DeutschesFachbuch.de : Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens Von Martin Hanke-Bourgeois

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Inhalt
Einleitung 11
I Zentrale Grundbegriffe 17
1 Rundungsfehler, Kondition und Stabilität 17
2 Vektor- und Matrixnormen 26
Algebraische Gleichungen 39
II Lineare Gleichungssysteme 41
3 Ein Beispiel aus der Mechanik 41
4 Die LR-Zerlegung 46
5 Die Cholesky-Zerlegung 59
6 Toeplitz-Systeme 64
7 Der Banachsche Fixpunktsatz 73
8 Drei einfache Iterationsverfahren 77
9 Das Verfahren der konjugierten Gradienten 85
10 Präkonditionierung 96
III Lineare Ausgleichsrechnung 107
11 Die Gaußschen Normalengleichungen 107
12 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse 111
13 Die QR-Zerlegung 119
14 Givens-Rotationen 128
15 Ein CG-Verfahren für das Ausgleichsproblem 133
16 Das GMRES-Verfahren 137
IV Nichtlineare Gleichungen 149
17 Konvergenzbegriffe 149
18 Nullstellenbestimmung reeller Funktionen 158
19 Das Newton-Verfahren im R n 172
20 Das nichtlineare Ausgleichsproblem 177
21 Das Levenberg-Marquardt-Verfahren 185
V Eigenwerte 199
22 Wozu werden Eigenwerte berechnet ? 199
23 Eigenwerteinschließungen 204
24 Kondition des Eigenwert problems 212
25 Die Potenzmethode 218
26 Das QRVerfahren 227
27 Implementierung des QRVerfahrens 232
28 Das Jacobi-Verfahren 238
29 Spezielle Verfahren für hermitesche Tridiagonalmatrizen 245
30 Das Lanczos-Verfahren 259
Interpolation und Approximation 273
VI Orthogonalpolynome 275
31 Innenprodukträume, Orthonormalbasen und Gramsche Matrizen 275
32 Tschebyscheff-Polynome 284
33 Allgemeine Orthogonalpolynome 288
34 Nullstellen von Orthogonalpolynomen 293
35 Anwendungen in der numerischen linearen Algebra 297
VII Numerische Quadratur 317
36 Die Trapezformel 317
37 Polynominterpolation 321
38 Newton-Cotes-Formeln 324
39 Das Romberg-Verfahren 328
40 Gauß-Quadratur 336
41 Gauß-Legendre-Formeln 341
42 Ein adaptives Quadraturverfahren 348
VIII Splines 355
43 Treppenfunktionen 355
44 Lineare Splines 357
45 Fehlerabschätzungen für lineare Splines 360
46 Kubische Splines 364
47 Fehlerabschätzung für kubische Splines 372
48 Geglättete kubische Splines 375
49 Numerische Differentiation 380
IX Fourierreihen 389
50 Trigonometrische Polynome 389
51 Sobolevräume 393
52 Trigonometrische Interpolation 398
53 Schnelle Fouriertransformation 405
54 Zirkulante Matrizen 412
55 Symmetrische Transformationen 417
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Sachverzeichnis
AA-Stabilität 580, 583, 594, 600, 607, 723
absoluter Fehler 18
Abstiegsbedingung 178, 179
Abstiegsrichtung 178, 180
Abstiegsverfahren 178, 180, 181
Abtastrate 410
adaptive Gitterverfeinerung 348, 645, 718, 761
Adsorption 500
Advektionsgleichung 498
Aitken-Neville, Lemma von 333
Aliasing 401
Anfangsrandwertproblem 521, 723
- klassische Lösung 724, 738
- quasilineares 754, 767
- schwache Form 725, 755
- schwache Lösung 725
Anfangswert problem 465, 551, 657, 744, 776
- Lösbarkeit 553
- stetige Abhängigkeit 554, 555, 625
Anfangswertproblem für Erhaltungsgleichungen 497, 769, 776
- Entropielösung 786
- schwache Lösung 780
A-posteriori-Abschätzung
- des Fixpunktsatzes 73, 155, 177
- für Eigenwertnäherung 215, 265
A-priori-Abschätzung des Fixpunktsatzes 73, 155
AR(l)-Prozeß 416
Arbeitssatz 507
Armijo-Goldstein-Kriterium 180, 189, 659
Arnoldi-Prozeß 137
Assemblierung 692
Auftriebskraft 515
Ausflußrand 497
Ausgleichsgerade 110, 132
Ausgleichsproblem
- lineares 15, 107, 185
- nichtlineares 16, 177, 658
- restringiertes 146, 186, 658, 659
Auslöschung 19
Außenraumproblem 454
BB-Splines 368, 387, 431
Banachscher Fixpunktsatz 73
B at tle-LemariéWavelet 443
Bauer und Fike, Satz von 214
Beispiele
- Ausbreitung einer Verunreinigung 496, 520, 769
- Ausgleichsgerade 110, 126, 132
- Brücke 41, 86, 91, 199, 409, 531
- Chromatographie 499, 787, 789, 793, 811, 813, 817
- Computertomographie 12, 136
- EKG-Signal 404, 406, 440
- elektrischer Schaltkreis 487, 615
- Elektrostatik 144, 453, 525, 675, 701
- Epidemien 470
- Finanzmathematik 537
- Fluß in porösem Medium 527, 755
- Gleiten eines Körpers auf einer Fläche 484, 616, 619
- Haken 152, 174
- HIV-Infektion 471
