
Einheitengruppe, 160
Einheitswurzel, 87, 191
Einheitswurzelgruppe, 87
euklidischer Algorithmus, 164
Existenz- und Eindeutigkeitssatz, 165. 180
Exponentialfunktion, 40
FFibonacci-Zahlen, 190
Fixpunkt, 16
Folge
- beschränkte, 12
- konvergente, 12
formale Ableitung, 87, 150
Formel von Euler, 187
Fourierkoeffizient, 49, 232
Fundamentalsystem, 166, 195
Funktion
- rationale, 11
Ggleichmächtig, 8
Gleichung von Parseval, 233
Goldener Schnitt, 190
Grad, 11
Gradient, 257
Grassmann-Identität, 46
Grassmann-Mannigfaltigkeit, 173
Grassmann-Varietät, 173
Gruppe
- zyklische, 9, 81, 86
HHalbnorm, 218
Hesse-Kurve, 137
Hesse-Matrix, 23, 136, 257
Hessesche Normalform, 44, 45
homogen, 11
Höhe, 104
homogene Komponente, 90
Homogenisierung, 122
Hyperebene, 45
Iidempotent, 117, 128
imaginäre Einheit, 6 injektiv, 74
Integralsatz
- Gaußscher, 279
- Stokesscher, 279
integrierbar
- p-fach, 218
invertierbar, 160
JJacobi-Identität, 46
Jacobi-Matrix, 23, 135, 257
KKategorie, 270
Kegel, 262
Koeffizientenkriterium, 66
Koeffizientenmatrix
- erweiterte, 68
Körper
- endlicher, 85, 122
komplexe Ebene, 177
komplexe Struktur, 48, 52
- ω -kalibrierte, 52
komplexe Zahlen, 6, 131
Kontraposition, 3
Kronecker-Symbol, 101, 131
Kürzungsregel, 24
Llexikographische Ordnung, 262
LGS, 68
linear abhängig, 3, 65
linear unabhängig, 3, 65
lokales Extremum, 257
MMathematikerhotel, 77
Matrix
- alternierende, 269
- inverse, 133
- invertierbare, 160
- symmetrische, 269
Matrizen
- ähnliche, 140
- äquivalente, 140
Metrik, 49
Modul, 104
Nnegativ definit, 54
nicht ausgeartet, 62
nilpotent, 35, 115, 144, 179, 193
Norm, 48, 49
Normalenvektor, 44
Nullstelle
- mehrfache, 29, 184
Oorthogonal, 44
PParabel, 168
Parallelogramm-Gleichung, 43, 48
Parallelogrammgleichung, 227
Parsevalsche Ungleichung, 50
Pfaffsches Polynom, 30
Plücker-Relation, 172
Plückerkoordinaten, 32, 170, 172
Polarisierung, 225
Polarkoordinaten, 177
Polynom, 10
- homogenes, 11, 13, 61, 122
- irreduzibles, 192
- trigonometrisches, 12, 49
Polynomring, 10, 11
Prähilbertraum, 233
Primfaktorzerlegung, 150
Primkörper, 106
Produkt, 270
- äußeres, 62, 269
- direktes, 12, 14, 15
- symmetrisches, 59, 61, 269, 274
projektiver Raum, 170, 172, 263
Pullback, 270
Pushout, 270
QQuadrik, 262
Quotientenkörper, 91, 270
Quotientenvektorraum, 270
Rrationale Funktion, 91
Reihe
- absolut konvergente, 12
Resultante, 29
Ring
- faktorieller, 150
Rundungsfehler, 71
SSatz von Pythagoras, 43
schiefsymmetrisch, 15, 110
schleifender Schnitt, 71
Segre-Abbildung, 263
Skalarprodukt, 48, 49, 67, 123
Spaltenrang, 14
spezielle lineare Gruppe, 31
Spur, 51
Standard-Metrik, 133
Standard-Topologie, 133
Substitution, 122
Symmetriegruppen von Vielecken, 81
symmetrisch, 15, 36, 61, 110
symplektischer Unterraum, 253
symplektischer Vektorraum, 50, 52, 54
symplektisches Komplement, 253
TTangentialraum, 279
Teleskopsumme, 144
Topologie, 133, 176
Uüberabzählbar, 8, 76
Unbestimmte, 10
universelle Eigenschaft, 18, 60, 61, 270
Unteralgebra, 196
Untergruppe, 10
VVandermonde-Determinante, 30, 154
Variation der Konstanten, 194
Vektorprodukt, 67
verallgemeinertes, 47
verallgemeinerte Exponentialfunktion, 208
verbindbar, 33, 34, 175, 176
WWeg, 176
wegzusammenhängend, 176
Widerspruchsbeweis, 3, 65
Winkel, 43
winkeltreu, 51
Wronski-Determinante, 31, 166
ZZeilenrang, 14
Zerfällungskörper, 86, 194
Zufallsmatrizen, 55
zusammenhängend, 34
Zykel, 160
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