- JPEG-Kompression 424
- Potentialströmung 509
- Räuber-Beute-Modell 468, 577
- Reaktionskinetik 475, 578, 586
- Roboterbewegung 371
- Torsion 535
- Verkehr 514, 820
- Wärmeleitung siehe Wärmeleitungsgleichung
- Wassertropfen 481
- Weltbevölkerung 161, 466, 660
- Wiener-Filter 64, 416
- Zweikörperproblem 478
reduziertes 479, 554
Bendixson, Satz von 143, 209
Bernoulli-Gleichung 514
Bernoulli-Zahlen 330
Besselsche Differentialgleichung 664
Besselsche Ungleichung 281, 391
Bestapproximation 281, 283, 356, 363, 374, 390, 400, 682
Betragssummennorm 28, 31
Biegeenergie 372
Bildkompression 424
Bildraum 27
Bilinearform 678
- elliptische 679
- hermit esche 276
- stetige 679
- symmetrische 679
Bisektionsverfahren 247, 301
bit-reversal-Methode 408
Black-Scholes-Formel 538, 546
Bodenphysik 527
Bolt zmann-Konstante 515
Boltzmann-Transformation 544, 545, 546
Brownsche Bewegung 518
Bulirsch-Folge 332
Burgers-Gleichung 779, 783, 786
- singul ä r gestörte 818
BV(R) siehe Funktion beschränkter Variation
CCantor-Funktion 312
Cauchy-Schwarz-Ungleichung 276
Céa-Lemma 681
CFL-Bedingung 773, 791, 797, 807, 816, 818
CG-Verfahren 85, 106, 137, 307
- für das lineare Ausgleichsproblem 133
- Konvergenzabschätzung 309
- präkonditioniertes 96, 415
CGLS-Verfahren 134
Charakteristiken 776, 777, 812
- Methode der 776
- charakteristische Funktion 355
- Fourierreihe 392
charakteristische Gleichung 172, 250
charakteristisches Polynom 204
chemische Reaktionskinetik 475
Cholesky-Zerlegung 59, 128
Christoffel-Darboux-Identität 294
Christoffel-Funktion 292, 338, 353
Chromatographie 499
Clenshaw-Algorithmus 287
Computertomographie 12
Coulombsches Reibungsgesetz 486
Courant-Fischer, Minmax-Prinzip 211, 262
Courant-Friedrichs-Levi-Bedingung siehe
CFL-Bedingung Crank-Nicolson-Verfahren 589, 594, 733, 739, 741, 757
linearisiertes 758
Dd'Alembertsche Formel 513
Darcy, Gesetz von 528
Datenkompression 440
Delta-Distribution 429
diagonaldominante Matrix irreduzibel 206, 637
- strikt 56, 79
- differentialalgebraische Gleichung 465, 485, 490, 615, 627
- Index 615, 616, 619, 628
Differentialgleichung autonome 552, 626
- elliptische 454, 525, 669
- gewöhnliche 465, 549
- hyperbolische 496, 511, 769
- parabolische 517, 723
- partielle 496, 667 -quasilineare 530, 754, 767
- steife 587, 604
- strikt dissipät ive 556, 591, 732
Differentialoperator 522, 630, 673, 723
Differenzenquotient 22, 164, 370, 380, 630, 642, 663, 770
- einseitiger 630, 631, 634, 635, 641, 773, 806
- zentraler 630, 631, 632, 634, 635, 637, 639, 649, 663, 701
D iff
- erenzenverfahr en
- für elliptische Differentialgleichungen 701- für Erhaltungsgleichungen 770
- höherer Ordnung 799- in Erhaltungsform 794, 820
- Konsistenz 771, 795
- Konsistenzordnung 771
- Stabilität 772- für Randwertprobleme 629
- Fehlerschätzer 647
- Konsistenzordnung 633
- Stabilität 636 für singulär gestörte Probleme 640
Diffusion 517, 524
- künstliche 643, 796
Dirichlet-Randbedingung 522, 629, 673, 723
- inhomogene 634, 676, 756
Displacement-Rang 103
Divide-and-Conquer-Verfahren für Eigenwerte 247
dopri 5 574
Dormand-Prince-Verfahren 574
Drehmoment 153
Druck 505, 534
Drude-Modell 525, 545
EEigenfrequenz 203, 410
Eigenvektor 204
- linker 205
- numerische Berechnung 236, 252
Eigenvektormatrix 214
Eigenwerte 204
- numerische Berechnung 199
- Schranken für 204
Einfachschichtpotential 454
Einflußrand 497, 776, 793
Einschrittverfahren 566
- siehe Runge-Kutta-Verfahren und Rosenbrock-TypVerfahren Einzelschrittverfahren 78, ...
Elastizitätstheorie 534
elektrischer Strom 488, 525
Elektrostatik 453, 525, 678
Eliminationsmatrix 46
elliptisch
- Bilinearform 679
- Differentialgleichung 454, 648, 669, 724
- Differentialoperator 673, 723
- Randwertproblem siehe Randwertproblem, elliptisches Energienorm 86
Energiespektrum 411
Enquist-Osher-Verfahren 821
Entropiebedingung 786, 787, 819
eps siehe Maschinengenauigkeit erf 544
Erhaltungsgleichung
- differentielle Form 496
- hyperbolische 496, 769, 812
- integrale Form 495, 496
Euklidnorm 28, 30, 32, 453, 478, 495, 669
Euler-Gleichungen 507
Euler-Lagrange-Gleichung 485
Euler-Maclaurin-Summenformel 331
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